1、江云教育 我们用智慧播撒爱 初三暑期培优数学第一讲数学是打开科学大门的钥匙。证明（二） 平行线+角平分线等腰三角形平面几何里，角平分线和平行线的组合频繁出现，因为它们一结合定会产生等腰三角形，即：角平分线平行线 等腰三角形。先来证明一下：例、如图 1 所示，BE 是ABC 的角平分线，点 D 是边 BA 上的一点，DFBC,交 BE 于 点 F,求证： BDF 是等腰三角形。例 1、如图 3 所示，BF、CF 是ABC 的角平分线，过点 F 作 DBC,交 BA 于点 D, 交 BC 于点 E,请你猜一猜 DE 与 BD、CE 之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。（） 上 题 中 保 持 其
2、他 条 件 不 变 ， 过 点 做 BC 分别交、于、两点，结论依然成立吗？如 果 不 成 立 ， 请 证 明 。（ ） 你 还 能 想 到 其 他 变 化 吗 ？江云教育 我们用智慧播撒爱 初三暑期培优数学第一讲数学是打开科学大门的钥匙。变式练习: 如图所示，BF、CF 是ABC 的角平分线，过点 F 作 DFAB 交 BC 与 D，作 EFBC 交点 E，若 BC=12，求DEF 的周长。变式图形：迅速找出每个图形中等腰三角形。并选择其中个给出证明。有意思的是，该命题的两个逆命题也成立，即：角平分线等腰三角形平行线，平行线等腰三角形角平分线。 我们也可以利用上图完成这两个命题的证明。例 2
3、：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 为 DC 的中点，且 ABADBC，AE 与 BC 的延长线交与F 点， 求证：AE 平分DAB。D CGAB FED CABED CABED CABEFED CBA江云教育 我们用智慧播撒爱 初三暑期培优数学第一讲数学是打开科学大门的钥匙。同步练习：第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图练习 1如图 1，直线 EF分别与直线 AB、 CD相交于点 G、 H，已知 1250，GM平分 H交直线 于点 M则 3=-（ ）A60 B65 C 70 D130练习 2如图，梯形 ABCD 中，ABC 和DCB 的平分线相交于梯形中位线 EF
4、 上的一点 P，若 EF=3，则梯形 ABCD 的周长为-( )(A)9 (B)10.5 (C)12 (D)15练习 3.如图，在 ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD 的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BGAE ，垂足为 G， BG= ，则 CEF 的周长为-（ 24）（A）8 （ B）9.5 （C）10 （D）11.5练习 4如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，DE AC ，DE 交 AB 于点 E ，F 为 BE 的中点，连结 DF.若 DF=3,DE=2,则 AC 长为 . 练习 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AF DC，连接 AC、CF，求证：CA 是DCF 的平分线.MH 32 1GA BC DEFAB CDE FPE AB CDFGACB DEFAC BFD
