1、 全章热门考点整合应用名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查全章热门考点可概括为：一个概念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、两个技巧、两种思想一个概念 圆的相关概念1下列说法正确的是( )A直径是弦，弦也是直径 B半圆是弧，弧是半圆C无论过圆内哪一点，只能作一条直径D在同圆或等圆中，直径的长度是半径的 2 倍三个定理垂径定理定 理 12 【2015北京】如图，AB 是O 的直径，过
2、点 B 作O 的切线 BM，弦 CDBM，交 AB于点 F，且 ，连接 AC，AD，延长 AD 交 BM 于点 E.DA DC (1)求证：ACD 是等边三角形；(2)连接 OE，若 DE2，求 OE 的长圆心角、弦、弧间的关系定理定 理 23如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AOC40，D 是 的中点，求ACD 的BC 度数圆周角定理定 理 34如图，已知 AB 是O 的弦，OB2，B30，C 是弦 AB 上任意一点(不与点A，B 重合)，连接 CO 并延长 CO 交O 于点 D，连接 AD.(1)弦长 AB_(结果保留根号)；(2)当D20时，求BOD 的度数三个关系点与圆的位置
3、关系关 系 15如图，有两条公路 OM，ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向离两条公路的交叉处 O点 80 m 的 A 处有一所希望小学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，距拖拉机 50 m 范围内会受到噪音影响，已知有两台相距 30 m 的拖拉机正沿 ON 方向行驶，它们的速度均为 5 m/s，则这两台拖拉机沿 ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多长？直线与圆的位置关系关 系 26如图，在平行四边形 ABCD 中，D60，以 AB 为直径作O，已知 AB10，ADm.(1)求点 O 到 CD 的距离；(用含 m 的代数式表示)(2)若 m6，通过计算判断O 与 CD 的位置关系；(3
4、)若O 与线段 CD 有两个公共点，求 m 的取值范围正多边形和圆的位置关系关 系 37如图，已知O 的内接正十边形 ABCD，AD 交 OB，OC 于 M，N.求证：(1)MNBC；(2)MNBCOB.两个圆与三角形三角形的外接圆圆 与 三 角 形 17 【中考哈尔滨】如图，O 是ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AEDE，BCCE.(1)求ACB 的度数；(2)过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE3，EG2，求 AB 的长三角形的内切圆圆 与 三 角 形 29.如图，若ABC 的三边长分别为 AB9，BC5，CA6，ABC 的
5、内切圆O 切 AB， BC，AC 于点 D，E，F，则 AF 的长为( )A5 B10 C7.5 D410如图，在ABC 中，ABAC，内切圆O 与边 BC，AC，AB 分别切于 D，E，F.BAC120，BF2 .则内切圆O 的半径为( )3A2 B. C4 6 D.3 394三个公式弧长公式公 式 111如图，已知正六边形 ABCDEF 是边长为 2 cm 的螺母，点 P 是 FA 延长线上的点，在A，P 之间拉一条长为 12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点 A，握住另一端点 P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点 P 运动的路径长为( )A13 cm B14
6、cm C15 cm D16 cm12 【2016昆明】如图，AB 为O 的直径，AB6，AB弦 CD，垂足为 G，EF 切O于点 B，连接 AD，OC，BC，A30，下列结论不正确的是( )AEFCD BCOB 是等边三角形 CCGDG D. 的长为BC 32扇形面积公式公 式 213设计一个商标图案，如图，在矩形 ABCD 中，若 AB2BC，且 AB8 cm，以点 A 为圆心，AD 长为半径作弧，交 BA 的延长线于点 F，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )A(4 8) cm2 B(4 16) cm2 C(3 8) cm2 D(3 16) cm214 【2016重庆】如图，以 AB 为
7、直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 ACBC ，则2图中阴影部分的面积是( )A. B. C. D. 4 12 4 2 12 2圆锥的侧面积和全面积公式公 式 315在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为 10 cm，母线长为 50 cm，则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为( )A250 cm2 B500 cm2 C750 cm2 D1 000 cm216已知圆锥底面圆的半径为 2，母线长是 4，则它的全面积为( )A4 B8 C12 D16 两个技巧作同弧所对的圆周角(特别的：直径所对的圆周角)技 巧 117如图，在ABC 中，ABAC，以 AC 为 直径的
8、O 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E.(1)求证：BECE；(2)若B70，求 的度数；DE (3)若 BD2，BE3，求 AC 的长作半径(特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径)技 巧 218如图，AB 为O 的直径，PQ 切O 于 E，ACPQ 于 C.(1)求证：AE 平分BAC；(2)若 EC ，BAC60，求O 的半径3两种思想分类讨论思想思 想 119已知在半径为 1 的O 中，弦 AC ，弦 AB ，则CAB_2 3方程思想思 想 220如图，正方形 ABCD 的边长是 4，以 BC 为直径作圆，从点 A 引圆的切线，切点为 F，AF的延长线交 DC 于点 E.求：(1)A
9、DE 的面积；(2)BF 的长答案1 D2(1)证明：AB 是O 的直径，BM 是O 的切线，ABBE.CDBE，CDAB. .AD AC ， .DA DC DA AC CD ADACCD.ACD 是等边三角形(第 2 题)(2)解：如图，过 O 作 ONAD 于 N.由(1)知ACD 是等边三角形，DAC60.ADAC，CDAB， DAB30，BE AE，ON AO.设O 的半径为 r，ON r，ANDN r，12 12 12 32EN2 r，AE2 r.BE AE .在 RtNEO 与 RtBEO 中，32 3 12 3r 22OE2ON 2NE 2OB 2BE 2，即 r 2 ，r2 (
10、r 舍(r2)2(232r)2(3r 22 )232 33去)OE 2 28.又OE0，OE2 .(r2)2(232r)27(第 3 题)3解：AOC40，BOC18040140，ACO (18040)70.如图，连接12OD.D 是 的中点，COD BOC70.OCD 55.BC 12 180 702ACDACOOCD7055125.4解：(1)2 .3(2)如图，连接 OA.OAOB，OAOD，BAOB，DAOD.BADBAODAOBD.又B30，D20，BAD50.BOD2BAD100.点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢固掌握(第 4 题)(第 5 题)5
11、解：如图，过点 A 作 ACON，垂足为 C.MON30，OA80 m，AC40 m.以点 A 为圆心，50 m 为半径作圆，交 ON 于 B，D 两点，连接 AB，AD.当第一台拖拉机到 B 点时对小学产生噪音影响，AB50 m，由勾股定理得 BC30 m，第一台拖拉机到 D 点时对小学产生的噪音消失，易得 CD30 m.两台拖拉机相距 30 m，第一台拖拉机到 D 点时第二台拖拉机在 C 点，还需前行 30 m 后才对小学没有噪音影响影响时间应是 90518( s)即这两台拖拉机沿 ON 方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 18 s.6解：(1)根据平行线间的距离相等，知点 O 到 CD
12、 的距离即为点 A 到 CD 的距离过点 A 作 AECD 于点 E.根据D60，ADm，利用直角三角形中“30角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理，得 AE m，即点 O 到 CD 的距离是 m.32 32(2)由题可得 OA5.当 m6 时， m3 5，故O 与 CD 相离32 3(3)若O 与线段 CD 有两个公共点，则该圆和线段 CD 相交，当点 C 在O 上时，易得m AB5；12当线段 CD 与O 相切时，有 m5，m .32 103 3所以 m 的取值范围是 5m .103 37证明：(1)如图，连接 OA，OD，则AOBBOCCOD3601036，则AODAOBBOCCOD
13、108.又OAOD，OADODA36.ANOCODODA363672.BOC36，OBOC，BCOOBC72.ANOBCO.MNBC.(第 7 题)(2)AONAOBBOC72， ANO72，ANAOOB.MNBC，AMBOBC72.又ABM 72，180 362ABMAMB.ABAM.又 ABBC.ANAMMNABMNBCMN.MNBCOB.8解：(1)在O 中，AD.AEBDEC，AEDE，AEBDEC.EBEC.又BCCE，BECEBC.EBC 为等边三角形ACB60.(第 8 题)(2)OFAC，AFCF.EBC 为等边三角形，GEF60.EGF30.EG2，EF1.又AEED3，CF
14、AF4.AC8，CE5.BC5.如图，作BMAC 于点 M，BCM60，MBC30.CM .BM ，AMACCM .52 BC2 CM2 5 32 112AB 7.AM2 BM29 A10 C 点拨：设O 的半径为 r，连接 AO，OD，OE，易得 A，O，D 三点共线，AD2，AO2r，AEO90，AOE30，AE AO (2r)12 12又根据已知条件易求得 AE42 ，342 (2r)，312r4 6，3即内切圆O 的半径是 4 6.311 B 点拨：由题图可知，点 P 运动的路径长是题图中六个扇形的弧长之和，每个扇形的圆心角均为 60，半径从 12 cm 依次减 2 cm，所以点 P
15、运动的路径长为 60 12180 (12108642)60 10180 60 8180 60 6180 60 4180 60 2180 314 (cm)故选 B.12 D13 A 点拨：在矩形 ABCD 中，AB2BC，AB8 cm，ADBC4 cm，DAF90.S 扇形 AFD AD24 (cm2)S 矩形14ABCDABAD8432( cm2)又AFAD4 cm，BF AFAB4812( cm)S BCF BFBC 12424( cm2)S 阴影 S 扇形 AFDS 矩形 ABCDS 12 12BCF4 3224(4 8)( cm2)故选 A.14 A15 B 点拨：由圆锥的侧面展开图的面
16、积计算公式，得S rl 1050500 (cm2)故选 B.16 C 点拨：底面周长是 22 4 ，侧面积是 4 48 ，底面积是12 224 .全面积是 8 4 12 .17(1)证明：如图，连接 AE，AC 为直径，AEC90.AEBC.ABAC，BECE.(2)解：如图，连接 OD，OE，在 RtABE 中，BAE90B907020，DOE2DAE40. 的度数为 40.DE (3)解：如图，连接 CD，由(1)知 BECE，BC2BE6，设 ACx，则 ADx2.AC 为直径，ADC90.在 RtBCD 中，CD 2BC 2BD 26 22 232.在 RtADC 中，AD 2CD 2
17、AC 2，(x2) 232x 2.解得 x9.即 AC 的长为 9.(第 17 题 )18(1)证明：如图，连接 OE，OAOE.OEAOAE.PQ 切O 于 E，OEPQ.又ACPQ，OEAC.OEAEAC.OAEEAC.AE 平分BAC.(第 18 题)(2)解：如图，连接 BE，AB 是直径，AEB90.BAC60，OAEEAC30.AB2BE.ACPQ，ACE90.AE2CE.CE ，AE2 .3 3设 BEx，则 AB2x.由勾股定理得 x2124x 2，解得 x12，x 22(舍去)AB4，O 的半径为 2.1915或 75 点拨：如图，当圆心 O 在CAB 的外部时，过点 A 作
18、直径 AD，连接OC，OB，过点 O 作 OEAB，OFAC，垂足分别为 E，F.由垂径定理和勾股定理可求得 OEOA，OFFA，BAO30，CAO45，CAB15.同理可得，当圆心 O 在12CAB 的内部时，CAB75. (第 19 题)(第 20 题)20解：(1)BC 是O 的直径，ABBC，DCBC，AB，CD 都是O 的切线AFAB4.设 ECx，则 EFx，DE4x，4 2(4x) 2(4x) 2，解得 x1.ADE 的面积 4(41)6.12(2)如图，连接 AO 交 BF 于点 M，连接 OF.则 AO 2 .42 22 5OBAB，OFAF，且 OBOF，AO 为BAF 的平分线ABAF，AMBF，BMMF，BF2BM.S ABO AOBM OBAB，12 12BM ，ABOBAO 422 5 4 55BF .8 55
