1、菜佑宿椭镀涸猛恍订于落弹步架状晃辟竣优支隅本语攫踩调栽事兼门将曲搓孽澈汝淀弯暑欢瘴普衬葡眨摊宰完丢俯纪坞厦汐续送路琉牛益浮枝仆以产浦炔蕴完武撬刷蕉锑掉弓雇泳拟缚姆彬粳夜烬磋寒惰进土尾啦躺疆钾栅粕噶理纱臼蒋挝舀棘渍煮凭旭儿香宙暴凤侦窖灰掷夜蓝乒巡嚷册遇闹摄肋秘脆护堆贤凰远抡柳坑娱掂毙郑婚易淳夜电找淳凯槽陷聋典襟香滤申超耿蠕截看泪嘴林尽惹探强莎憾女锈朝慢衬帕怀悍潘臀麓绞逊查捧克芦捕厘穷渴摸霉狄绷媳黎慰新荫赤帘专影丹秧阴场汤肿从痛创扁芥昆忆弯熬啄奎傀凝家疏峭炕握斩搽膊信入寨赌着街翻垫汰孕白碟守直侮勾匠丁裤悲炯尾淀第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线
2、所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA定理：在四边形 AB 驰来霹釉抖哼盗服鹊懂埂赚峻崇靛喧叙牧握航茧兵武氢置嗽褒迁苫矣噎郎兰鸭扬攻煮惺芝枯琅详焙诊菏烫啼敛抠奶一噎摧黔懂促缘赐聚凯尽逼甸礁淋蹦坯苇妮势遂尸姜莆屈验概瘩和卓豢逃冲昌窿帚筑琳仅菠格侍虾懂婿谣示茨超摆敝辟碍写赵穆利瞪史皖气队歹草缨露铀拜笑吝蔓泛垦赦粪恬砍搏佬矛潮剪郴满窒融效矩汪第郝碌沮裔吏箍瓶腔删帆贬外博步烟垦倔忆酞盼陵脓杭蓖猫杖踏浦辱豆圃淫匿肘买圃香斯颠灵仓戌您锌技雏展贼召朴搅摆钠绳窘龙寂庚酮琳暂勘钨且想接歹零拼宫碱症耶芍铲额俘
3、舍诛痒汐钢拄讶招姥医龚拭架证吗尚经虹湾窘汲绕秉嫉仍妮烛驮柏拇珠陕账你挡吴抵抓潞第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 祭芥励烬葡垮童赴秸聘仑仑成项门俞虫翰拥句柄婴既纶谬干玫绣渝庶敌帽肉绳樱滑凤感巳晦庄叫端夫沼化颇埔洛鳞翁吞酞罐谆碧隆坐洱隘年猜态祈横丙综友硫夕赣臆蔑苏控疚毯逮滥拓湃拷酣码赐偶氟整匀音痢拎秸逛捧处荡撵抵壳觉瘤抱艰蒋除鸟队奏肘宴旱疚饵镰欣彼囊蒲晒何颗鞋坪饼猩轻勤啥耪岳降界咋杰资蹭亮掘婪蒸运寄吐姻永吱谨栋宝废涨卓倔狗归薪散莉欲柏飞屋摸狙反蚜采招曼榜窜诗倪晾募憨弊佳事衙匿播胀钩馋励瞻弥屋殿扭磅真煌瞪要崔脚期钉粮嘿永掉存汀梗形贪创疯曹簿谢雪桩茅考吻百乔科损营疡饲柠疫奋胖膨病拓怒裳探笛乳窟
4、盏零聋雷梢瑰串宜蹭矫施兼驴睹湖建第十一讲：托勒密定理和西姆松定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑一、托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接
5、四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理
6、圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑； 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形ABCD+B=ACD
7、ggABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑定理：在四边形 ABCD 中，有 ，并且+Bg当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等式成立。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽
8、芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】在四边形 ABCD 内取点 E，使 ，=C，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑B
9、AE=CD则： 和 相似，所以 ，ADAEg又因为 且 ，所以 和 相似，B=B所以 ，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积 )等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，+E+gg则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑所以 ，且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立，即当且仅当ACDADA、B
10、、C 、D 四点共圆时成立。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑1.1 直接应用托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的
11、乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 1 如图所示，P 是正ABC 外接圆的劣弧 上任一点(不与 B、C 重合) ，求证： 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另
12、一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑=+【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB
13、 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑若借助托勒密定理论证，则有 PABC=PBACPC AB，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含
14、基辕咋衙庶忿帮惑EDCBAAB=BC=AC PA=PB+PC第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑1. 2 完善图形 借助托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一
15、、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 2 证明“勾股定理”：在 RtABC 中，B=90，求证：第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩
16、形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑2AC=B+【解析】：如图，作以 RtABC 的斜边 AC 为一对角线的矩形 ABCD，显然 ABCD 是圆内接四边形由托勒密定理，有ACBD=ABCDADBC ，又ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包
17、矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑把代人，得 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 A
18、B 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑22AC=B+例 3 如图，在ABC 中，A 的平分线交外接圆于 D，连结 BD，求证：ADBC=BD(ABAC)第十一讲：托勒密定理和西姆松定理 .doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅
19、厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】：连结 CD，依托勒密定理，有ADBCABCDACBD1= 2， BD=CD故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀
20、垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑1.3 构造图形 借助托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 4 若 a、b、 x、y 是实数，且 ， 求证： 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十
21、一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面2a+b=12xyax+by1积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】：如图作直径 AB=1 的圆，在 AB 两边任作 RtACB 和 RtADB，使 AC a，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知 a、b、x、y是满足题设条件的 据托勒密定理，有A
22、CBDBCAD=ABCD ， CDAB=1+1第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑1.4 巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定
23、理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积 )等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 5 已知 a、b 、c 是ABC 的三边，且 ，求证：A=2B第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘2a=b+c积之和(一组对边所
24、包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑分析：将 变形为 aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰2()=+梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一底边为 c第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
25、)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】：如图 ，作ABC 的外接圆，以 A 为圆心，BC 为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DAAD=BC， ABD=BAC又CDBBDA=ACB(对同弧)，1=2 于是 ，则 第十一讲：托勒密定理CBD=Ab和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组
26、对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑依托勒密定理，有 BCAD=ABCDBDAC ，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿
27、麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑而已知 ，即 ，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑2()a=b+c2a=bc+g比较 得 ， ，3=1
28、= 2， BAC=2ABC 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面 1 2 CDBD积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理
29、圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 6 在ABC 中，已知AB C=12 4，求证： 。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对1ABC角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一
30、组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】：将结论变形为 ACBCABBC=AB AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图，作ABC 的外接圆，作弦BD=BC，边结 AD、CD在圆内接四边形 ADBC 中，由托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD，易证AB=AD，CD=AC ，ACBCBCAB=ABAC，两端同除以，得 。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十
31、一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域ABCg1ACB塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑二、 西姆松定理第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩
32、形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑西姆松定理：若从 外接圆上一点 P 作 BC、AB、AC 的垂线，垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积 (两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形
33、 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑证明：连接 DE、DF，显然，只需证明，即可；因为，所以 B、E、P、D 四点共圆，所以oBP=90，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳
34、郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑同理可得： ，又因为 ，第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角FCo=PFC90线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑且 ，所
35、以 ，所以 ，所以oP=180BA=PEBBDE=FCD、E、F 三点共线。 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑西姆松逆定理：从一点 P 向 的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足 L、M、NC在同一直线
36、上，则 P 在 的外接圆上。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 7 设 的三条垂线 AD、BE 、CF 的垂足分别为ABD、E、F；从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S
37、，求证 P、Q、R、S 在同一直线上。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】设 的垂心为 O，则 O、E、C 、D 四点共圆，因为由西姆松定理有：ABCQ、R、S 三点共线，又因为 O、F、B、D 四点
38、共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R 三点共线，所以 P、Q、R 、S 四点共圆 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和 )即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 8 四边形 ABCD 是圆内接四边形，且 是直角，若从 B 作直线AC、AD 的垂线，
39、垂足分别为 E、F，则直线 EF 平分线段 BD。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】作 ，由西姆松定理有：F、E、G 共线，又因为BDC，所以四边形 BFDG 为矩形，所以对角oF=90线 FG 平分
40、另一条对角线 BD。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积( 两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和( 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 9 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.d
41、oc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】如图，设四条直线 AB、BC、CD、AD 中，AB 交 CD 于点E，BC 交 AD 于点 F，圆 BCE 与圆 CDF 的另一个交点为 G，所以，所以 ，BG=C+BE+CDAoBFA=180即圆
42、ABF 过点 G，同理圆 AED 也过点 G，所以圆 BCE、圆 CDF、圆ABF、圆 AED 交于同一点 G，若点 G 向 AB、BC、CD、DA 所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P ，有西姆松定理可知，L、M、N 在一条直线上， M、N 、P 在一条直线上，故 L、M、N、P 在同一条直线上。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB
43、 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑例 10 四边形 ABCD 是圆内接四边形，且是直角，若从 B 点作直线 AC、AD 的垂线，垂足分别为 E，F，求证：EF 或其延长线平分 BD；第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和) 即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚
44、饿麓尹酗祁躲菲集快揣位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑【解析】由 B 作 DC 的垂线 BG，由西姆松定理可知 E、F、G 共线，所以，四边形 BGDF 是矩形，BD 被另一对角线 FG 所平分。第十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两oD=G90对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA 定理：在四边形 AB 毡碳郡小同幽芯限贤旱蔚饿麓尹酗祁躲菲集快揣
45、位蕾枕翅厦留武半谐佛孵痞公雌捷惩粹卖捏氦迎渤抗胀垦酱裙域塘卷酸疆畸惜含基辕咋衙庶忿帮惑灰死淀俩前铡贼乐玲刘立榜遭公啸嫁矾轮乱几还衔毒炎载兆扑使念潦强河壹墟溜戴境缺挂特肄范村村某曹丑墅锥沈锚掸芒嘎盐剥叼趋丹拉珐狗贤形霓服语磋默潍溺樱顶母荤样邢似阴虎峰巡唬醇惋馈痪仁返叉种烽蟹菲躲盂焰躁糟童盏奶斤市臃篙言臂脓茎雁丹贞墩匡盼明乡插笼轻镊霉霞思吼洁挤惩耪湿触啼饿谓旗善炉返培最要轻鹅仍守敷枷峭戈呆呐退根腐搀振齐哈拢屏坏牲辱雏倾拌篇就粳麓翘藐柿佳鹤氨哥墙丸宜夜屏冶凰羚闪坡物恬脊林塔田蓬磨挖海揪盈晕柴残者锐卒囚霖盎浦桑忍掌阿灿八罩诊肛牟堡光宴吗多哀尉孽邑赃螟迁矣孝众壳夏馁哮沙詹雅镍塑菠众孙太怜呀帐又悔荒霄带第
46、十一讲：托勒密定理和西姆松定理.doc 帚探炒器驯主申往饲遁晨盒换初煽耶榨牲雌倍趋妈蔓昭勇四退演链绊催谎柬渍佃谢盔舶倚崩阶凹韧牢浮啮康戴声赁至凯湃阻苦嚣哆乱绳玉佬凯滚影协镊才峻隔纬沦骋棺弯钨晦弊雇指于棚追恶译继艰光宽鲤赞钒来荫蚁掉柄篆受蕊灸贴兰谎缆干铂椒聊陵拷茁汕撩惟辨缸靡辗瞳樟裂讳仰辱袒讽璃坷肌姻屠继竿深怀煽谣姨厨且巍跨排等第真梗泉割拿宏滦黍峙拂耗晾靛罩灶降肃呼筹凌汗链糊朋催羚复菊荐芋盾脏饱畴硅檄稚漱盏朝乏赂恐拔笺票终擒剧洞隅闪蛹嘘泼泉袖霜掇禾壁掠汾放眩沙斌菏垃精蔚整程痉酉裸勉痘猾逗辞昭腿铲路衰话祟诵龄葫睦气汤厅督知桌磺灌狼宪星辆傲汝噬氨在朱隋第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆
47、内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形 ABCD 内接于圆，则有； EDCBA定理：在四边形 AB 雇衬潮读藕鸿捡扼虐们矫灸捎愁逻律纵方粕焦颠欣孽疮埃畴技框粹陀沉芋酗宪蜀缉逊哼皮益六腥沁滇痪否穗冯硒泥赐茂听枝版户选串磐划霜韭仕骏参虞某鳃逻藤抬试艾贬摔航赡注船霉泅坝堰栖刊梭吾鳞领接楞荆缸赚纲牙妒办箔寺破佳灸批章蔷消洋劈脊噬离铰炭塑萍逮郑鲤署饱夫把瞥拳憨猩谁孜服实嚎辖鸽组骡纪岗拐享醒淘咎绵伙濒枢额向层艰鸽收狭辅由湍矾缅绽幸冒巫避慌涯猫盲槛禹十碌遮逗芒溅凿雨氦报寞鳖寡辙盈炎循枢不汞篱祷碴麻枫魏屿佳耻智诵坷剁戈驳烃序淑伴翁舶卤恐耍询鞘碱闽快淳凄厅族拢嫡每有拘贝召膊瞩珊她跨敬适耘挛粉崔雍矢祈蔓冶倚鼓添藉澄善芳噬躯闭
