1、西姆松(Simson)定理 西 姆 松 定 理 说 明过 三 角 形 外 接 圆 上 异 于 三 角 形 顶 点 的 任 意 一 点 作 三 边 的 垂 线 ， 则 三 垂 足 共 线 。 （ 此 线 常称 为 西 姆 松 线 ）定 理 定 义 ：（ 1） 称 三 角 形 的 垂 心 为 H。 西 姆 松 线 和 PH 的 交 点 为 线 段 PH 的 中 点 ， 且 这 点 在 九点 圆 上 。（ 2） 两 点 的 西 姆 松 线 的 交 角 等 于 该 两 点 的 圆 周 角 。（ 3） 若 两 个 三 角 形 的 外 接 圆 相 同 ， 这 外 接 圆 上 的 一 点 P 对 应 两 者
2、 的 西 姆 松 线 的 交 角， 跟 P 的 位 置 无 关 。（ 4） 从 一 点 向 三 角 形 的 三 边 所 引 垂 线 的 垂 足 共 线 的 充 要 条 件 是 该 点 落 在 三 角 形 的 外接 圆 上 。西 姆 松 定 理 的 逆 定 理 若 一 点 在 三 角 形 三 边 所 在 直 线 上 的 射 影 共 线 ， 则 该 点 在 此 三角 形 的 外 接 圆 上 。相 关 的 结 果 有 ：（ 1） 称 三 角 形 的 垂 心 为 H。 西 姆 松 线 和 PH 的 交 点 为 线 段 PH 的 中 点 ， 且 这 点在 九 点 圆 上 。 （ 2） 两 点 的 西 姆
3、 松 线 的 交 角 等 于 该 两 点 的 圆 周 角 。 （ 3） 若 两 个 三 角 形 的 外 接 圆 相 同 ， 这 外 接 圆 上 的 一 点 P 对 应 两 者 的 西 姆 松 线 的交 角 ， 跟 P 的 位 置 无 关 。（ 4） 从 一 点 向 三 角 形 的 三 边 所 引 垂 线 的 垂 足 共 线 的 充 要 条 件 是 该 点 落 在 三 角 形的 外 接 圆 上 。 证 明证 明 一 ： ABC 外 接 圆 上 有 点 P， 且 PE AC 于E， PF AB 于 F， PD BC 于 D， 分 别 连 DE、 DF. 易 证 P、 B、 F、 D 及 P、 D、
4、 C、 E 和 A、 B、 P、 C 分 别 共 圆 ， 于 是 FDP= ACP ， （ 都 是 ABP 的 补 角 ） 且 PDE= PCE 而 ACP+ PCE=180 FDP+ PDE=180 即 F、 D、 E 共 线 . 反 之 ， 当 F、 D、 E 共 线 时 ， 由 可 见 A、 B、 P、 C 共 圆 .证 明 二 ： 如 图 ， 若 L、 M、 N 三 点 共 线 ， 连 结 BP， CP， 则 因 PL 垂 直 于 BC， PM垂 直 于 AC， PN 垂 直 于 AB， 有 B、 P、 L、 N 和 M、 P、 L、 C 分 别 四 点 共 圆 ， 有 PBN = P
5、LN = PLM = PCM.故 A、 B、 P、 C 四 点 共 圆 。若 A、 B、 P、 C 四 点 共 圆 ， 则 PBN = PCM。 因 PL 垂 直 于 BC， PM 垂 直于 AC， PN 垂 直 于 AB， 有 B、 P、 L、 N 和 M、 P、 L、 C 四 点 共 圆 ， 有 PBN = PLN = PCM= PLM.故 L、 M、 N 三 点 共 线 。相 关 性 质 的 证 明 ：1. M 为线段 PH 的中点连 AH 延长线交圆于G。证明：连 PG 交西姆松线与 R,BC 于 Q如图连其他相关线段AHBC,PFBC=AG/PF= 1=2A.G.C.P 共圆=2=3
6、PEAC,PFBC=P.E.F.C 共圆= 3=4=1=4PFBC=PR=RQBHAC,AH BC=5=6A.B.G.C 共圆=6=7=5=7AGBC=BC 垂直平分 GH=8=2=48+9=90,10+4=90=9=10=HQ/DF=PM=MH欧拉线莱昂哈德欧拉于 1765 年在他的著作 三角形的几何学 中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝） 、外心（绿） 、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与
7、垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。欧拉线的证法 1： 作ABC 的外接圆，连结并延长 BO，交外接圆于点D。连结 AD、CD、AH、CH、OH。作中线 AM，设 AM 交 OH 于 点 G BD 是 直 径 BAD、 BCD 是 直 角 AD AB， DC BC CH AB， AH BC DA CH， DC AH 四 边 形 ADCH 是 平 行 四 边 形 AH=DC M 是 BC 的 中 点 ， O 是 BD 的 中 点 OM= 1/2DC OM= 1/2AH OM AH OMG HAG AG/GM=2/1 G是 ABC 的 重 心 G 与 G重 合 O、 G、 H 三 点 在
8、同 一 条 直 线 上 如 果 使 用 向 量 ,证 明 过 程 可 以 极 大 的 简 化 ,运 用 向 量 中 的 坐 标 法 ,分 别 求 出 O、 G、H 三 点 的 坐 标 即 可 .欧 拉 线 的 证 法 2：设 H,G,O,分 别 为 ABC 的 垂 心 、 重 心 、 外 心 。 连接 AG 并 延 长 交 BC 于 D, 则 可 知 D 为 BC 中 点 。连 接 OD ， 又 因 为 O 为 外 心 ， 所 以 OD BC。 连接 AH 并 延 长 交 BC 于 E,因 H 为 垂 心 ,所 以 AE BC。所 以 OD/AE， 有 ODA= EAD。 由 于 G 为 重
9、心 ， 则GA:GD=2:1。连 接 CG 并 延 长 交 BA 于 F,则 可 知 D 为 BC 中 点。 同 理 ， OF/CM.所 以 有 OFC= MCF连 接 FD， 有 FD 平 行 AC,且 有 DF:AC=1:2。 FD 平 行 AC， 所 以 DFC= FCA， FDA= CAD， 又 OFC= MCF， ODA= EAD， 相 减 可 得 OFD= HCA, ODF= EAC,所 以 有 OFD HCA,所 以 OD:HA=DF:AC=1:2； 又 GA:GD=2:1 所以 OD:HA=GA:GD=2:1又 ODA= EAD， 所 以 OGD HGA。 所 以 OGD= A
10、GH,又 连 接 AG 并延 长 ， 所 以 AGH+ DGH=180,所 以 OGD+ DGH=180。 即 O、 G、 H 三 点 共线 。欧 拉 线 的 证 法 3设 H,G,O,分 别 为 ABC 的 垂 心 、 重 心 、 外 心 .则 向 量 OH=向 量 OA+向 量 +OB+向 量 OC向 量 OG=（ 向 量 OA+向 量 OB+向 量 OC） /3，向 量 OG*3=向 量 OH所 以 O、 G、 H 三 点 共 线应 用 ；1 ： 平面上共圆的 5 个点,任取其中 3 点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有 10 条。则这 10 线交于一点。证明：设 5 个点对
11、应的向量分别是 z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。因为|z1|=|z2|，所以 0, z1, z2, z1+z2 这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于 z1、z2 的连线就相当于平行于 z1+z2。这样经过三角形 z3, z4, z5 的重心，且垂直于 z1, z2 连线的直线方程就是z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中 t 是任意实数。取 t=1/3，就得到 (z1+z2+z3+z4+z5)/3 在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。2：平面上共圆的 5 个点,任取其中 3 点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共
12、有 10 条。则这 10 线交于一点。3：平面上共圆的 5 个点,任取其中 3 点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线, 共有 10 条。则这 10 线交于一点。证明：第 2，3 个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。九点共圆定理九 点 共 圆 定 理任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点( 垂心)与三角形顶点连线的中点， 这 九 个 点 共 圆， 通 常 称 这 个 圆 为 九 点 圆 （ nine-point circle） ， 或 欧拉 圆 、 费 尔 巴 哈 圆 。定 义 ： 意三角
13、形三条高线的垂足、三边中点以及顶点与垂心的三条连线的中点，共九点都在半径为 1/2R(三角形外接圆半径)的圆上，且圆心是外心与垂心所连线段的中点。这个圆称为九点圆，这是庞斯莱命名的。九 点 圆 是 几 何 学 史 上 的 一 个 著 名 问 题 ,最 早 提 出 九 点 圆 的 是 英 国 的 培 亚 敏 .俾 几 Benjamin Beven .第 一 个 完 全 证 明 此 定 理 的 是 法 国 数 学 家 彭 赛 列 1788-1867 .一位 高 中 教 师 费 尔 巴 哈 1800-1834 曾 研 究 了 九 点 圆 ,他 的 证 明 发 表 在 1822 年 的 直边 三 角
14、形 的 一 些 特 殊 点 的 性 质 一 文 里 ,文 中 费 尔 巴 哈 还 获 得 了 九 点 圆 的 一 些 重 要 性 质 如 下 列 的 性 质 3 ,故 有 人 称 九 点 圆 为 费 尔 巴 哈 圆 . 九 点 圆 具 有 许 多 有 趣 的 性 质 ,例 如 : 1.三 角 形 的 九 点 圆 的 半 径 是 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 之 半 ; 2.九 点 圆 的 圆 心 在 欧 拉 线 上 ,且 恰 为 垂 心 与 外 心 连 线 的 中 点 ; 3.三 角 形 的 九 点 圆 与 三 角 形 的 内 切 圆 ,三 个 旁 切 圆 均 相 切 费 尔 巴 哈 定
15、 理 .4.九 点 圆 是 一 个 垂 心 组 共 有 的 九 点 圆 ,所 以 九 点 圆 共 与 四 个 内 切 圆 ,十 二 个 旁 切 圆相 切 .5.九 点 圆 心 (V),重 心 (G),垂 心 (H),外 心 (O)四 点 共 线 且 OG=2VG VO=2HO 九 点 圆 圆 心 的 重 心 坐 标 的 计 算 跟 垂 心 、 外 心 一 样 麻 烦 。 事 先 定 义 的 变 量 与 垂 心 、 外 心 一 样 ： d1,d2,d3 分 别 是 三 角 形 三 个 顶 点 连 向 另 外 两 个 顶 点 向 量 的 点 乘 （ 句 子 很 长 _）。 c1=d2d3， c2=
16、d1d3， c3=d1d2； c=c1+c2+c3。 重 心 坐 标 ： ( (2c1+c2+c3)/4c， (2c2+c1+c3)/4c， (2c3+c1+c2)/4c )。证明：如右图所示，ABC 的 BC 边垂足为 D，BC 边中点为 L。证法为以垂心 H 为位似中心 ，1/2 为位似比作位似变换。连结 HL 并延长至 L，使 LL=HL；做 H 关于 BC 的对称点D。显然，BHC= FHE=180-A，所以BDC= BHC=180-A，从而 A， B，D，C 四点共圆。又因为 BC 和 HL互相平分于 L，所以四边形 BLCH 为平行四边形。故BLC= BHC=180-A，从而 A，
17、B，L，C 四点共圆。综上，A，B ，C，D ，L 五点共圆。显然，对于另外两边 AB，AC 边上的F，N， E，M 也有同样的结论成立，故 A，B，C，D，L，F，N，E，M九点共圆。此圆即 ABC 的外接圆O。接下来做位似变换，做法是所有的点（O 上的九个点和点 O 本身）都以 H 为位似中心进行位似比为 1/2 的位似变换。那么， L变到了 L（因为 HL=2HL） ，D 变到了 D（因为D是 H 关于 BC 的对称点） ，B 变到了 Q，C 变到了 R（即垂心与顶点连线的中点） 。其它各点也类似变换。O 点变成了 OH 中点 V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明） ，因此原来在O 上的九个点变成了在V 上的九个点，且V 的半径是O 的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
