1、2018 年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所 .故选 D.2. 已知复数满足： ，其中是虚数单位，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以的共轭复数为 .故选 B.3. 三内角 的对边分别为 ,则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：在三角
2、形中， 等价为 ，即 若 ，由正弦定理 ，得 充分性成立若 ，则正弦定理 ，得 ，必要性成立所以， “ ”是“ ”的充要条件即 是 成立的充要条件，故选 C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断4. 如图，四边形 是边长为 2 的正方形，曲线段 所在的曲线方程为 ，现向该正方形内抛掷 1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据条件可知， ，阴影部分的面积为 ， 所以，豆子落在阴影部分的概率为 .故选 A.5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的 值为（ ）A. 0 B. 1 C. 16 D. 32【答案】B【解析】 ； ； ； .
3、故选 B.点睛：本题考查的是算法与流程图.对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 12 B. 16 C. D. 24【答案】B【解析】该几何体的直观图如图所示，其体积为 （ ）.故选 B.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何
4、体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 函数 （ ）的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 故选 C.8. 已知函数 （ ）图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】A【解析】由题意得 ,因为函数 的
5、图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，所以 关于 轴对称，即 ，所以 关于点 对称，选 A.9. 在 中，点 是边 上任意一点， 是线段 的中点，若存在实数和 ，使得 ，则 （ ）A. B. 2 C. 2 D. 【答案】B【解析】因为点 在边 上，所以存在 ，使得 .因为 是线段 的中点，所以又 ，所以 ， ，所以 . 故选 B.10. 在锐角 中， ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 .因为 是锐角三角形，所以得 .所以 .故选 D.11. 已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作可行域，如图阴影部分所示.
6、表示可行域内的点 与点 连线的斜率. 易知 ， ， .当直线 与曲线 相切时， ，切点为 ，所以切点位于点 、 之间. 因此根据图形可知， 的最大值为 .故选 C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.12. 已知函数 ， 是 图象上任意一点，过点 作直线 和 轴的垂线，垂足分别为，又过点 作曲线 的切线，交直线 和 轴于点 .给出下列四个结论： 是定值； 是定值； （ 是坐标原点）是定值；
7、 是定值.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 设 ，则 ，为定值，所以正确；因为四边形 四点共圆，所以 ，又由知 ， 所以 ，为定值，故正确； 因为 ，所以过点 的曲线 的切线方程为 ，所以 ， ，所以 ，为定值，故正确；. ，不是定值，故不正确, 故选 C.二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 的系数是_.【答案】-189【解析】令 ，得展开式中各项系数之和为 .由 ，得 ，所以展开式的通项为. 由 ，得 ，展开式中 的系数是 .14. 设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且满足
8、，若 ，则的值为_.【答案】【解析】设 ， . 因为抛物线 x2=4y 的焦点为 ，准线为 ， 所以由 ，得 ，所以 ，x12=4y1=2.由 得 即因为 x22=4y2，所以 . 解得 或 （舍）.15. 已知由样本数据点集合 求得的回归直线方程为 ，且 .现发现两个数据点 和 误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为 1.2，那么，当 时， 的估计值为_.【答案】 ； 【解析】将 代入 得 . 所以样本中心点为 ，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9) 知：， ，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为 ，将样本中心点坐标代入得： ，所以，当 时， 的估计值为
9、.16. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线 与直线 ， 和 所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_. 【答案】【解析】设点 ，则 ，所以圆环的面积为 .因为 ，所以 ，所以圆环的面积为 .根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的
10、体积等于底面半径为 、高为 的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知公差不为 0 的等差数列 的首项 ，且 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， ， 是数列 的前 项和，求使 成立的最大的正整数 .【答案】 （） ， .（） .【解析】试题分析：（1）设数列 的公差为 ，由 ， ， 成等比数列，得 ，解得 . 从而求得 .（2）由（1） ， 得 ，解得 . 故最大的正整数 .试题解析：（）设数列 的公差为 ，则 ， .由 ， ， 成等比数列，得 ， 即 ，得 （舍去）或 . 所以数列 的
11、通项公式为 ， .（）因为 ， 所以 .由 ，即 ，得 . 所以使 成立的最大的正整数 .18. 如图，四边形 是矩形，沿对角线 将 折起，使得点 在平面 上的射影恰好落在边 上.（1）求证：平面 平面 ；（2）当 时，求二面角 的余弦值.【答案】 （I）见解析；（II ） . 【解析】试题分析：（1）先证明 . 结合 ，得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（2）以点 为原点，线段 所在的直线为 轴，线段 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.试题解析：（1）设点 在平面 上的射影为点 ，连接则 平面 ，所以 .因为四边形 是矩形，所以 ，所以 平面 ，所以 . 又 ，
12、所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .（2）方法 1：在矩形 中，过点 作 的垂线，垂足为 ，连结 .因为 平面 ，又 DMDE=D所以 平面 ，所以 为二面角 的平面角. 设 ，则 .在 中，易求出 ， .在 中， ，所以 . 方法 2：以点 为原点，线段 所在的直线为 轴，线段 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 ，则 ，所以 ， .由（I）知 ，又 ，所以 ， ，那么 ， ，所以 ，所以 ， . 设平面 的一个法向量为 ，则 即取 ，则 ， ，所以 . 因为平面 的一个法向量为 ，所以 .所以求二面角 的余弦值为 . 点睛：此题考查二面角余弦值的计算，向量坐标的运
13、算等.向量法在解决立体几何中二面角问题的一般步骤是：1.建系，根据图形特点建立合理的空间直角坐标系；2.标点，把所涉及到的点的坐标找出来，并计算相应向量的坐标；3.求法向量，通过向量的运算，把二面角的两个半面的法向量计算出来；4.代入公式求值，利用向量的数量积公式，求出两个法向量的夹角，从而求二面角的相关值.19. 某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为 2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取 5 辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的 5 辆单车中有 2 辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过 （ ）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列和数学期望.【答案】(I) . (II) 见解析.【解析】试题分析：(1) 设 表示“抽取的 5 辆单车中蓝颜色单车的个数” ，则 ，可求 5 辆单车中有 2 辆是蓝颜色单车的概率. (2) 的可能取值为：0，1，2， . 并且有 ， ， ，
