1、1数学分析上册 第三版华东师范大学数学系 编部分习题参考解答2P.4 习题1设 a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当 时，ax 是无理数. 0a证明 （1） （反证）假设 a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故 a + x 是无理数. （2）假设 ax 是有理数，于是 是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数. 3设 ，证明：若对任何正数 有 ，则 a = b . Rba, |ba证明 由题设，对任何正数 有 ，再由教材 P.3 例 2，可得0|，于是 ，从而
2、a = b . 0|0|另证 （反证 ）假设 ，由实数的稠密性，存在 r 使得 . 这| 0|rba与题设“对任何正数 有 ”矛盾，于是 ，从而 a = b . | 0|5证明：对任何 有Rx（1） ； （2）1| 2|3|2|1| xx证明 （1） |)()| （2）因为 ，|3| xxx所以 2|2| 6设 证明Rcba, | 22cb证明 建立坐标系如图，在三角形 OAC 中，OA的长度是 ，OC 的长度是 ，2a2aAC 的长度为 . 因为三角形两边的差|cb小于第三边，所以有 | 22caacb),(baA),(cCxyO37设 ，证明 介于 1 与 之间. bax,0xba证明 因
3、为 ，|1a1|)(baxbxba所以 介于 1 与 之间. 8设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 是无理数. p证明 （反证）假设 为有理数，则存在正整数 m、n 使得 ，其中 m、n 互素. 于是 ，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使2nm得 . 于是 ， ，从而 p 是 m 的约数，故 m、n 有公约数 p. kpn2kkm2这与“m、n 互素 ”矛盾. 所以 是无理数.P.9 习题2设 S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若 ， ，使得 ，则称 S 无上界.Mx0Mx0（请与 S 有上界的定义相比较：若 ，使得 ，
4、有 ，则称 S 有上界）xM（2）S 无界.若 ， ，使得 ，则称 S 无界.x0x|0（请与 S 有界的定义相比较：若 ，使得 ，有 ，则称 S 有界）x|3试证明数集 有上界而无下界.,2|Rxy证明 ，有 ，故 2 是 S 的一个上界.y而对 ，取 ， ，但 . 故数0MxSMxy100 y0集 S 无下界.4求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：4（1） ,2|RxS解 ， . 下面依定义加以验证2supS2infS（ 可类似进行）.2supinf，有 ，即 是 S 的一个上界， 是 S 的一个下界.Sxx，若 ，则 ，都有 ；若 2，则由实200x数的稠密性，必有实数 r ，使得
5、 ，即 ， 不是上界，所以2rr.2supS（2） ,!|Nnx解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为 .Ssup下面证明： .1if ， 有 ， 即 1 是 S 的一个下界 ；x!n ，因为 ，即 不是 S 的下界. 所以 .1infS(3) ),0(|内 的 无 理 数为xS解 仿照教材 P.6 例 2 的方法，可以 验证： . 1sup0if ,1|NnxS解 ，sup2ifS首先验证 . 1 ，有 ，即 1 是 S 的一个上界 ；Sx2n ，取正整数 ，使得 ，于是取 . 从而 ，且000n 0210nxSx05.1200nx所以 supS5设 S 为非空有下界数集，证明： SSm
6、ininf证明： ）设 ，则对一切 ，有 ，而 ，故 是数集SinfxS 中的最小的数，即 .m）设 ，则 ；下面验证 ；iSinf 对一切 ，有 ，即 是数集 S 的下界；Sx 对任何 ，只须取 ，则 . 所以 .0x0if6设 S 为非空数集，定义 . 证明：| supinfSinfsup证 设 ，下面证明： .ifs 对一切 ，有 . 因为 ，所以有 ，于是 ，Sxxifxx即 是数集 S 的上界； 对任何 ，有 . 因为 ，所以存在 ，使得SinfSx0. 于是有 ，使得 . 0xx00x由，可知 .Ssup7设 A、B 皆为非空有界数集，定义数集 ,|ByAxzBA证明：（1） ；
7、（2）sup)s( infi)inf(证明 （1）因为 A、B 皆为非空有界数集，所以 和 都存在. sup，由定义分别存在 ，使得 . 由于 ，zByAx, yxzAxsup6，故 ，即 是数集 的一个上界. BysupBAyxzsupBAsupAsup， （要证 不是数集 的上界） ， ，由上sup确界 的定义，知存在 ，使得 . 于是 ，再由上Asx0xs0Bx0确界 的定义，知存在 ，使得 . 从而 0yz，且BupBy0y. 因此 是数集 的上确界，即z0 supAAsup)sup(另证 ，由定义分别存在 ，使得 . 由于zByx, yxz， ，故 ， 于是AxsupBysyxs.
8、Aup)up(由上确界的定义， ， ，使得 ， ，使得0x2s0xBy0，从而 ，由教材 P.3 例 2，可2sup0ByyB)s(0得Asup)up(由、，可得 BBs类似地可证明： infi)inf(P.15 习题9试作函数 的图象)arcsi(xy解 是以 2 为周期，in定义域为 ，值域为),(,的分段线性函数，其图象如图 . 11试问 是初等函数吗？|xy解 因为 ，可看成是两个初等函数 与 的复合，所以2| uy2x22xy7是初等函数. |xy12证明关于函数 的如下不等式：xy（1）当 时， （2）当 时，0x110xx1证明 （1）因为 ，所以当 时，有 ，xx从而有 . x
9、（2）当 时，在不等式 中同时乘以 x，可得011x，从而得到所需要的不等式 . xx11 P.20 习题1证明 是 R 上的有界函数. 1)(2f证明 因为对 R 中的任何实 数 x 有 212x)|2(x所以 f 在 R上有界. 2 （1）叙述无界函数的定义；（2）证明 为（0，1）上的无界函数；2)(xf（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 0，1 上的无界函数. 解 （1）设函数 ，若对任何 ，都存在 ，使得Dx)( 0MDx0，则称 f 是 D 上的无界函数. Mxf|)(|0（2）分析： ，要找 ，使得 . 为此只需 . 0)1,0(xx20x10证明 ，取 ，则 ，且 ，
10、所以 f 0M),(M1208为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数 是闭区间 0，1 上的无界函数 . 01)(xf7设 、 为定义在 上的有界函数，满足 ，fgD)(xgfD证明： ； )(sup)(sxgfxin)(ixD证 ，有 ，即 是 在 上的一个上界，supx)(supxf所以 .)(s)(supfDxx ，有 ，即 是 在 上的一个下界，所)(infgf)(infxDg以 .)(i)(infgDxx8设 为定义在 上的有界函数，证明： ； )(inf)(supxfDDx)(sup)(infxfxDDx证 ，有 ，于是 ，即supx)(supxfDx是 在 上的一个下界，从而
11、 ，所以)(sfDxf )(s)(iffDxDn)(supfxDx反之， ，有 ，于是 ，即 是ix )(inf)(fDx)(infxD在 上的一个上界，从而f)(inf)(supfDxDx由，得， .9证明： 在 上无界，而在 内任一闭区间 上有界.tan)2,()2,(,ba证 ，取 ，于是 . 则有0M1arctnMx )2(0x9，所以 在 上无界.Mx1tan0 xtan)2,(在 内任一闭区间 上，取 ，则)2,(,b|tan|,tmax|bM，必有 ，所以 在 上有界.bxx|ta| ta,b10讨论狄利克雷函数 ，的有界性，单调性与周期性. 为 无 理 数当 为 有 理 数当
12、xD0,1)(解 函数 是有界函数： . 不是单调函数. )(x|是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：D设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则 是有理数，于是 ；若 rx)(1)(xDrxx 是无理数，则 是无理数，于是 . r)(0)(D任何无理数都不是 的周期. )(xD11证明： 在 R 上严格增.fsin证 设 ，于是21x 2sinco2sinsi)( 111212212 xxxxff 因为 ，有 ，所以 ，0xxin 12121212 |i|ico| 从而 . 所以有12121221sicox 0sinco)( 21212121212 x
13、xfxf即 在 R上严格增.fsinP.21 总练习题101设 ，证明：Rba, |)|(21mxba证 若 ，则 ， ，这,x abab)(21|)|(21时有 ；若 ，则 ，|)|(,ab,mx，也有 ，所|)|(21ba21 |)|(a以 |)|(,maxb2设 和 都是初等函数，定义fg， ，)(,a)(xfxM )(,minxgfD试问 和 是否为初等函数？m解 由第 1 题有 ，因|)(|)(21),(a)( xgfxfxfx 为 和 都是初等函数，于是 是初等函数，再由fgg，知 是初等函数，所以 是初等21)(|)(| xfx |)(|xf )(xM函数.8设 、 和 为增函数
14、，满足 ， ，证明：fgh)()(hgfRxxf证 因为 、 为增函数，再由 ，得 ，g)(f )()(xgff，所以有 . 同理可得 . )()(xgf)()(xfhxg9设 、 为区间 上的增函数，证明 ，f,ba )(,maf也都是区间 上的增函数.)(,min)(xx),(证 先证 是区间 上的增函数.axgf),(b11设 ，于是有21x，)()(,max)( 1222 xffxgf，g从而 ，所以 是增函数.)()(,ax)( 112 xgf)(x 其次证明 是区间 上的增函数,in)f,ba设 ，于是有21x )()(,mi)( 2111 xffxgfxng从而 )()(,in)
15、( 221 xgxfx12设 、 为 上的有界函数，证明：fD )(sup)(if)(i xgxDDx insupgfxxx证 由 p.17 例 2 (i)，有)(inf)(inf)(if xxgDDxDx 再由 p.20 习题 8，有)(sup)(infgxx结合、可得 i)(if gfDxDx 13设 、 为 上的非负有界函数，证明：g )(inf)(if)(infDxxDx isupsupxg证 ，有12， ，从而 . 即)(infxfDx)(infxgD )()(inf)(if xgfxgDx 是 在 上的一个下界，所以有igx)(if)(f)(fDxD15设 为定义在 R 上以 h
16、为周期的函数，a 为实数. 证明：若 f 在 a, a+h 上有界，则 f 在 R 上有界.证 设 f 在 a, a+h 上有界，即存在 ，使得 ，有0M,x. Mxf|)(|，必存在整数 和实数 ，使得 . 于是Rm,0x0xmh，所以 f 在 R 上有界 .fhxff |)(|)(|)|016设 在区间 上有界. 记 ， ，证明I)(supxMI)(infxIffIx |,证 ，有 ， . 于是 ，有Ixf)(m)(Ix,，即 是数集 的一个上界. ff|)(| ,:|)(|Iff下面证明： 是数集 的最小上界.mM,:|)(|Ixfxf由上确界，下确界的定义知， ， ，使得 ，02)(M
17、xf，从而 . 所以 是2)(xf mMxff )2()(数集 的最小上界.,:|)(|Ix所以 mffIx |sup,部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1 （北京科技大学，1999 年）叙述数集 A 的上确界的定义，并证明：对任意有界数列 ， ，总有nny supssupnnnyxyx证明 定义参考教材.13由上确界的定义，有 ， ， （ ）. 于是supnnxsupny,21，即实数 是数列 的一个supnnyxyx nyx上界，所以有 ssnnnyx2 （中国人民大学）设 ，求 的定义域和249)3lg(1)xf )(f.)7(f解 由 解得 的定义域为049,13,02xx
18、 )(xf )3,2(,7，所以lg)7(f 34lg1)7(f3 （华中理工大学）设 ，试验证 ，并求xf xff)(（ ， ）.)(1xf01x解 由 ，得 .xxff 1)( xfxff )()(xxfxf1)(4 （同济大学）设 ，求 .01,)(f )(xf解 当 时， ，0x)(fxf当 时， ，1x当 时， ，x 2)1()fxf14所以 1,2)(xxf5 （西北工业大学）设 ，求2)(xf 的定义域)(xf 21 xf)(lim0解 ，所以 的定义域为 .0,2|)(xxf )(xf ),( 因为 ，所)(22)()( 2 xff 以 221xxff 因为 ， ，所以 不0l
19、im)(li0xx xfx2lim)(li0 xf)(lim0存在6 （清华大学）设函数 在 上是奇函数， 且对任何 值均有)(f),af)1(2)(2(fxff 试用 表示 与a)5(f 问 取什么值时， 是以 2 为周期的周期函数.x解 因为对任何 值均有 ，令 得)2()2(fxf1x，所以 .afffa 1)1()21() a，a33 53(5 由 知当且仅当 ，即 时， 是以 2 为)2()(fxf 0)2f )(xf周期的周期函数.157 （合肥工业大学）证明：定义在对称区间 内的任何函数 ，必可表示成),(l)(xf偶函数 与奇函数 之和的形式，且这种表示法是唯一的.)(xH)(
20、xG证明 令 ， ，则)(21xfH )(21(xfG，且容易证明 是偶函数， 是奇函数.)()(xxf)(x下证唯一性. 若还有偶函数 与奇函数 ，满足 ，1)(1x)()(11xGHxf则有， )()(11GxH用 代入式，得x)()(11x+ 得 ，再代入式得)(x8 （内蒙古大学）作函数 的图形|2|xy解 420xy9 （上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间 上每点都取有限值，但在1,0此区间的任何点的任何邻域内都无界.答 存在，例如 100,)( 或为 无 理 数 或 为 且互 质x，n，mnxf10 （武汉大学，1994 年）设 为一个正无穷大数列，E 为 的一切项组成的n
21、xnx数集，试证：必存在自然数 ，使得ppif证明 因为 为一个正无穷大数列，所以存在自然数 ，使得当 时，nx N|2|xyO234y16. 于是 ，由于 为有限集，所以存1xn,minif21NxE,21Nx在 ，使得 .p Exp inf11 （天津大学）证明： 是满足不等式 的一切正有理数的下确界；2r证 设 . 要证 是数集 A 的下确界. 0,2,|rQrA，有 ，所以 ，即 是数集 A 的一个下界.r2，由有理数的稠密性，在 上存在无穷多个有理数，于是可取0 ),(，即 且 .)2,(1rAr121所以 inf12 （华中师范大学）设函数 定义在区间 I 上，如果对于任何 ，及)(xf Ix21,，恒有 ，)1,0( )(11( 22xfxf 证明：在区间 I 的任何闭子区间上 有界.)(xf证 ，要证 在 有界. ，存在 ，使ba,)(f,ba),(ba)1,0(，即 . )(xx1Mffff )()()(其中 )(,mabM，令 ，则 ，,xxay2yxba，所以fffxff 1)()(1)(2)()2( M由、可得， ，有 ，所以 在,baxMxfbaf)()( )(xf有界.,ba
