1、数形结合的初步应用教学案例案例背景：这是新学期开学不久的一堂高一数学课，学生正处于高中数学学习的适应阶段。尽管初中已经学习了系统的函数知识，不过高中函数内容更为复杂，结构化更为明显，对学生的思维要求也比较高。尤其是对于我们普通高中的同学来说，高中数学的函数内容显得抽象难以理解。本节课课题为单调性与最大（小）值第二课时。本人是一名年青教师，以下是我教学过程中的一个片段。案例主题：通过数形结合，让学生体验一次函数和二次函数最值问题的求法，让学生更进一步理解一次函数和二次函数的图像及性质。通过学生实际动手解题以及师生之间的互动，初步学会利用图像来解决函数问题。案例描述：1.3.1 单调性与 最大（小
2、）值（第二课时）师：好的，看来大家已经学会了函数最大值和最小值的含义了，接下来我们来看几个例题。师：首先我们来看第一个例题：求函数 在 上的最大值和最小值。大32)(xf5,家一起来思考一下。师：老师请一位同学起来说一说思路，*同学，你来说说。生 1：把 2 和 5 代进去就可以了，最大值是 13，最小值是 7。学生（议论纷纷）：你怎么知道 2 和 5 就是最大值和最小值？师：有同学有不同意见吗？生 2：他做的是对的，不过理由不充分， 应该画图，画出一次函数的图像，通过一次函数图像在 上最大值和最小值在端点取到来说明。5,2师：非常好，我们也可以通过一次函数单调性来解题。函数 在 时32)(x
3、f5,单调递增的，因此在 2 和 5 处分别取到了最小值和最大值。刚才同学们说的用图象法，也是一种很好的方法，我们以后把它称为数形结合思想。师：我们再来看一个例题：求函数 在 上的最大值和最小值，如64)(2xf5,1果把区间换成 呢？大家再来思考一下，可以同桌之间互相讨论一下。0,3师：我还是都代端点可以吗？生：有一个不可以了。师：那这个时候该怎么办呢？*同学。生 3：根据函数的单调性来求。师：可不可以具体点？生 3：就是找到对称轴，函数在 上单调递减， 上单调递增。那么前2,2一个可以直接取端点来求，后一个函数最小值要在对称轴上求，最大值在端点处求。师：对，请坐。我们发现有时候对称轴在区间
4、里面，有时候不在，因此解题时候我们要密切关注对称轴的位置。因此，我们还是可以通过数形结合的方法来帮助我们解题。大家现在把它的图像画一画，从 图像上来解题。师：很好，很多同学都画出来了，那么大家一起来讨论一下，下次遇到二次函数求最大值和最小值，我们如何用图像来解题呢？生 1：先画图，找对称轴。生 2：看区间和对称轴关系。生 3：根据函数单调性求最大值和最小值。师：大家很好，今后我们遇到二次函数求最值的时候，大家可以先画出函数的图像，通过图像观察，如果对称轴在区间内部时，那么要计算对称轴上函数值，它将会是最值中的其中一个，另一个在端点处取到。如果对称轴不在区间内部时候，那么无需考虑对称轴，直接 计
5、算端点处的函数值就可以了。那么在大题目中我们就要把它的单调区间写出来，根据单调性来说明。有了图像的帮助，我们解这类函数求最值的题目就事半功倍了吧？生：是！本节课我的教学案例中写入的是利用单调性进行求值，数形结合的思路我只是想顺带题目中提及，不想在实际教学中强调了数形结合。理由很简单，学生从初中到高中，数学学习思 维难免会有一个慢热期。特别是我与学生讨论二次函数求最值问题时候，学生虽 然学过二次函数，可是 还 不能完全熟练利用二次函数的有关性质解题。我想我应该 是学生学习的引导者，引导他们学会如何解题，如何学习。 让学生独立思考，最后集思广益，由学生想到用图像辅助解题，用图像去观察函数的最值问题
6、。而我的工作就是把他们心里想的，总结出来，把他 们不够整齐的思路，理一理，他们体验到数学学习的乐趣， 获得有效的方法。上课没有太多的时间让学生把图画好的同时，又要介绍利用二次函数图像求最值的一般情况，因此，给予学生的时间仍然不够 充分。同 时也无法顾及到一些后进生进行充分理解，因此，效率还是要进一步加 强。不过，面面俱到总是很难得，通过本节学习，还是可以 让大多数学生体验数学学习的乐趣，充分挖掘他 们的兴趣，在 动手解题中和思考讨论中获得数形结合的简单方法，学会简单应用，学会学习新方法，体 验 新知识。（基本用图如下）：yxoAB 2 51412108642-2-15 -10 -5 5 10
7、15fx = x2+4x+6案例评析：数学家华罗庚曾经说过：“数与形本是相依，怎能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微” ，数学是研究客观世界中的空间形式与数量关系的一门科学，因此数形结合不但是一种解题思路，更是一种数学要求。一方面在研究抽象数量关系时，充分运用几何等方面的知识使得抽象的问题具体化，直观化，有效地解决问题；另一方面，它可以赋予图形性质以及数量意义，使几何问题代数化，以数助形，用代数的方法使问题得到解决。 “数” 主要指的是实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维的范畴，是人类左脑思维的产物。 “形”主要指的是几何图形，属于形象思维的范畴，是人类右脑思维的产物。所谓的
8、数形结合,就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。简而言之就是一种数形之间取长补短，优化解题的一种思路。在高中实际解题运用中，数形结合又是一种能力，它没有固定刻板的模式，本节课中它是通过一些相类似的题型体现，是在独立思考中充分利用自己的思维能力以及数学经验，巧妙地察觉出题目中抽象的数学语言和与之相应的几何图形的联系，从中搭建一条桥梁，灵活转化，简洁，有效地解决题目。学生刚刚进入高中，对一些数学方法都没有总结和归纳过，因此，在教学中，本人通过与学生共同探讨数学问题，共同的出数学的一些方法，帮助学生养成良好的数学思维习惯，从而让学生有效地解题。本节课运用学生熟悉的函数知识入手，通过图像，形象直观的介绍数形结合的思路，并且联系上节课单调性的内容，知识综合，让学生学习更加系统化。然而教学过程中给予学生独立思考时间空间仍然太小，不够具体和突出，课堂内容与方法的交流传递还需要进一步的探索。
