1、习 题 课,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅里叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分审敛法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法: 若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,例1. 若级数,均收敛
2、 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2. 判别下列级数的敛散性:,提示: (1),据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .,原级数发散,故原级数收敛,发散,收敛,用洛必达法则, 原级数发散,时收敛 ;,时, 为 p 级数,时收敛;,时发散.,时发散.,例3. 设正项级数,和,也收敛 .,法1 由题设,根据比较审敛法的极限形式知结论正确.,都收敛, 证明级数,法2 因,故存在 N 0,当n N 时,从而,再利用比较法可得结论,例4. 设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示: 对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛
3、 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示: (1),p 1 时, 绝对收敛 ;,0 p1 时, 条件收敛 ;,p0 时, 发散 .,(2),故原级数绝对收敛.,因,单调递减, 且,但对,所以原级数仅条件收敛 .,由Leibniz审敛法知级数收敛 ;,因,所以原级数绝对收敛 .,二、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,求下列级数的敛散域:,练习:,(自证),解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛域为,解: 因,
4、故收敛域为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,例.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意: 此题, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,逐项求导或求积分,对和函数求积或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数求和,例3. 求幂级数,易求出级数的收敛域为,练习:,解: 原式=,的和 .,求级数,四、函数的幂级数和傅式级数展开法, 直接展开法, 间接展开法,练习:,1) 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,1. 函数的幂级数展开法,2) 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 ),解:,于是,并求级数,例1,解,补充,例2,解,例,解,两边逐项积分,例4,解,对于级数（1）,例5,解,例7,解,例8,解,例9,分析,例10,解,例11,解,和函数的图形为,例12,解,由上式得,例13,解,
