1、1.3正弦定理、余弦定理的应用(1),一、距离的测量,例1A，B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA182，CB126，ACB 63，求A，B两地之间的距离（精确到）,例2为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B要测算出A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC7835，B6943，C 4112，试计算AB的长（精确到0.01）,问题：A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间距离的方法,C,分析:,1.测量AB的距离可利用例1的方法构造ABC;,2.测量AC和BC的距离可利用例2的方法构造ACD和BCD.,D,思考：要测量哪些数据
2、？,例3如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得ADC85，BDC60，ACD47，BCD72，CD100设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B之间的距离（精确到1）,分析:,S1 ACD中根据正弦定理 计算AC；,S2 BCD中根据正弦定理 计算BC；,S3 ABC中根据余弦定理 计算AB.,C,二、高度的测量,仰角、俯角、视角如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做视角,解直角三角形: RtACE和 RtADE中, 列方程求解.,问题：AB是底部不可到
3、达的一个建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度AB的办法,E,C,D,分析:,解斜角三角形: 斜ADC求AC，RtACE中,求AE.,例4如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点的俯角5440，在塔底C处测得A处的俯角501已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到1m）,回顾小结,解斜三角形应用中应注意的问题： (1)认真分析题意，将已知元素和未知元素弄清楚，根据题意画出示意图. (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，将实际问题中的数量关系归结为数学问题. (3)在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算中误差的积累，并根据题目要求的精
4、确度确定答案及注明单位.,三、测量角度,方向角、方位角 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角如图，目标方向线方向一般可 用“偏”多少度来表示，这里第一个“”号是“北”或“南”字，第二个“”号是“东” 字或“西”字，OA、OB、OC、OD 的方向角分别表示北偏东60，北 偏西30，西南方向，南偏东20从某点开始的指北方向线按 顺时针转到目标方向线为止的水 平角，叫方位角,例1如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号我海军舰艇在A处获悉后，测出该 渔轮在方位角为45，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105 的方向，以9nmileh的速度 向小岛靠拢我海军舰艇
5、立 即以21nmileh的速度前去 营救求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间（角度精确 到0.1，时间精确到1min）,解：设舰艇收到信号后xh在B处靠拢渔轮，则AB21x，BC9x，又AC10，ACB45（180105）120,由余弦定理，得 AB 2AC2BC 2 2ACBCcosACB， 即（21x）2102 (9x) 22109xcos120 化简，得36 x 29x10，,解得x （h）40（min）（负值舍去）,由正弦定理，得,所以 BAC21.8， 方位角为4521.866.8,答 舰艇应沿着方位角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮,四、物理问题,例2作用于同一点的三
6、个力F1，F2，F3平衡已知F130，F250，F1与F2之间的夹角是60，求F3的大小与方向（精确到0.1）,思考：你能用向量方法求解吗？,例3如图，有两条相交成60角的直路XX，YY，交点是O，甲、乙分别在OX，OY 上，起初甲离 O点3km，乙离O 点1 km后来甲沿XX的方向，乙沿YY 的方向，同时用4kmh的速度步行（）起初两人的距离是多少？（）t后两人的距离是多少？（）什么时候两人的距离最短？,解：（1）所求距离即为AB， 在OAB中， AB 2OA2OB 22OAOBcos60，32122317，,所以 AB （km）,（3）因为PQ 248t224t748(t )24，,即在1
7、5分钟末，两人的距离最近，且为2km,所以当t 时，PQ最短，且等于2，,五、几何问题,例4如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？,解：设 AOB在AOB，由余弦定理， 得,AB21222212cos54cos,于是，四边形OACB的面积为SSAOBSABC12OAOBsin AB 2, 21sin (54cos),因为0，所以当 ，即 AOB 时， 四边形OACB 面积最大,回顾小结,解三角形的应用题主要是解决生产、生活中测量河宽、山高、航海等实际问题解题时要根据题意，从实际问题中抽象或构造一个或几个三角形，然后运用正、余弦定理进行计算，找到实际问题的解,
