1、区间中立型 Lurie 控制系统的绝对稳定性欧光明,陈松林（安徽工业大学 电气信息学院 安徽 马鞍山 243002）摘要：利用Lyapunov泛函和区间矩阵不等式方法，研究区间中立型Lurie控制系统的绝对稳定性， 给出系统绝对稳定的充分条件，这些条件用区间矩阵不等式表示，可以很方便地应用MATLAB工具箱求解。关键词：区间中立型；Lyapunov泛函；绝对稳定性；区间矩阵不等式中图分类号： 231OAbsolute Stability of a Interval Neutral Type of Lurie Control SystemsOU Guang-ming,Chen Song-lin(
2、School of Electric Engineering & Information,Anhui University of Technology,Maanshan，243002,China)Abstract：Using Lyapunov functions and interval matrix inequality approach，the absolute stability of a interval neutral type of Lurie control systems was discussed，Some sufficient conditions for absolute
3、 stability are established by using interval matrix inequality which can be easily solved by Matlab toolbox。Keywords：interval neutral type；Lyapunov functions；absolute stability；interval matrix inequality1、引言具有时滞的区间Lurie控制系统的绝对稳定性问题已得到较深入的研究，如文献1-3用Lyapunov结合线性矩阵不等式方法分析区间Lurie直接和间接控制系统的绝对稳定性，文献4用矩阵测度
4、和时滞微分不等式方法分析区间Lurie直接控制系统的绝对稳定性。本文用 Lyapunov 泛函方法和文献5关于区间矩阵稳定的判定方法对一般形式的区间中立型 Lurie 控制系统的绝对稳定性进行分析，给出这类系统绝对稳定的充分条件。最后，以推论系统为例证明了结论的正确性。文中约定 表示相应维数的单位矩阵， 表示以 为对角元的对角矩阵， 表示矩阵 的转I 1(,.)ndiag1,.n T置矩阵。首先给出下面的引理。引理 16：设向量 ， 为任意 阶正定阵 的最小特征值，则有 。nxRmi()2min()Txx引理 27（矩阵 Schur 补性质）：对给定对称阵 ，则下边 3 个条件是等价的：12S
5、； ； 。(1)0S1122()0,0TSS1212(3)0,0TS2、主要结论考虑具有状态时滞和控制时滞的区间中立型 Lurie 控制系统：(),(),(),(),(),()(2.1),xtAxtBxtCxtDutEtMuNRufFtGtHut 状态向量 ，控制向量 ，令 ， ， ， ， ， ， ，()nxt()mA,B,F,G，,H安徽省教育厅自然科学基金资助项目（2003kj053 ） ，欧光明（1975-） ，男，四川资阳人，硕士生，主要从事非线性控制系统稳定性方面的研究。联系电话：13155368959 Email ： .2061mgcom陈松林（1964-） ，男，教授，主要从事非
6、线性系统研究。为适当维数常数区间矩阵， 为适当维数常数矩阵，且 。,MNR1(,.),iMdia维向量 ， ，m1(),.()Tmttt 2()0,()|0,0()0,iiiiiiiiifkf kfk， 。 为系统时滞常数。(fff1.mKdag令 ，设 ，为方便记，仍记 为 ，则系统 化为)(,)(utytz(),()TXtxytz()Xtx(2.1)下列等价系统 ()()()() (.)xtAtBtCtDwtwftEt ， ， ， ， 。1,00ADIMRN,0EB,010M,TFEHG设 ， ， ，推广文献3关于正定矩阵 确110AI210ADIMRN012()AP定的方法，使 更具有一
7、般性：设正定矩阵 满足等式P,PW。00 (2.3)TA定理 1：对系统 ，设 为正定阵，且满足式 ，若存在矩阵 ，(2.), (2.3)12(,.)0mndiag， ， ，使满足条件,0mdiag12(.,)mndiag1,.0mdiag，123425*M则 Lurie 系统 绝对稳定。 (2.1)其中 ，且 ； ； ；TijijMTTAP12TMPBA13TMPCA； ； ； ；142PDE2T23241TBDE； ； ， 、 等矩阵见上文。3TC34TCDE 14TTDKE证明：对系统 ，取 Lyapunov 函数(2.)2 2()2 2011 1(, () ()()imnmmnt t
8、tTt ii iiiii iVxtPxdfsdxsd 当满足定理条件时， 。下面分析 ，由(,)0tx(2.),|tV(2.),|()()()()()TTTTTtxtPxxttxttftt t 据 得出 ，应用 S 步骤方法得2()()iiiktf 1()()TTtftfKft，1(2.)(2.) (2.),|,| (),|()()()TTtt tVxxtVxtftftKft 从而 ，其中 ，由定理条件 及引理 1 有(.)|Ttyt,ytxf 0，又 ，2(2.) min,|()(tx 222222()()()()(txttxtfxt有 ，在定理的条件下，系统 绝对稳定，再由系统 与系统 等
9、2(.)in| 0tVxt. 价，故有 Lurie 系统 绝对稳定。 (.1)定理 2：对系统 ，设 为正定阵，且满足式 ，若存在矩阵 ，,PW(2.3)12(,.)0mndiag， ， ，使满足条件1(,.)0mdiag12(,.0mndiag1(,.)0mdiag，则 Lurie 系统 绝对稳定。 T1.)其中 ， ； ； ； ；4()ij 1TAP12PB13C1412TTPDEA； ； ； ； ； ； ；21TBP22304TET303； ； ； ；34CE41TDE243； 。 1TK()TABC证明：在定理 1 中，设 ， ，据引理 2 知 等价于 ，故定理 20010T结论成立。
10、 对系统 ，当系数矩阵 ， 为零点区间矩阵，且 可逆时，对应控制系统为系统 的(2.)0M,GN(.)特殊形式，称为区间中立型 Lurie 直接控制系统：，(),(),(),(),(),()(2.4),xtAxtBxtCxtDutEtNuRfFtHut 采用与系统 相同的处理方法，我们有如下推论：(2.1)推论：对系统 ，设 为正定阵，且满足式 ，若存在矩阵 ，4,PW(2.3)1(,.)0mndiag， ， ，使满足条件1(,.)0mdiag1(,.0mndiag1(,.)i，231425* (2.5)ZZ则 Lurie 系统 绝对稳定。(2.4)证明过程略。其中 为对称矩阵， ， 见定理
11、1，但此处有 ，ZijijZMij 1,0ADNR， ， ， 。 ,0BE,0C1DN,FEH3、举例：对系统 ，取系数矩阵 ， ， ，(2.4),2.5,9A,0.2,B,0.862,3C， ， ， ， ，,.5,D,0.3E0.7F.3N。10R利用 工具箱，令 为角域 内的函数，利用文献5方法求解区间矩阵不等MATLB()ft,1K式 ，得到正定阵 以及对角阵 如下列等式：(2.5),PW1,； ； ； ； ； 。107.2P0.5970.9=120=3.=10据推论知该区间中立型 直接控制系统绝对稳定。Lurie设系统初始状态为 ，且取非线性系统簇的特例 （其他非线性情形同05x()9
12、.2()ftt样分析） ，则控制系统状态变量 的变化曲线如下图 5-1 所示。()t时间图 5-1系统状态变量的分量由仿真曲线也知该区间中立型 控制系统绝对稳定。Lurie4、结论本文应用 Lyapunov 泛函讨论区间中立型 Lurie 控制系统的绝对稳定性，得到系统绝对稳定的充分条件，这些条件用区间矩阵不等式表示，易于验证且具有较低的保守性，求解也比较方便，同时推广了文献3关于矩阵确定的方法，使矩阵 更具有一般性。PP参考文献：1马克茂.区间系统鲁棒绝对稳定性分析J.系统工程与电子技术，2006，28（2） ，280-283.2何勇,吴敏,张先明.一类区间控制系统鲁棒绝对稳定性的 LMI
13、方法J.电路与系统学报,2003,8(4),8-11.3甘作新,葛渭高.多非线性区间 Lurie 系统的鲁棒绝对稳定型J.辽宁师范大学学报,2000,23(1),9-14.4宋乾坤.具有多滞后时变区间 Lurie 控制系统的指数稳定性判据J.重庆师范学院学报，2003,20（1） ，8-12.5 WANG K N.On sufficient conditions for the Stability of interval matricesJ.System & Control Letters,1993,20:345-351.6匡继昌.常用不等式（第三版）M.山东科学技术出版社，2004. 7俞立.鲁棒控制线性矩阵不等式处理方法M.清华大学出版社，2002.注意：论文结构中文题目作者（单位、地址、邮编）摘要：关键词： 中图分类号： （要查，不同种类论文该分类号不同）231O英文题目英文名字(英文单位、地址、邮编)Abstract：Keywords：1、引言2、主要结论3、举例： 4、结论参考文献：
