1、- 1 -2.3.2 双曲线的简单几何性质教学设计中山市第一中学数学组 孙卫强一、教学目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力.情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、教学重、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）（师生共答）在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研
2、究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线 的哪些性质呢？21(0,)xyab生：范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）讲授新课：我们先来研究一下焦点坐标在 x 轴上的双曲线的简单几何性质。1 双曲线 的简单几何性质21(0,)xyab（1）范围 （PPT）从图形看， 的取值范围是什么？师生：从标准方程能否得出这个结论呢？的范围呢？yRy（2）对称性（PPT）从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？生：（犹豫）提示：用 代替原方程中的 ，若方程不变，则
3、该曲线关于 x 轴对称。y同理，若用 代替原方程中的 ，若方程不变，则该曲线关于 y 轴对称。若用 分别代xx yx,替原方程中的 ，若方程不变，则该曲线关于原点对称。y,x即 012axby22,ax即 ax即- 2 -所以，双曲线是关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4 个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲线 的顶点有几个？顶点坐标是？21(0,)xyab(,0)a虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但
4、我们仍然把 标在图形上。(,)b为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为 2a，a 叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为 2b，b 叫做双曲线的半虚轴长.我们知道，双曲线定义中 a 和 b 的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴 2a 和虚轴 2b 也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为（4）离心率类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率。ace2椭圆离心率的范围
5、是什么？（ ） 。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，10e 越大椭圆越扁） 。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？ 1ece 对双曲线的形状有何影响呢？通过几何画板演示，得出结论： e 是表示双曲线开口大小的一个量， e 越大开口越大（5）渐近线几何画板演示：图 1：初中学过，双曲线 的图像与 x 轴和 y 轴无限接近但不相交，那么 x 轴和 y 轴就是y1双曲线 的渐近线，只不过双曲线 不在标准位置。xy图 2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是 xaby定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。双曲线 的渐近线
6、方程是 即21(0,)xybaxaby0y注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程)0(2myx- 3 -中的 1 改为 0 后得到新的方程 ，它的解就是两21(0,)xyab20(,)xyab条渐近线方程。 （此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式）等轴双曲线 的渐近线方程是2()xymyx渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。 （简述作图过程）下面，我们来研究一下焦点坐标在 y 轴上的双曲线的简单几何性质。2 双曲线 的简单几何性质21(0,)yxab（1）范围 即Rx（2）对称性 关于 x 轴、y 轴、原点都对称（3）顶点 ),0(
7、a（4）离心率 ce（5）渐近线 即xbay0y此处渐近线方程和双曲线方程的关系与前面类似。（三）例题讲解例 1、求双曲线 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.29164yx解：把方程 化为标准方程 .22169yx由此可知，半实轴长 ，半虚轴长 . 所以，焦点坐标是4a3b25cab(0,5)离心率 ，渐近线方程是5ce0yx注：此问题由学生口答。练习：求双曲线 的渐近线方程2916xy变式：已知双曲线的渐近线方程为 ，且双曲线过点 ，求此双曲线的标准方程043yx(3,2)A- 4 -提示：渐近线方程为 的双曲线的标准方程可设为043yx2(0)169yx（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1 双曲线的简单几何性质2 双曲线与渐近线（1）双曲线 的渐近线方程是 即2(0)xymn20xymnxyn（2）渐近线是 的双曲线方程可设为2()（五）作业布置 课本 613,41PAB备用思考：求与双曲线 有公共的渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程.29xy(3,2)A提示：与 共渐近线的双曲线的标准方程可设为2196xy2(0)916xy解：设所求双曲线的标准方程可设为 ，由题意得2(0)916xy解得 所以，所求双曲线的标准方程为22(3)91642194xy
