1、【单元测验】第 2 章 二次函数一、选择题（共 20 小题）1 （2007 宜昌）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ）Ay= ，y=kx 2x By= ，y=kx 2+x Cy= ，y=kx 2+x Dy= ，y=kx 2x2 （2003 苏州）已知 a 1，点（a 1，y 1） ， （a，y 2） ， （a+1，y 3）都在函数 y=x2 的图象上，则（ ）Ay1y 2y 3 By1y 3y 2 Cy3y 2y 1 Dy2y 1y 33 （2010 大田县）抛物线 y=kx27x7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak
2、 Bk 且 k0 Ck Dk 且 k04 （2000 绍兴）某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直） ， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 米，则水流下落点 B 离墙距离 OB 是（ ）A2 米 B3 米 C4 米 D5 米5 （2004 天津）己知二次函数 y=ax2+bx+c，且 a0，ab+c0，则一定有（ ）A b24ac0 B b24ac=0 C b24ac0 D b24ac06 （2008 义乌市）已知：二次函数 y=ax2+bx+a2+b（a0）的图象为下列图象之一，则 a 的值为（ ）A 1B1 C
3、D7 （2008 资阳）已知 y=2x2 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A y=2（x 2）2+2 B y=2（x+2）22 C y=2（x 2）22 Dy=2（x+2） 2+28 （2000 甘肃）下列四个函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是（ ）Ay=2x By=x+1 Cy= （x0） Dy=x2（x0）9 （2005 连云港）抛物线 y=a（x+1） 2+2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（ ）A（ ，0） B（1，0） C（2，0） D（3，0）10 （2
4、007 聊城）如图，点 C 是线段 AB 上的一个动点，AB=1，分别以 AC 和 CB 为一边作正方形，用 S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A 当 C 是 AB 的 B 当 C 是 AB 的 中点时，S 最小 中点时，S 最大C当 C 为 AB 的三等分点时，S最小D当 C 为 AB 的三等分点时，S最大11 （2002 济南）抛物线 y=ax2 与直线 x=1，x=2 ，y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba2 Ca1 Da212 （2005 温州）已知抛物线的解析式为 y=（x 2） 2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）A
5、 （2 ，1 ）B（2，1） C （21）D（1，2）13 （1998 湖州）若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1） ， （ 1，0） ，则 S=a+b+c 的变化范围是（ ）A0s2 BS1 C1S2 D 1 S114 （2010 毕节地区）函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）ABCD15 （2011 兰州）如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1， E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH，设小正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ）ABCD16
6、（2005 南宁）函数 y=ax2a 与 y= （a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）ABCD17 （2010 毕节地区）把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的关系式为 y=x23x+5，则有（ ）Ab=3，c=7 B b=9，c=25Cb=3，c=3 D b=9，c=2118 （2005 资阳）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论a+b+c0； ab+c0；b+2a0； abc0，其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个19 （2009 兰州）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m
7、 和 y=mx2+2x+2（m 是常数，且m0）的图象可能是（ ）ABCD20 （2002 山西）已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c8=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实数根B有两个异号实数根C有两个相等的实数根D没有实数根二、填空题（共 10 小题） （除非特别说明，请填准确值）21 （2001 嘉兴）炮弹从炮口射出后，飞行的高度 h（m ）与飞行的时间 t（s）之间的函数关系式为 h=votsin5t2，其中 vo 是炮弹发射的初速度， 是炮弹的发射角，当vo=300m/s，=30时，炮弹飞行的最大高度是 _ m 22 （2008 黄石
8、）若实数 a，b 满足 a+b2=1，则 2a2+7b2 的最小值是 _ 23 （2003 宁波）已知抛物线 y=x2+x+b2 经过点（a， ）和（a，y 1） ，则 y1 的值是 _ 24 （2007 舟山）抛物线 y=2（x 2） 26 的顶点为 C，已知 y=kx+3 的图象经过点 C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 _ 25 （2010 包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 _ cm 226 （2008 长春）将抛物线 y=ax2+bx+c（a0）向下平移 3 个单位，再向左平移 4
9、 个单位得到抛物线 y=2x24x+5，则原抛物线的顶点坐标是 _ 27 （2006 泰安）抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 容易看出， （2 ，0）是它与 x 轴的一个交点，则它与 x 轴的另一个交点的坐标为 _ 28 （2009 兰州）二次函数 y= x2 的图象如图所示，点 A0 位于坐标原点，A1，A 2，A 3，A 2008 在 y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，B 2008 在二次函数 y= x2 第一象限的图象上，若A 0B1A1，A 1B2A2，A 2B3A3，A 2007B2
10、008A2008 都为等边三角形，请计算A 0B1A1 的边长= _ ；A 1B2A2 的边长= _ ；A2007B2008A2008 的边长= _ 29 （2003 黑龙江）已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为 1，则 a+c 的值为 _ 30 （2002 重庆）已知二次函数 y=4x22mx+m2 与反比例函数 y= 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是2，则 m 的值是 _ 【单元测验】第 2 章 二次函数参考答案与试题解析一、选择题（共 20 小题）1 （2007 宜昌）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ）A
11、y= ，y=kx 2x By= ，y=kx 2+x Cy= ，y=kx 2+x Dy= ，y=kx 2x考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象。124320 分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致解答： 解：双曲线的两支分别位于二、四象限，即 k0；A、当 k0 时，物线开口方向向下，对称轴x= = 0，不符合题意，错误；B、当 k0 时，物线开口方向向下，对称轴x= = 0，符合题意，正确；C、当k0 时，即 k0，物线开口方向向上，不符合题意，错误；D、当k 0 时，物线开口方向向下，但对称轴x= = 0，不符合题意，错误故选 B点评：
12、解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断 a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其对称轴是否符合要求2 （2003 苏州）已知 a 1，点（a 1，y 1） ， （a，y 2） ， （a+1，y 3）都在函数 y=x2 的图象上，则（ ）Ay1y 2y 3 By1y 3y 2 Cy3y 2y 1 Dy2y 1y 3考点： 二次函数图象上点的坐标特征。124320 分析： 根据函数 y=x2的图象的特点：函数 y=x2 的图象的开口向上，对称轴是 y 轴；在 y 轴的左侧y 随 x 的增大而减小；在 y 轴的右侧 y 随 x的增大而增大解答： 解： a 1，a1aa+1 0，即点（a
13、1，y 1） ，（a，y 2） ，（a+1，y 3）都在 y 轴左侧，y=x2 的图象在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，y3 y2y 1故选 C点评： 主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律3 （2010 大田县）抛物线 y=kx27x7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ）Ak Bk 且 k0 Ck Dk 且 k0考点： 抛物线与 x 轴的交点。124320 分析： 抛物线y=kx27x7 的图象和 x 轴有交点，即一元二次方程kx27x7=0 有解，此时0解答： 解： 抛物线y=kx27x7 的图象和 x 轴有交点，即 y=0 时方程kx27x7=0 有实数根，即
14、=b 24ac0，即 49+28k0，解得 k ，且k0故选 B点评： 考查抛物线和一元二次方程的关系4 （2000 绍兴）某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直） ， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 米，则水流下落点 B 离墙距离 OB 是（ ）A2 米 B3 米 C4 米 D5 米考点： 二次函数的应用。124320 专题： 应用题。分析： 以地面，墙面所在直线为 x轴，y 轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答解答： 解：设抛物线解析式：y=a（x 1） 2+，把点A（0，
15、10）代入抛物线解析式得：a= ，抛物线解析式：y= （ x1） 2+当 y=0 时，x1=1（舍去） ，x2=3OB=3 米故选 B点评： 本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题5 （2004 天津）己知二次函数 y=ax2+bx+c，且 a0，ab+c0，则一定有（ ）A b24ac0 B b24ac=0 C b24ac0 D b24ac0考点： 二次函数图象与系数的关系。124320 分析： 由 a0 可以得到抛物线的开口向下，又ab+c0，所以当 x=1 时，y=ab+c0，画草图可以推出抛物线与 x 轴有两个交点，由此可以得到b24ac0解答： 解： a0
16、，抛物线的开口向下ab+c0，当 x=1 时，y=ab+c0，画草图得：抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0故选 A点评： 此题考查了二次函数的性质和图象、点与函数的对应关系，也考查了b24ac 与抛物线与 x 轴交点的个数的关系6 （2008 义乌市）已知：二次函数 y=ax2+bx+a2+b（a0）的图象为下列图象之一，则 a 的值为（ ）A 1B1 CD考点： 二次函数图象与系数的关系。124320 分析： 由图 得，b=0，然后由图象与坐标轴交点即可确定不符合题意；由图 得，b=0，然后由图象与坐标轴交点即可确定没有符合要求的解；由图 得，a0，b0，a 2+b0，a b+a2+b
17、=0，得a+a2=0，然后即可得到a=1；由图 得，a0，b0，然后由图象与坐标轴交点即可确定不符合题意解答： 解：由图 得，b=0，y=ax2+bx+a2+b为：y=ax 2+a2，开口向上，a0，与 y 轴交于负半轴，即c0，即需a20；不符合题意；由图 得，b=0，y=ax2+bx+a2+b为：y=ax 2+a2，开口向下，a0，与 y 轴交于正半轴，即2a 23， a，没有符合要求的解；由图 得：开口向下，a0，对称轴在 y 轴右侧，a 与 b异号，即b0，当 x=1 时，y=0，a b+a2+b=0，得a+a2=0，a=1由图 得，开口向上，a0，对称轴在 y 轴左侧，a 与 b同号
18、，即b0，图象与 y 轴交于负半轴，a2+b=0，不存在这样的a 与 b，不符合题意故选 A点评： 此题考查了二次函数的图象和性质，解题时要注意数形结合思想的应用7 （2008 资阳）已知 y=2x2 的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A y=2（x 2）2+2 B y=2（x+2）22 C y=2（x 2）22 Dy=2（x+2） 2+2考点： 二次函数图象与几何变换。124320 分析： 抛物线平移不改变 a 的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标解答： 解：先将 x 轴、y 轴的平移转化为抛物线的平
19、移，即可看做把抛物线沿 x轴方向向左平移 2 个单位长度，沿 y 轴方向向下平移 2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，那么新抛物线的顶点为（2 ， 2） 可设新抛物线的解析式为y=2（x h）2+k，代入得：y=2（x+2）22故选 B点评： 此题主要考查抛物线的平移规律8 （2000 甘肃）下列四个函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是（ ）Ay=2x By=x+1 Cy= （x0） Dy=x2（x0）考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质。124320 分析： 根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变
20、量的取值范围，逐一判断解答： 解：A、y=2x，正比例函数，k0，故 y 随着 x 增大而增大，错误；B、y=x+1，一次函数，k0，故 y 随着 x 增大而增大，错误；C、y= （x0） ，反比例函数，k0，故在第一象限内 y 随x 的增大而减小，正确；D、y=x 2，当x0 时，图象在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大，错误故选 C点评： 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性） ，是一道难度中等的题目9 （2005 连云港）抛物线 y=a（x+1） 2+2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（ ）A（ ，0） B（1，0）
21、 C（2，0） D（3，0）考点： 二次函数的图象。124320 分析： 因为抛物线y=a（x+1） 2+2的对称轴为x=1，根据对称轴 x=1 及图象与 x 轴的一个交点（3，0）可求另一个交点解答： 解：因为抛物线 y=a（x+1）2+2 的对称轴为x=1，抛物线与 x 轴的一个交点（3 ，0 ） ，根据对称性，抛物线与 x 轴的一个交点（1，0） ，故选 B点评： 解答此题主要运用二次函数的对称性10 （2007 聊城）如图，点 C 是线段 AB 上的一个动点，AB=1，分别以 AC 和 CB 为一边作正方形，用 S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A当 C 是 AB
22、的中点时，S 最小B当 C 是 AB 的中点时，S 最大C当 C 为 AB 的三等分点时，S最小D当 C 为 AB 的三等分点时，S最大考点： 二次函数的最值。124320 专题： 动点型。分析： 根据四个选择项，可知要判断的问题是 C在 AB 的什么位置时，S 有最大或最小值由于点 C是线段 AB 上的一个动点，可设 AC=x，然后用含 x 的代数式表示 S，得到 S 与 x 的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断解答： 解：设 AC=x，则 CB=1x，S=x2+（1x） 2即S=2x22x+1，所以当 x=时，S 最小此时，C 是 AB的中点故选 A点评： 此类题目涉及到最值，它的解决
23、需建立二次函数的关系式，然后利用抛物线的顶点公式求解11 （2002 济南）抛物线 y=ax2 与直线 x=1，x=2 ，y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba2 Ca1 Da2考点： 二次函数综合题。124320 分析： 此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了解答： 解：由右图知：A（1，2） ，B（2，1） ，再根据抛物线的性质，a 越大越靠近 y 轴，把 A 点代入y=ax2 得 a=2，把 B 点代入y=ax2 得 a= ，则 a 点范围介于这两点之间，故 a2故选 D点评： 此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要
24、学会数形结合12 （2005 温州）已知抛物线的解析式为 y=（x 2） 2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）A （2 ，1 ）B（2，1） C （21）D（1，2）考点： 二次函数的性质。124320 分析： 直接根据顶点式的特点写出顶点坐标解答： 解：因为y=（x2 ） 2+1为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1） 故选 B点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标13 （1998 湖州）若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1） ， （ 1，0） ，则 S=a+b+c 的变化范围是（ ）A0s2 BS1 C1S2 D 1 S1考点： 二次
25、函数图象与系数的关系。124320 分析： 由二次函数的解析式可知，当 x=1 时，所对应的函数值y=s=a+b+c把点（0，1） ，（1 ，0 ）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，ab+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出 a 与b 的符号，进而求出 S=a+b+c的变化范围解答： 解： 二次函数y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1） ，（1 ，0 ） ，易得：c=1，ab+c=0，a0，b0，由 a=b10 得到 b1，结合上面 b0，所以0b1 ，由 b=a+10 得到 a1，结合上面 a0，所以1 a0 ，由 得：1 a+b1，且c=1，得到0a
26、+b+c2，0 s2故选 A点评： 此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题14 （2010 毕节地区）函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）ABCD考点： 二次函数的图象；一次函数的图象。124320 分析： 根据 a、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除解答： 解：当 a0 时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故 A、D 不正确；由 B、C 中二次函数的图象可知，对称轴x= 0，且a0，则b0，但 B 中，一次函数a0，b0，排除 B故选
27、 C点评： 应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等15 （2011 兰州）如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1， E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH，设小正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ）ABCD考点： 二次函数的应用；全等三角形的判定与性质；勾股定理。124320 分析： 根据条件可知AEHBFECGFDHG，设 AE 为 x，则AH=1x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1 x） 2，进而可求出函数解析式，求出答案解答：
28、 解： 根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，可证 AEHBFECGFDHG设 AE 为 x，则AH=1x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1 x） 2即s=x2+（1x）2s=2x22x+1，所求函数是一个开口向上，对称轴是x= 自变量的取值范围是大于 0小于 1故选 B点评： 本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决16 （2005 南宁）函数 y=ax2a 与 y= （a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）ABCD考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象。124320 分析： 本题只有一个待定系数 a，且a0，根据a0
29、和 a0 分类讨论也可以采用“特值法”，逐一排除解答： 解：当 a0 时，函数 y=ax2a 的图象开口向上，但当 x=0 时，y=a0，故 B不可能；当 a0 时，函数 y=ax2a 的图象开口向下，但当 x=0 时，y=a0，故C、D 不可能可能的是 A故选 A点评： 讨论当 a0 时和 a0 时的两种情况，用了分类讨论的思想17 （2010 毕节地区）把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的关系式为 y=x23x+5，则有（ ）Ab=3，c=7 B b=9，c=25Cb=3，c=3 D b=9，c=21考点： 二次函数图象与几何变换。1
30、24320 分析： 按照“左加右减，上加下减”的规律，把y=x23x+5 的图象向右平移 3个单位，再向上平移 2 个单位得抛物线y=x2+bx+c 的图象解答： 解：根据题意y=x23x+5=（x ） 2+ ，向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得y=（x ）2+ =x29x+25所以b=9，c=25 故选 B点评： 此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力18 （2005 资阳）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论a+b+c0； ab+c0；b+2a0； abc0，其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
31、考点： 二次函数图象与系数的关系。124320 分析： 由抛物线的开口方向判断 a与 0 的关系，由抛物线与 y轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答： 解： 抛物线的开口方向向下，a0，抛物线与 y 轴的交点为在 y轴的正半轴上，c0，抛物线对称轴在 y 轴右侧，对称轴为 x=0，又 a0，b 0，故 abc0；由图象可知：对称轴 x=0，且对称轴为 x=1，b+2a 0，由图象可知：当 x=1 时y0，a+b+c0；当 x=1 时y0，ab+c0、正确故选 B点评： 考查二次函数y=ax2+bx+c 系数符号的确定19 （
32、2009 兰州）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=mx2+2x+2（m 是常数，且m0）的图象可能是（ ）ABCD考点： 二次函数的图象；一次函数的图象。124320 分析： 本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是 m 的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当 a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下对称轴为 x= ，与 y 轴的交点坐标为（0，c） 解答： 解：当二次函数开口向上时，m 0， m0，对称轴 x=0，这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限故选D点评： 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题20 （2002 山西）已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c8=0 的根的情况是（ ）
