1、数学分析（上）第四章 函数的连续性31第四章 函数的连续性 （ 1 2 时 ） 1 函数的连续性 ( 2 时 )一 函数在一点的连续性：1 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数 在点 某邻域有定义 .)(xf0定义 用 例如 1P87 例 1 和例 2, P88 例 3. ).(lim00xffx定义 用 ).(0xf定义 用 先定义 和.li0yx y定义 连续的 Heine 定义.定义 ( “ ”定义.)其他定义参阅3P 39 Th.例 1 用“ ”定义验证函数 在点 连续.132)(xf0例 2 试证明: 若 ,RA , ,0 , x则 在点 连续.
2、,)( Axf )(xf03. 单侧连续: 定义单侧连续 , 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例 3 讨论函数 在点 的连续或单侧连续性.0 ,2, ,)(xAxf )(xf0二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即 或)0(xf中至少有一个不存在 称为第二类间断点.)0(xf 32例 4 讨论函数 的间断点类型.)1( )2xf例 5 延拓函数 使在点 连续.,3sin0x例 6 举出定义在0,1上且仅在点 三点间断的函数的例 .4 ,32例 7 讨论 Dirichlet 函数 和 Riemann 函数 的连续性.)(xD
3、)(xR( 参阅 Ch 3 习题课例 3 )三 区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex 1P9293 1 ，2 ， 36；4P83 123. ( 改 等为 .)0x2 2 连续函数的性质一. 连续函数的局部性质: 叙述为 Th 14.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数 在点 连续，函数 在点 连续, 且 , 则复合函数f0xg0u)(0xf在点 连续. ( 证 )fg0x註 Th 4 可简写为 .)()lim()(li)(lim0000 xfgfgxfgxf xx 33例 1 求极限 ).1sin(lm2xx
4、例 2 求极限: ;sili0xx .sin2limxx例 3 求极限 的连续性见后 )1ln(im0xln二. 闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 )系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值 .Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.系 ( 零点定理 )例 4 证明: 方程 在 到 之间有实根.xxcosin202例 5 设 是正数, 为正整数. 证明方程 有唯一正实根. 唯一ppn 性的证明用 在 内的严格递增性.nx)0(三. 反函数的连续性:Th 7 若函数 在 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数 在相应的定义
5、f,ba 1f域 或 上连续. ( 证 )(,bfa)f关于函数 等的连续性 ( 1P99 E5,6.)xy, ,rcsinEx 1P101102 17，11，13；4P83 125127.四 函数的整体连续性 一致连续：341 连续定义中 对 的依赖性 ：0x例 6 考查函数 在区间 上的连续性.f1)( ,(对 作限制 就有,0(x20x. 2 10000 x对 , 取 这里 与 有关, 有时特记为 . 2, minx0 ),(0x本例中不存在可在区间 上通用的 , 即不存在最小的( 正数 ) .1(例 7 考查函数 在区间 上的连续性.xf)c本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该 却
6、与 无关, 可.2, minc0x记为 .)(2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系 .用定义验证一致连续的方法: 对 , 确证 存在. 为此, 从不失真地放大0)(式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子 之外, 其余部分中不含)(xff x有 和 , 然后使所得式子 , 从中解出x .x例 8 验证函数 在 内一致连续.)0()(abxf ) , (例 9 验证函 在区间 内一致连续.f1sin1 ,c证 ,os 2i i1sin 21212112 cxxxxx 例 10 若函数 在有限区间 内一致连续, 则 在 内有界.)(f)(ba)(f,ba353.
7、一致连续的否定:否定定义.例 11 证明函数 在区间 内非一致连续.xf1)() ,0(证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取),1( , 21minx与 便有 但,2x.2 .12 1 0xx证法二 ( 用例 10 的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续 :定义 Lipschitz 连续.例 12 函数 在区间 I 上 连续, 在 I 上一致连续. ( 证 )(xfL)( xf但函数 在区间 I 上一致连续时, 未必有 在 I 上 连续. 例如: 函数f L在区间 内一致连续. 为证明 在区间 内一致连续, 先证明xf)()10(x)10(不等式: 有不等式 事实上,
8、 , 21. 2211x时, x ,2121 xx同理, 时, 有21 .212x利用该不等式, 为使只要 21 )(xff ,2121x . 21x却不是 连续. 事实上, 倘存在 , 使对 有LL0),0(,21x, )(2121xxff 则当 时，应成立21x36.12Lx但若取 就有 矛盾.,4 ,122nx ) (,321 n5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数 在闭区间 上连续, 在 上一致连续.)(xfba)( xf,baEx 1P102 8，9，10. 3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. (
9、 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例 1 求函数 的连续区间和间断点.2ln1)(xf解 ). ,3 (), , fD的连续区间为: 、 、 和 .)(x 1, , ,) ,3(间断点为: 和 . 在点 右连续 .2 ,)(xf1二. 利用函数的连续性求极限:37例 2 .cos)1ln(im20xx例 3 作倒代换.1li0 xx .1xt例 4 .1secxtgt解 I = .)1(li)(li 1sec
10、lim00 0tgxctxx 例 5 .snsm解 i1sin .2cos2i ,01lin1snl ,2co xxx xxI = .0Ex 1P107108 1，2；4P8183 7881，120.习 题 课例 1 设函数 在区间 上连续, 且 证明:)(xf )0( 2,a).2(0af在区间 上至少存在某个 使 ,0ac.cf证 若 , 取 或 即可;)2(ff若 不妨设 设 , 应用).2(aff)()(axfxF零点定理即得所证.例 2 设函数 在区间 上连续， 试证明：)(xf,b.21bxxn使,1nx.)()()(21nxfxfff n38例 3 设 试证明：方程 在区间.)(
11、 ,)( ,bfafbaCf xf)(内有实根.),(ba例 4 设函数 在 内连续且 则 在 内有最小值.)(xfR.)(limxf)(xfR与 比较.)0(f例 5 设函数 和 在区间 I 上连续, 且在 I 的有理点 ,有)(xfgr).(rgf证明: 在 I 上 .例 6 设函数 和 在区间 I 上一致连续. 证明函数 在区间)(xf )(xfI 上一致连续.例 7 设函数 在有限开区间 内连续. 则 在有限开区间 内)(xf),(ba)(xf),(ba一致连续, 和 存在( 有限 ).0af例 8设函数 在有限开区间 内连续. 则 在 内一致连续,)(xf),)(xf在 内一致连续.)(xf,bEx 1P102103 15； P108109 3，4，6，8，12，14.
