1、 4 7正弦定理 余弦定理应用举例要点梳理1 解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个 除三角外 才能求解 常见类型及其解法如表所示 基础知识自主学习 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 上方 下方 2 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 3 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 正北 基础自测1 在某次测量中 在A处测得同一
2、半平面方向的B点的仰角是60 C点的俯角是70 则 BAC等于 A 10 B 50 C 120 D 130 解析由已知 BAD 60 CAD 70 BAC 60 70 130 D 2 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等 灯塔A在观察站北偏东40 灯塔B在观察站南偏东60 则灯塔A在灯塔B的 A 北偏东10 B 北偏西10 C 南偏东10 D 南偏西10 解析灯塔A B的相对位置如图所示 由已知得 ACB 80 CAB CBA 50 则 60 50 10 B 3 在 ABC中 AB 3 BC AC 4 则边AC上的高为 A B C D 解析由余弦定理可得 B 4 ABC中 若A 60 b 1
3、6 此三角形面积则a的值为 A 20B 25C 55D 49解析由S bcsinA 220 得c 55 由余弦定理得a2 162 552 2 16 55 cos60 2401 a 49 D 5 2009 湖南文 14 在锐角 ABC中 BC 1 B 2A 则的值等于 AC的取值范围为 解析 2 题型一与距离有关的问题要测量对岸A B两点之间的距离 选取相距km的C D两点 并测得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 求A B之间的距离 分析题意 作出草图 综合运用正 余弦定理求解 题型分类深度剖析 解如图所示在 ACD中 ACD 120 CAD ADC 30 AC CD k
4、m 在 BCD中 BCD 45 BDC 75 CBD 60 在 ABC中 由余弦定理 得 B 求距离问题要注意 1 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 2 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 知能迁移1 2009 海南 宁夏理 17 为了测量两山顶M N间的距离 飞机沿水平方向在A B两点进行测量 A B M N在同一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的数据有俯角和A B间的距离 请设计一个方案 包括 指出需要测量的数据 用字母表示 并在图中标出 用文字和公式写出计算M N间
5、的距离的步骤 解方案一 需要测量的数据有 A点到M N点的俯角 1 1 B点到M N点的俯角 2 2 A B的距离d 如图所示 第一步 计算AM 由正弦定理第二步 计算AN 由正弦定理第三步 计算MN 由余弦定理 方案二 需要测量的数据有 A点到M N点的俯角 1 1 B点到M N点的俯角 2 2 A B的距离d 如图所示 第一步 计算BM 由正弦定理第二步 计算BN 由正弦定理第三步 计算MN 由余弦定理 题型二与高度有关的问题某人在塔的正东沿着南偏西60 的方向前进40米后 望见塔在东北方向 若沿途测得塔顶的最大仰角为30 求塔高 依题意画图 某人在C处 AB为塔高 他沿CD前进 CD 4
6、0米 此时 DBF 45 从C到D沿途测塔的仰角 只有B到测试点的距离最短时 仰角才最大 这是因为tan AEB AB为定值 BE最小时 仰角最大 要求出塔高AB 必须先求BE 而要求BE 需先求BD 或BC 解如图所示 某人在C处 AB为塔高 他沿CD前进 CD 40 此时 DBF 45 过点B作BE CD于E 则 AEB 30 在 BCD中 CD 40 BCD 30 DBC 135 BDE 180 135 30 15 在Rt BED中 BE DBsin15 在Rt ABE中 AEB 30 AB BEtan30 故所求的塔高为 解斜三角形应用题的一般步骤是 1 准确理解题意 分清已知与所求
7、2 依题意画出示意图 3 分析与问题有关的三角形 4 运用正 余弦定理 有序地解相关的三角形 逐步求解问题的答案 5 注意方程思想的运用 6 要综合运用立体几何知识与平面几何知识 知能迁移2如图所示 测量河对岸的塔高AB时 可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 现测得 BCD BDC CD s 并在点C测得塔顶A的仰角为 求塔高AB 解在 BCD中 CBD 题型三正 余弦定理在平面几何中的综合应用 12分 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 ADB 45 求BD的长 由于AB 5 ADB 45 因此要求BD 可在 ABD中 由正弦定理求解 关键是确
8、定 BAD的正弦值 在 ABC中 AB 5 AC 9 ACB 30 因此可用正弦定理求出sin ABC 再依据 ABC与 BAD互补确定sin BAD即可 解在 ABC中 AB 5 AC 9 BCA 30 AD BC BAD 180 ABC 于是sin BAD sin ABC 8分同理 在 ABD中 AB 5 sin BAD ADB 45 解得BD 故BD的长为 要利用正 余弦定理解决问题 需将多边形分割成若干个三角形 在分割时 要注意有利于应用正 余弦定理 6分 12分 知能迁移3如图所示 已知半圆的直径AB 2 点C在AB的延长线上 BC 1 点P为半圆上的一个动点 以DC为边作等边 PC
9、D 且点D与圆心O分别在PC的两侧 求四边形OPDC面积的最大值 解设 POB 四边形面积为y 则在 POC中 由余弦定理得PC2 OP2 OC2 2OP OCcos 5 4cos 方法与技巧1 合理应用仰角 俯角 方位角 方向角等概念建立三角函数模型 2 把生活中的问题化为二维空间解决 即在一个平面上利用三角函数求值 3 合理运用换元法 代入法解决实际问题 思想方法感悟提高 失误与防范在解实际问题时 应正确理解如下角的含义 1 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角 2 方位角 从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角 3 坡度 坡面与水平面的二面角的度数 4 仰角与俯角 与目标视线在同一铅
10、直平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方时称为仰角 目标视线在水平视线下方时称为俯角 一 选择题1 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 解析作出示意图如图 由已知 在Rt OAC中 OA 200 OAC 30 则OC OA tan OAC 200tan30 在Rt ABD中 AD BAD 30 则BD AD tan BAD A 定时检测 2 一船向正北航行 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速度是每小时 A 5海里B 5海里C 10
11、海里D 10海里解析如图所示 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而CD CA 10 在Rt ABC中 得AB 5 于是这艘船的速度是 海里 小时 C 3 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm 灯塔A在观察站C的北偏东20 灯塔B在观察站C的南偏东40 则灯塔A与灯塔B的距离为 A akmB akmC akmD 2akm解析利用余弦定理解 ABC 易知 ACB 120 在 ABC中 由余弦定理得AB2 AC2 BC2 2AC BCcos120 2a2 2a2 B 4 一船自西向东匀速航行 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75 距塔68海里
12、的M处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船的航行速度为 A 海里 小时B 海里 小时C 海里 小时D 海里 小时 解析如图所示 在 PMN中 答案A 5 如图 一货轮航行到M处 测得灯塔S在货轮的北偏东15 与灯塔S相距20海里 随后货轮按北偏西30 的方向航行30分钟后 又测得灯塔在货轮的东北方向 则货轮的速度为 A 20海里 小时B 20海里 小时C 20海里 小时D 20海里 小时 解析由题意知SM 20 SNM 105 NMS 45 答案B 6 线段AB外有一点C ABC 60 AB 200km 汽车以80km h的速度由A向B行驶 同时摩托车以50km h的速度由B向C行
13、驶 则运动开始h后 两车的距离最小 A B 1C D 2 解析如图所示 设th后 汽车由A行驶到D 摩托车由B行驶到E 则AD 80t BE 50t 因为AB 200 所以BD 200 80t 问题就是求DE最小时t的值 由余弦定理 DE2 BD2 BE2 2BD BEcos60 200 80t 2 2500t2 200 80t 50t 12900t2 42000t 40000 答案C 7 在 ABC中 BC 1 B 当 ABC的面积等于时 tanC 解析S ABC acsinB c 4 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB 13 二 填空题 8 在 ABC中 AC BC 2 B 60
14、 则A的大小是 AB 解析 45 9 甲船在A处观察乙船 乙船在它的北偏东60 的方向 两船相距a海里 乙船正向北行驶 若甲船是乙船速度的倍 则甲船应取方向才能追上乙船 追上时甲船行驶了海里 解析如图所示 设到C点甲船追上乙船 乙到C地用的时间为t 乙船的速度为v 则BC tv AC tv B 120 BC AB a AC2 AB2 BC2 2AB BCcos120 北偏东30 三 解答题10 如图所示 扇形AOB 圆心角AOB等于60 半径为2 在弧AB上有一动点P 过P引平行于OB的直线和OA交于点C 设 AOP 求 POC面积的最大值及此时 的值 解 CP OB CPO POB 60 O
15、CP 120 在 POC中 由正弦定理得 11 在 ABC中 已知 1 sin2cos B C 的值 2 若 ABC的面积为4 AB 2 求BC的长 解 12 在海岸A处 发现北偏东45 方向 距离A 1 nmile的B处有一艘走私船 在A处北偏西75 的方向 距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile h的速度追截走私船 此时 走私船正以10nmile h的速度从B处向北偏东30 方向逃窜 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船 解如图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在D处相遇 则可先在 ABC中求出BC 再在 BCD中求 BCD 设缉私船用th在D处追上走私船 则有CD 10t BD 10t 在 ABC中 AB 1 AC 2 BAC 120 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 1 2 22 2 1 2 cos120 6 BC CBD 90 30 120 在 BCD中 由正弦定理 得 BCD 30 即缉私船北偏东60 方向能最快追上走私船 返回
