生活中的趣味数学.doc

1、一、生活中的趣味数学数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行，有时甚至会让他们很生气。如果你觉得数学非常枯燥难懂，可能是你不幸碰上了一个死板的老师（但愿我的学生不这样说我）。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。下面我来说几个生活中的有关数学的趣味问题：缪勒- 莱耶错觉看看下面的带箭头的两条直线，猜猜看哪条更长? 是上面那条吗?错了!其实它们一样长. 这就是有名的缪勒-莱耶错觉,也叫箭形错觉。它是指两条长度相等的直线,如果一条直线的两端加上向外的两条斜线,另一条直线的两端加上向内的两条斜线,则前者会显得比后者长得多。现在明白了吗? 你身上的计算器们的手也能成为一

2、个可以进行简单计算的计算器。这里有一个小窍门：计算 9 的倍数时，如图 1 所示，从左到右给你的手指编号。现在选择你想计算的 9 的倍数，假设这个乘式是 79。只要像图 2 所示那样，弯曲标有数字 7 的手指。然后数弯曲的那根手指左边剩下的手指数是 6，它右边剩下的手指根数是 3，将它们放在一起，得出 79的答案是 63。图 1 图 2从左到右给你的手指编号 弯曲标有数字 7 的手指计算 79请看数学在文学上的表现回环诗图 图 1 是宋代诗人秦观写的一首回环诗。全诗共 14 个字，写在图中的外层圆圈上。读出来共有 4 句，每句 7 个字，写在图中内层的方块里。这首回环诗，要把圆圈上的字按顺时针

3、方向连读，每句由 7 个相邻的字组成。第一句从圆圈下部偏左的“赏”字开始读；然后沿着圆圈顺时针方向跳过两个字，从“去”开始读第二句；再往下跳过三个字，从“酒”开始读第三句；再往下跳过两个字，从“醒”开始读第四句。四句连读，就是一首好诗：赏花归去马如飞， 去马如飞酒力微。酒力微醒时已暮， 醒时已暮赏花归。这四句读下来，头脑里就像放电视一样，闪现出姹紫嫣红的花，蹄声笃笃的马，颠颠巍巍的人，暮色苍茫的天。如果继续顺时针方向往下跳过三个字，就回到“赏”字，又可将诗重新欣赏一遍了。生活中的圆圈，在数学上叫做圆周。一个圆周的长度是有限的，但是沿着圆周却能一圈又一圈地继续走下去，周而复始，永无止境。回环诗把

4、诗句排列在圆周上，前句的后半，兼作后句的前半，用数学的趣味增强文学的趣味，用数学美衬托文学美。你觉得有意思吗？生活是丰富多彩的，细心观察，我们就会发现生活中有许多有趣的数学问题。今天在这里，仅举 3 例，如果你也对数学感兴趣了，那么就请听下回分解吧。记住：生活中处处存在数学，需要我们去观察。 你 的 双 手 有 魔 力 我 们 的 双 手 能 够 成 为 一 个 简 单 的 计 算 器 ， 您 相 信 吗 ？ “相 信 ， 10 以 内 加 减 法没 问 题 ”也 许 您 会 这 样 回 答 ， 但 是 魔 力 的 手 指 还 能 够 完 成 乘 法 的 计 算 您 相 信 吗 ？ 答 案就

5、在 您 的 手 中 ， 按 着 我 的 方 法 试 一 试 吧 ！ 让 您 双 手 的 魔 力 在 瞬 间 展 现 出 来 。将 我 们 的 双 手 十 根 手 指 从 左 到 右 来 数 ， 在 我 们 计 算 9 的 倍 数 时 ， 假 设 你 要 计算 的 是 9*3 是 只 要 将 左 手 的 中 指 弯 曲 ， 魔 力 展 现 ， 现 在 再 来 数 一 数 ， 在 左 手 弯 曲 中指 的 左 边 剩 余 2 根 手 指 ， 代 表 十 位 上 的 数 字 ， 在 它 右 面 剩 余 的 是 7 跟 手 指 ， 代 表个 位 ， 组 合 后 的 答 案 是 二 十 七 。 三 九

6、二 十 七 正 好 是 我 们 口 诀 。 其 余 9 的 倍 数 也 可以 使 用 这 样 的 方 法 进 行 计 算 。 赶 紧 动 手 展 现 魔 法 吧 ！学 生 只 有 在 真 正 的 融 入 课 堂 教 学 中 ， 才 能 最 大 程 度 使 教 师 的 教 学 设 计 达 到 即 定的 目 标 ， 但 是 怎 样 让 孩 子 们 从 天 马 行 空 的 思 维 中 关 注 教 师 的 教 学 活 动 呢 ？ “动 手 操作 ”， 读 万 卷 书 ， 也 要 行 万 里 路 ， 动 手 实 践 的 过 程 正 是 知 识 强 化 的 过 程 。2、生活中的趣味数学-奇闻怪事2014

7、 年第 1 期数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行,事实上,数学非常有趣,它是我们日常生活的一部分,每个人都能从中获得享受。 同一天过生日的概率假设你在参加一个由 50 人组成的婚礼,有人问:“我想知道,在这里,两个人同一天生日的概率是多少?”也许大部分人都认为这个概率非常小,他们可能会设法进行计算,猜想这个概率可能是 1/7。然而正确答案是:大约只有两名同一天生日的客人参加这个婚礼。 如果这群人的生日均匀地分布在一年的任何时候,两个人拥有相同生日的概率是 97%。换句话说,你必须参加 30 场这种规模的聚会,才能发现一场没有宾客出生日期相同的。 两个特定的人拥有相同出生时间的概率是 1/365

8、。回答这个问题的关键是该群体的大小。随着人数增加,两个人拥有相同生日的概率会提高。在 10 人一组的团队中,两个人拥有相同生日的概率大约是 12%。在 50 人的聚会中,这个概率大约是 97%。然而,只有人数升至366 人(其中有一人可能在 2 月 29 日出生)时,你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。 拿多少只袜子才能配成一对关于拿多少只袜子能配成对的问题,答案并非两只。我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上,如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只,它们可能无法配成一对。但是如果我从抽屉里拿出 3 只袜子,我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色,最终都会有一双颜

9、色一样。当然只有当袜子是两种颜色时,这种情况才成立。如果抽屉里有 3 种颜色的袜子,例如蓝色、黑色和白色,你要想拿出一双颜色一样的,则至少要取出 4 只袜子。如果抽屉里有 10 种不同颜色的袜子,你就必须拿出 11只。根据上述情况总结出来的数学规则是:如果你有 N 种类型的袜子,你必须取出 N+1 只,才能确保有一双完全一样。 燃绳计时一根绳子,从一端开始燃烧,烧完需要 1 小时。现在你需要在不看表的情况下,仅借助这根绳子和一盒火柴测量出半小时的时间。你可能认为这很容易,只要在绳子中间做个标记,然后测量出这根绳子燃烧完一半所用的时间就行了。然而,这根绳子并不均匀,因此这根绳子不同地方的燃烧率不

10、同。也许其中一半绳子燃烧完仅需 5 分钟,而另一半燃烧完却需要 55 分钟。有些地方比较粗,有些地方却很细,面对这种情况,似乎想利用绳子准确测出30 分钟时间根本不可能,但是事实并非如此,大家可以利用一种创新方法解决上述问题,这种方法是同时从绳子两头点火。绳子燃烧完所用的时间一定是 30 分钟。 火车相向而行问题两列火车沿相同轨道相向而行,每列火车的时速都是 50 英里。两车相距 100 英里时,一只苍蝇以每小时 60 英里的速度从火车 A 开始向火车 B 方向飞行。它与火车 B 相遇后,马上掉头向火车 A 飞行,如此反复,直到两列火车相撞在一起,把这只苍蝇压得粉碎。苍蝇在被压碎前一共飞行了多

11、远?我们知道两车相距 100 英里,每列火车的时速都是 50 英里。这说明每列车行驶 50 英里,即一小时后两车相撞。在火车出发到相撞的这一小时,苍蝇一直以每小时 60 英里的速度飞行,因此在两车相撞时,苍蝇飞行了 60 英里。不管苍蝇是沿直线飞行,还是沿“Z”形线路飞行,或在空中翻滚飞行,其结果都一样。 掷硬币并非最公平抛硬币是做决定时普遍使用的一种方法。人们认为这种方法对当事人双方都很公平。因为他们认为钱币落下后正面朝上和反面朝上的概率都一样,都是 50%。但是有趣的是,这种非常受欢迎的想法并不正确。 首先,虽然硬币落地时立在地上的可能性非常小,但是这种可能性是存在的。其次,即使我们排除了

12、这种很小的可能性,测试结果也显示,如果你按常规方法抛硬币,即用大拇指轻弹,开始抛时硬币朝上的一面在落地时仍朝上的可能性大约是 51%。 之所以会发生上述情况,是因为在用大拇指轻弹时,有些时候钱币不会发生翻转,它只会像一个颤抖的飞碟那样上升,然后下降。如果下次你要选择,你应该先看一看哪面朝上,这样你猜对的概率要高一些。但是如果那个人是握起钱币,又把拳头调了一个个儿,那么,你就应该选择与开始时相反的一面。 3、几个关于数学的脑筋急转弯1：一个数，去掉末位是 40，去掉首位是 13，求这个数。 2：几根火柴摆成了“XI+I=X”的样子（罗马数字 11+1=10） ，问至少移动几根火柴，才能使等式成立

13、？ 3：现有一个不成立的等式“62-60=4”，请移动其中一个数字，使得等式成立。 4：请用 9 根火柴（不许损坏火柴）摆出 3 个正方形和 2 个正三角形。 5：请用 2 根火柴（不许损坏火柴）摆出 8 个三角形。四、一题多解高考题的精美，在于多途径注重基础知识和基本技能的运用，解法多样化，使不同思维的学生都有得分的机会，让基础扎实的学生对考试更有信心，努力开发学生的思维能力。只要学生平时扎扎实实的学好课本基本的解题方法，在高考应试中就一定不会吃亏。高考真题（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，底面 ABCD06,2,DABAD()证明：()若

14、 ，求二面角 的余弦值。BC解法一(I)因为 ，AB=2AD，由余弦定理得06，从而 ，故 BDAD 又 ，所以223BDA22DA,PDABC底 面BD 平面 PAD PABDP（II）因为 BCAD，ADBD，所以 BCBD 又 ， ,底 面平面 PDB平面 平面 PDB，二面角 C-PB-D 是直二面角，大小为BC2过 A 作 AEPB 于 E，连 DE 由（I）得证明过程易知 AD平面 PDB，所以 ADPB，所以 PB平面 ADE，所以 PBDE，所以AED 是二面角 A-PB-D 的平面角。令 AD=1，在 中，可求得RtADE72A设二面角 A-PB-C 的平面角为 ，则cos(

15、)sin27AE所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 .27解法二（I）同解法一证 BDAD. 又 PA 在平面 ABC 内的射影为,PDABC底 面AD， PABD（II）同解法一证二面角 C-PB-D 是直二面角，大小为 。2由（I）证明过程易知 AD平面 PDB，所以 在平面 PBD 上的投影是 。PABPDB设 AD=1，则 PD=1，BD= ，PA= ，PB=AB=2，求得3237,2PDBAS设二面角 A-PB-D 的平面角为 ，则 ，21cos7PBAsincos设二面角 A-PB-C 的平面角为 ，则 所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 .27cos()sin2 27解法三（

16、I）取 AB 的中点 E 则 AD=AE，又DAB=60 0，所以 ADE 为等边三角形，DE=AE=EB， ， ，06ADE0132DBEA09B即 BDAD，又 ，所以 BD平面 PAD PABD,PAC底 面 P（II）设 AD=1 由题知 AB=2，PD=1，DB= ，PB=2，PA= ，BC=1，BC平面 PDB，则32点 C 到 PB 的距离 ，设点 C 到平面 PAB 的距离为 ，DC平面 PAB，1dd点 C 到平面 PAB 的距离 等于点 D 到平面 PAB 的距离2由 得3cos4PBA 7sin4PBA从而 ，由 得 ，72ASDPABDV21d设二面角 A-PB-C 的

17、平面角为 ，则 21sin()sin77cos1sin解法四（I）PD平面 ABC， ，又0,PDBA02,6ABDAB22201()()cos60P ADA E（II）同解法一证二面角 C-PB-D 是直二面角，大小为 2由(I)得证明过程知 DA、DB、DP 两两垂直，以 D 为原点，分别以 DA、DB、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz，设 AD=1，则 (0,)(1,0)(,3),(0,1)DABP显然 是平面 PDB 的一个法向量设平面 PAB 的一个法向量为 ，则 即(,)nxyz0nABP30xyz取 y=1，得 ，则 ，则(3,1)n

18、 21cos,7|Dn27sin,DA即二面角 A-PB-D 的平面角 的正弦值为 ，设二面角 A-PB-C 的平面角为 ，27则 ，所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 .cos()sin227解法五（I）同解法一证 BDAD.() 0PABDPBDAPB（II） 所以 DA、DB、DP 两两垂直,C底 面以 D 为原点，分别以 DA、DB、DP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz设 AD=1，则 (0,)(1,0)(,3),(1,0)(,1)ABCP设平面 PAB 的一个法向量为 ，则 即 取 y=1，得,nxyznAB30xyz(3,1)n设平面 的

19、一个法向量为 ，则 即 取 y=1，得PBC(,)mxyz0CPB30xyz(0,13)m由于二面角 A-PB-C 是钝二面角，所以二面角 A-PB-C 的余弦27cos,|n值为 .27解法六 同解法五建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz（I）求得 所以(1,0)(,30)PABDPABD1BD（II） （同解法五）解法七(I)同解法六 (II)易知 ，故 ，从而;CPDBCPDB平 面 CPB过 A 作 AEPB 交 PB 于 E,设 则(0,)EyzA(1,)yz由 及 得 所以 又BE3,43E,),4(1,0)，即二面角 A-PB-C 的余弦值为 .27cos,|CBAE 27解法

20、八(I)同解法六 (II)过 D 作 DEPB 于 E，由 平面 PDB 知 ，所以BCBDEDE平面 可求得 ，所以 是P3(0,)43(0,)4平面 的BC一个法向量, 设平面 PAB 的一个法向量为 ，(,)nxyz则 即 取 y=1，得 0nAP30xyz3,127cos,|DEn由于二面角 A-PB-C 是钝二面角，所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 .27解法九 过点 D 作 DEAB 交 AB 于点 E 并延长作 x 轴，DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立直角坐标系如图，设 AD=1，由题意得 313(,0),(,)(0,2)(,0)(,1)22ABCDP(I) ，所以 ，31(,),(,)2PAB4PAAB(II)设平面 PAB 的一个法向量为 ， ，,nxyz(0,2)BxyzE由 得 取 x=2，得0nABP2310yxz(2,03)n设平面 的一个法向量为 ，C(,)mxy,由 得331(,1),(,0)22PBB0CBP3102xyz取 x=1，得 (,3)m 7cos,|nm由于二面角 A-PB-C 是钝二面角，所以二面角 A-PB-C 的余弦值为 .271014 年 10 月 22日