1、2018 年庆市高三模拟考试(二模)数学试题（文）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1. 已知复数 是纯虚数（i 是虚数单位） ，则,实数 a 等于A. -2 B. 2 C. D. -1【答案】C【解析】 是纯虚数,所以 ，选 C.2. 设等比数列a n的公比 q=3,前 n 和为 Sn,则 的值为A. B. C. D. 9【答案】A.3. 下列命题中正确是A. 命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则 x2-3x+20”B. 若“p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题C. 若命题 p:D.
2、x1 是 x21 的必要不充分条件【答案】A【解析】命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则 x2-3x+20” ； 若“p 且q”为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题；若命题 p:；x1 是 x21 的充分不必要条件；所以正确是 A.4. 中人民银行发行了 2018 中国皮(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚 3 克圆形金质纪念币,直径 18mm,小米同学为了算图中饰狗的面积,他用 1 枚针向纪念币上投那 500 次,其中针尖恰有 150 次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的
3、概率为 ，由几何概型概率得落在装饰狗的概率为 ,所以 ，选 B.5. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. 12cm3B. 16cm3C. cm3D. 24cm3【答案】B【解析】几何体如图，可割补成两个正方体，体积为 ，选 B.点睛:补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥” 6. 已知函数 （ ）图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数的图象向左平移 个
4、单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称【答案】A【解析】由题意得 ,因为函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，所以 关于 轴对称，即，所以 关于点 对称，选 A.7. 中国古代有计算多项式的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，3，7，则输出的 s 等于A. 7 B. 8 C. 21 D. 49【答案】C【解析】执行循环得 ，结束循环输出选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流
5、程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 已知函数 （e 是自然对数的底数） ， 则 f（x）的极大值为A. 2e-1 B. C. 1 D. 2ln2【答案】D【解析】 ，9. 设 x,y,z 均大于 1，且 ，令 则 a,b,c 的大小关系是A. abc B. bca C. cab D. cba【答案】D【解析】令 所以 ，因为因为 ，选 D.10. 过双曲线 的左焦点 F 作圆 的切线，切点为 M，又直线 FM 与直线 相交于第一象限内一点 P，若 M 为线段 FP 的中
6、点，则该双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】因为选 B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11. （安徽省安庆市 2018 届高三二模考试）对大于 1 的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如 ，依此规律，则 的分解和式中一定不含有A. 2069 B. 2039C. 2009 D. 1979【答案】D【解析】由规律得 中有 项，而 中第一项分别为，所以 中第一项为 ，所以一定不含有 1979
7、，选 D.12. 定义在 R 上的函数 f(x)，满足 且 f(x+1)=f(x-1)，若 g(x)=3-，则函数 F（x）=f（x）-g（x）在 内的零点个数有A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个【答案】B【解析】由 f(x+1)=f(x-1)得 f(x)周期为 2，作函数 图像，由图可得有两个交点，所以选 B.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等填空题：本大题共 4 小题，每小题
8、 5 分，共 20 分，把答案填写在题中的横线上.13. 若 则向量 与向量 夹角的大小是_.【答案】【解析】由 得14. 已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_.【答案】2.【解析】作可行域，如图，则直线 z=x+2y 过点 A（2，0）时 z 取最小值 2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 设直三棱柱 ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40
9、，AB=AC=AA 1，BAC=120，则此直三棱柱的高是_.【答案】【解析】设三角形 BAC 边长为 ，则三角形 BAC 外接圆半径为 ，因为所以 即直三棱柱的高是 .16. 锐角三角形的三个内角分别为 A、B、C，sin（A-B）= ，sinC= ，AB=6，则ABC 的面积为_.【答案】【解析】，,点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通
10、常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在等差数列 中 ，前三项的和为 15.(1)求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 n 项和 .【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式求首项与公差， （2）根据错位相减法求和.试题解析：（）由题意得 （） 将-得, 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便
11、下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 如图所示，四棱锥 B-AEDC 中，平面 AEDC平面 ABC，F 为 BC 的中点，P 为 BD 的中点，且 AE/DC，ACD=BAC=90，DC=AC=AB=2AE（1）证明：EP平面 BCD；（2）若 DC=2，求三棱锥 E-BDF 的体积.【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得 ，再根据面面垂直性质得平面 .，即得 ，从而可由线面垂直判定定理得 平面 .最后根据平行四边形性质得 即得结论， （2）因为 平面 ，
12、所以根据锥体体积公式求体积.试题解析：（）由题意知 为等腰直角三角形，而 为 的中点，所以 .又因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 . 而 平面 ，所以 . 而 所以 平面 . 连结 ,则 而 所以 是平行四边形,因此平面 . （）因为 平面 ，所以 平面 是三棱锥 的高.所以 . 于是三棱锥 的体积为19. 在党的十九大报告中,习近平总书提出“水青山就是金山银山”;为响配习总书记的号,某市旅前局计划共投入 4 千万元,对全市各旅区的环境进行综合治理,并且对各放游量区收益的增加值作了初步的估计,根据旅游局的治理规划方案,针对各旅游景区在治理后收益的增加值,工作人员绘了下面的频率分布直方图(如图
13、所示),由于操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从 0 开始计数的,(I)频率分布直方图中各小长方形的宽度相等,求这个宽度；(II)旅游局在投入 4 千万元的治理经费下，估计全市旅游景区收量增加值的平均数为多少万元 (以各组的区间中点值代表该组的取值)(III)若旅游局投入的不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：投入饿治理经费 x（单位：千万元） 1 2 3 4 5 6 7收益的增加值 y （单位： 万元） 2 3 2 7 7 9请将(II)的答案填入上表的空白栏，结果显示 x 与 y 之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还计划使全市旅游景区收益的总额至少增加 10
14、 万元，试估计旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？（答案精确到 0.01）附注：回归直线方程 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：【答案】 （1）2（2）5（3） 8.12【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图各小长方形面积总和为 1 可得方程，解得所求宽度， （2）根据组中值与对应区间概率乘积的和求平均值（3）先求数据平均数，再代人公式求 ，最后根据回归直线方程求对应函数值取值范围，确定最小值.试题解析：（ 解：（）设各小长方形的宽度为 ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1 可得,，故 （）由（）知各小组依次是 ，其中点分别为 ，对应的频率分别为 ，故可估计
15、平均值为. （）空白栏中填 5.由题意可知， ， ，. 根据公式可求得，所以回归直线方程为 . 当 时， .即旅游局对全市旅游景区至少投入 8.12 千万元的治理经费.20. 在直角坐标系中，设点 A（-3，0） ，B（3，0） ，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是（1）试讨论点 M 的轨迹形状； （2）当 0b3 时，若点 M 的轨迹上存在点 P（P 在 x 轴的上方） ，使得APB=120，求 b 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）设点 ，根据条件化简，根据方程形式确定轨迹形状， （2）利用两角和表示APB，结合斜率公式已经正切和公式表示 b
16、 的函数，最后根据点的范围确定 b 的取值范围.试题解析：（）设点 ，由题意得：化简得，所以点 的轨迹方程为 当 时，点 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆（除去 A,B 两点） ；当 时，点 的轨迹是圆（除去 A,B 两点） ；当 时，点 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆（除去 A,B 两点）（）方法一：当 时，设点 的坐标为 ，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，因为点 P 在点 M 的轨迹上，所以 ， 因此 的取值范围是 方法二：当 时，设点 P 的坐标为 ， 以下同方法一21. 设（1）试讨论 f(x)在 上的单调性；（2）令 g（x）=ax-a（a1）当 m=-1 时，若恰有两个整数 x1，x
17、 2，使得求实数 a 的最小值.【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论导函数零点，根据导函数符号确定单调性，（2）先分别讨论函数 图像，根据图像关系确定整数解，结合整数解列不等关系，求 a 的取值范围，即得最小值.试题解析：（） . 令 ，则 .若 ，即 时， ，此时 在 上单调递增. 若 ，即 时，此时 在 上单调递减，在上单调递增. （） 就是 利用导数知识确定 的图象： 在 内单减，在 内单增，是极小值点，且 .直线 g(x)=ax-a 过定点(1,0),a0.存在的两个整数点是 0,-1.于是 ，所以 ，解得 故 的最小值是22. 选修 4-4：坐标系与
18、参数方程已知在极坐标系中，点 ， ， 是线段 的中点，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程是（ 为参数）.（1）求点 的直角坐标，并求曲线 的普通方程；（2）设直线 过点 交曲线 于 两点，求 的值.【答案】 （） , . （）12.【解析】试题分析：（1）根据将 极坐标化为直角坐标，利用三角函数平方关系消参数得普通方程， （2）先设直线 参数方程，再代人圆方程，利用参数几何意义求的值.试题解析：（）将点 ， 的极坐标化为直角坐标，得 和 .所以点 的直角坐标为 . 将 消去参数 ，得 ，即为曲线 的普通方程. （）解法一：直线
19、 的参数方程为 （ 为参数， 为直线 的倾斜角）代入 ，整理得： .设点 、 对应的参数值分别为 、 .则 ，. 解法二：过点作圆 ： 的切线，切点为 ，连接 ，因为点由平面几何知识得： ，所以 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知 ，不等式 的解集是 .（1）求集合 ；（2）设 ，证明： .【答案】 （） . （）见解析. 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为两个方程组，分别求解，最后取并集， （2）作差，并部分因式分解，根据 a.b 范围确定符号，即证的结果.试题解析：（）当 时， .由 ，得 ，所以 . 当 时， .由 ，得 ，所以 综上可知， . （）因为 ， ，所以 ， ， 即 ， . 所以，故 .点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
