1、1高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3眼科病床的优化配置摘要本文针对患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等医院就医排队的实际问题，在合理的假设前提下，综合考虑了病床的合理配置和病
3、人的满意程度等因素，建立了动态规划模型、优先权排队等模型。问题一：通过对医院系统的分析，建立了以病床使用的效率和病人的满意程度为主要考虑因素的评价体系，以术前非必要准备时间为评价指标，术前非必要准备时间越短越好，由该评价体系，得出当前医院在 FCFS 规则下的术前每个患者的非必要准备时间为 1.02 天/人，优劣等级为等级三。问题二：就该院当前的情况，分析术前非必要等待时间对住院系统的影响，以总的非必要等待时间最短为目标函数 ，约束条件为75minijijaxz，建立动态规划模型，求解病床安排问题。在合理的假设条件下，715ijminx解得每位患者平均非必要术前准备时间为 0.64 天，较 F
4、CFS 规则下的 1.02 天/人平均下降了 0.38 天/人，可以看出此模型大大优化了病床安排问题。问题三：本文根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，推算出了各类患者治疗的时间周期，建立 M/M/1/N/优先权排队模型，分析病人门诊时的大致入住时间。在 95.5%的置信区间内预测病人何时能够入院。问题四：针对医院在周六、周日不安排手术情况，本文提出了可能出现的三种调整情况，建立以病人消耗的非必要术前准备时间最短为目标的动态规划模型，据不同手术安排情况下的非必要术前准备时间矩阵，求出在每一种安排上的目标最优，最后确定各目标值的最优安排。手术安排的调整结果为：在周六、周日不安排手术的条件下，
5、周二、周四只做白内障手术（急诊除外） 。如果要做双眼，是周二先做一只，周四再做另一只。其余三天做其他类眼科手术。患者的平均非必需准备时间为 0.74 天。问题五：针对医院的管理情况，求解各类病人占用病床的最优比例，建立了使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。并求得得所有病人在系统内的平均逗留的最短时间为 0.640.72 天的病床比例为 13：27： 30： 8：1 顺序依次为白内障单眼，白内障双眼，视网膜疾病，青光眼和外伤。最后，本文着重对问题二中模型进行了检验，在数据模拟中较 FCFS 规则有显著的优势。关键词：病床的合理安排 动态规划模型 排队
6、模型 最优化4正文：1.问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需 1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到 60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有
7、空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后 2-3 天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（ First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，我们通过数学建模来帮助解决院方住院部的病床合
8、理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。我们将要解决的问题：问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并利用问题一中的指标体系对该模型作出评价。问题三：根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，重新解决问题二，并判断医院的手术时间安排是否应作出相应调整?若应该，写出调整方案。问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例
9、大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2.模型假设（1）该医院眼科只接待白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四种眼科疾病；（2）该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时不考虑手术条件的5限制；（3）不考虑各类突发事件下的眼科门诊内病床的使用情况；（4）在通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做；（5）急症只包括外伤疾病，不包括其他类眼科疾病；（6）附件中提供的数据，能够反映出各类眼科疾病患者住院就诊的一般规律和各类眼科疾病诊治的时间长度：3.符号及文字说明 表示白内障，2 表示白内障（双眼） ，3
10、 表示青光眼，4 表示视网膜疾病，15 表示外伤； 表示在星期 时第 类病人住院所需的非必要ijai)7,21(j)5,21(的术前准备时间（单位为天） ； 表示在周六、周日不做手术的前提下，第 种方案下的非必要术前准备kij k时间； 第 种病人住院，理想状况下所需的术前准备时间（单位jA)5,21(j为天） ； 表示一周内 类病非必要术前准备时间的最小值；jf*min,43j 表示一周内 类病的非必要术前准备时间的最大值；axj 表示对第 类病的评价指标；jej 表示挂号等待的 类病人数；jyj 表示第 类病人等待人数的期望；jj 表示 类病人从手术开始到出院的时间；jd 表示第 天入住的
11、 类病人在第 天出院的人数；)(mnpjpjm 表示第 天出院的总人数； 表示第 类病人的治疗周期；jTj 表述星期 第 类的病人入院个数；其中 。ijxij i17m4.问题的分析64.1 问题一的分析（1）该问题要求确定合理的评价体系，用以评价病床安排模型的优劣。由附录 1 中所给数据的分析可知，从病床资源的有效利用的角度考虑，病床安排方案的合理与否：主要由患者住院就诊的术前准备时间和术后观察时间来决定。二者的无效占用，限制了医院资源的有效利用，减少了单位时间（周）内有效就诊的人数。住院系统如图 1 所示： 表示各类眼科疾病术前准备时间（天） ，a表示各类疾病术后观察时间（天） 。通过对附
12、录 1 数据的分析，可以发现每类b眼科疾病的术后观察时间 是一个固定值，因此，只考虑因素 对住院系统资ba源的有效利用的影响。其中术前准备时间包括术前必要的准备时间和术前非必要的准备时间，由题中可知道术前必需的准备时间为固定值，因此，本文以术前不必要准备时间 为评价量，建立病床安排的评价体系。a图 1 住院系统间的关系（2）用上面的病床安排评价体系，评价采用 FCFS（First come, First serve）规则下的每段时间内的术前准备时间的长短，进而，来衡量 FCFS 病床安排模型的优劣。 14.2 问题二的分析（1）根据附录 1 数据，应用统计学原理分析得出白内障、白内障（双眼）
13、、视网膜疾病、青光眼和外伤四种眼科疾病的术后观察时间，来确定第二天拟出院的人数。（2）假设白内障做双眼的患者周一先做一只，周三再做另一只，且只在周一进行第一次手术。就该眼科医院是每周一、周三做白内障手术，其他类手术不安排在周一、周三且外伤患者优先的手术时间安排的情况。根据各类眼科疾病患者的最佳术前准备时间 ，分析周 各类眼科疾病jA)5,21(7,21i患者住院的无效的术前准备时间 ，以段时间内无效的术前准备时间最小为目ija标函数，以周 天住院的人数不小于出院的人数为约束条件，建立动7,21i态规划模型。确定第二天应该安排那些病人住院。（3）用问题一建立的病床安排评价体系，评价本问建立的动态
14、规划模型。24.3 问题三的分析该问题要求建立一个能够在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。分析整个住院系统主要包括挂号待诊、住院接受治疗和治愈离开三部分。住院人数 手术 出院人数ab反馈门诊人数7首先，运用马尔科夫过程排队模型，据状态的概率分布导出挂号待诊的平均队长，最终确定挂号的排队长；其次，根据医院医治各类眼科疾病的治疗周期，确定挂号排队的行进速度。最后由 （其中 表示等待入住时间，jkjTvLkj表示平均队长， 表示 类眼科疾病的治疗周期）导出病人门诊时的大致入LjT住时间。 24.4 问题四的分析以问题二为前提，考虑该眼科医院周六、周日不安排手术的情况，据以知明天拟出院病人数来重新确
15、定合理的病床安排模型，并作出相应评价。根据眼科医院周六、周日不安排手术的条件，我们重新确定病床的无效利用时间矩阵，以病床无效占用时间最短为目标函数，建立动态优化模型。分别探讨不同kija手术时间安排情况下，目标函数最优。4.5 问题五的分析该问题追求病人在系统中的平均逗留时间最短的情况下，病床比例分配情况。病人在系统中的逗留时间可以分为三个阶段：阶段一，等待入院时间；阶段二，术前准备时间；阶段三，术后观察时间。如图所示。图 3 住院系统的时间划分现对三个阶段的时间进行分析，阶段一：等待住院的入群可以看做是有源的泊松流，人数在每天都服从波松分布，即各类病人的人数会以一定规律波动，入院时间和入院的
16、安排有变化，而在外等候的人数呈动态平衡；阶段二：术前准备时间的大小是由病人入院时安排的时间决定的，且能够调控；阶段三：术后观察时间属于住院的必要时间，不能够为了缩小总的逗留时间就减小术后观察时间，这样是医院对病人的不负责，所以该时间是一个不可缩小不可人力改变的客观量。通过对三个阶段时间的分析可以知道，影响平均逗留时间的只有前两个阶8段，设各类病人占用病床数分别为 。根据当时的各类病床的空病54321,cc床数和等候入院的各类病人数之间的大小来决定住院情况，将前两个阶段的非必要时间表达出，求目标最小时的 值。 354321,5.模型建立和求解模型准备（1）对附录一中的术后观察时间数据进行统计分析
17、，可得下表 1：白内障（单眼）白内障（双眼） 青光眼 视网膜疾病 外伤均值（天） 2.9028 2.9634 8.0789 10.1683 6.0364众数（天） 3 3 8 10 4置信度95%区间（2.8976，2.9079）（2.9539，2.9676）（8.0626，8.0953）（10.1535，10.1831）（6.0208，6.0520）置信度99%区间（2.9017，2.9038）（2.9626，2.9642）（8.0757，8.0822）（10.1654，10.1713）（6.0332，6.0395）术后观察时间 （天）jd3 3 8 10 6表 1 各类眼科疾病的术后观察时
18、间的统计根据统计结果，我们确定白内障、白内障（双眼） 、青光眼、视网膜疾病和外伤五类眼科疾病的术后观察时间（天）分别为 3、3、8、10、6。那么，在周 上 类病人住院到出院的时间总和为：ij jjijijdbaT试中： ，表示周 上 类病人住院到出院的时间总和；ijTi，表示在星期 时第 种病人住院所需的非必ija)7,21( j)5,21(要的术前准备时间， （单位为天） ；，表示第 类病人的必要术前准备时间， （单位为天） ；jbj，表示第 类病人从手术开始到出院的的时间， （单位为天） 。jd(2)根据该住院部当前的情况，建立在星期 时第i)7,21(j种病人住院的非必要的术前准备时间
19、矩阵 。如果白内障病人的术)5,21(j A眼病种统计量9前准备时间只需一天，外伤病人的术前准备时间为一天，其他类眼科疾病患者的术前准备时间为两天，分析得到矩阵 ，如下所示：A00123045016ijaA5.1 问题一的解决方案和模型：由问题一的分析可以知道，能够改变的系统指标只有术前准备时间，将非必要的术前准备时间缩减到最小是本文求解的目标，理想状况下的非必要术前准备时间 为 0.ija假设理想状态下一周内非必要术前准备时间 ，建立模型所求出的一jf*min周之内的非必要术前准备时间 ，一周内该类别的所能够消耗的最大术前ufmin准备时间 ，评价指标为 。 5 6)(*maxjf %10)
20、()(*min*axijfjfej（1） 满足大小控制在 内时为优等安排模型，非常乐意接受，定义je,0为等级一；（2） 满足大小控制在 内时为次优模型，可以接受，定义j tt2,为等级三；（3） 大于 内时为劣等模型，定义为等级五；jet5（4）在优等模型与可次优模型之间的部分区间定义为乐意接受模型，为等级二；（5）在次优模型和劣等模型之间的区间定义为勉强接受模型，为等级四。等级划分，如下表 2 所示。表 2 等级划分等级 的取值区间je10等级一 ,0等级二 t等级三 2,等级四 tt3等级五 大于 55.1.1结果及分析本文采用建立的病床安排评价体系，考核现有病床安排下的患者满意程度为
21、0.72，平均每一个患者的非必需等待时间为 1.021.13 天/人。分析得出在FCFS 原则下的病床安排模型，现在属于可以接受的第三等级，但是随着就诊人数的增加，等待住院的队伍会越来越长，使患者的满意程度会逐渐降低。5.2 问题二的解决方案和模型：5.2.1方案一：动态规划的病床安排模型就该住院部当前的情况，以提高对医院资源的有效利用，建立动态规划模型，解决该眼科医院的病床安排问题模型假设 假设挂号等待的 类病人数 服从以参数为 （表述各类病人等待数的jjyj平均值）的波松分布；假设 类病人从手术开始到出院的 服从 的正态分布（ 表示j jt),(2jNj类病人所消耗该时间的平均值， 为均方差） ；j j假设医院内病人第 天出院的情况为 ， 表示第 天入住的m)(mnpj )(pjp类病人在第 天出院的人数。当 时（星期一） 已知，则知道第j 1j天 类病人出院的人数总和为 （ 天为第 周，星期mj mipjjn)( 7i） 。 617模型的实现根据拟入院的患者不少于拟出院的患者这一条件，用一星期内所有病人的非必要术前准备时间最短为目标函数，建立动态优化的数学模型：
