1、一次函数的综合应用题（江苏泰州市二附中李军）函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。1、成本与利润问题。例 1：一次时装表演会预算中票价定位每张 100 元，容纳观众人数不超过 2000 人，毛利润y（百元）关于观众人数 x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过 1000 人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费 5000 元（不列入成本费用）请解答下列问题：求当观众人数不超过 1000 人时，毛利润 y（百元）关于观众人
2、数 x（百人）的函数解析式和成本费用 s（百元）关于观众人数 x（百人）的函数解析式；若要使这次表演会获得 36000 元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过 1000 人时，表演会的毛利润=门票收入成本费用；当观众人数超过 1000 人时，表演会的毛利润=门票收入成本费用平安保险费）8504350O-120y（ 百 元 ） x（ 百 人 ）解析：由图象可知：当 0x10 时，设 y 关于 x 的函数解析 y=kx-100，（10，400）在 y=kx-100 上，400=10k-100，解得 k=50y=50x-100，s=100x-(50x-100)
3、，s=50x+100当 10x20 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y=mx+b，（10，350） ， （20，850）在 y=mx+b 上， 10m+b=350 解得 m=5020m+b=850 b=-150y=50x-150 s=100x-(50x-150)-50s=50x+100y= 50x-100 (0x10) 50x-150 (10x20) 令 y=360 当 0x10 时，50x-100=360 解得 x=9.2 s=50x+100=509.2+100=560 当 10x20 时，50x-150=360 解得 x=10.2 s=50x+100=5010.2+100=610。要
4、使这次表演会获得 36000 元的毛利润. 要售出 920 张或1020 张门票，相应支付的成本费用分别为 56000 元或 61000 元。点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。2、行程问题。例 2：甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程 s（千米）与时间 t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点 A 处，求 A 点距山顶的距离；在的
5、条件下，设乙同学从 A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息 1 小时，沿原路下山，在点 B 处与乙同学相遇，此时点 B 与山顶距离为 1.5 千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？ 12623S（ 千 米 ） t（ 小 时 ）CDEFB甲 乙解析：设甲、乙两同学登山过程中，路程 s（千米）与时间 t（时）的函数解析式分别为s =k t，s =k t。甲 1乙 2由题意得：6=2 k ，6=3 k ，解得：k =3，k =2 s =3t，s =2t1212甲 乙当甲到达山顶时，s =12（千米） ，12=3t 解得：t=4s =2t=8（千米）甲 乙由图
6、象可知：甲到达山顶宾并休息 1 小时后点 D 的坐标为（5，12）由题意得：点 B 的纵坐标为 12- = ，代入 s =2t，解得：t=23乙 421点 B（ ， ） 。设过 B、D 两点的直线解析式为 s=kx+b，由题意得421t+b= 解得： k=-6 5t+b=12 b=42 直线 BD 的解析式为 s=-6t+42 当乙到达山顶时，s =12，得 t=6，把 t=6 代入 s=-乙6t+42 得 s=6（千米）点评：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键。3、饮水问题。例 3：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼
7、洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量 y（升）与放水时间 x(分钟) 的函数关系如下图所示：O212817y（ 升 ） x（ 分 钟 ）求出饮水机的存水量 y（升）与放水时间 x(分钟) （x 2）的函数关系式；如果打开第一个水管后，2 分钟时恰好有 4 个同学接水接束，则前 22 个同学接水结束共需要几分钟？按的放法，求出在课间 10 分钟内最多有多少个同学能及时接完水？解析：设存水量 y 与放水时间 x 的函数解析式为 y=kx+b,把（2，17） 、 （12，8）代入 y
8、=kx+b,得 17=2k+b 解得 k=- b = 109548=12k+b y=- x+ (2x )1095491由图象可得每个同学接水量为 0.25 升，则前 22 个同学需接水 0.2522=5.5（升） ，存水量 y=18-5.5=12.5（升）12.5=- x+ 解得 x=7054前 22 个同学接水共需要 7 分钟。当 x=10 时，存水量 y=- 10+ = ，用去水 18- =8.2（升）1995498.20.25=32.8 课间 10 分钟内最多有 32 个同学能及时接完水。点评：这是 2005 年泰州市的一道中考题，主要考查的是学生对图象的识读能力，能否围绕图象来解决问题。在考试中有相当一部分同学把问题简单化了，片面认为两个放水管的工作效率是单独一个放水管工作时效率的 2 倍。这样一来，得出：每个同学接水需 0.5 分钟，22 个同学接水需：（22-4） 20.5+2=6.5（分钟） 。从图象上不难得出：两个放水管的工作效率= ，单独一个放水管工作时效率= ， 2 。109109
