1、高考总复习含详解答案高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1(2010广东文，10)在集合 a，b，c，d上定义两种运算 、如下：那么 d(ac)( )Aa Bb Cc Dd答案 A解析 根据运算 、的定义可知， acc ，dca，故选 A.2(文)(2010福建莆田质检)如果将 1,2,3，n 重新排列后，得到一个新系列a1，a 2，a 3，a n，使得 ka k(k1,2，n) 都是完全平方数，则称 n 为“好数” 若 n分别取 4,5,6，则这三个数中， “好数”的个数是( )A3 B2 C1 D0答案 C解析 5 是好数，4 和 6 都不是，取 a13，a 22，a 31，a
2、 45，a 54，则1a 142 2,2a 242 2,3a 342 2,4a 43 2,5a 53 2.(理)(2010寿光现代中学)若定义在区间 D 上的函数 f(x)，对于 D 上的任意 n 个值x1，x 2，x n，总满足 f(x1)f (x2)f(x n)nf ，则称 f(x)为 D 上的凹(x1 x2 xnn )函数，现已知 f(x)tanx 在 上是凹函数，则在锐角三角形 ABC 中，tanAtanBtan C(0，2)的最小值是( )A3 B. 23C3 3D. 3高考总复习含详解答案答案 C解析 根据 f(x)tan x 在 上是凹函数，再结合凹函数定义得，(0，2)tanA
3、tanB tan C3tan 3tan 3 .故所求的最小值为 3 .(A B C3 ) 3 3 33(文)定义某种新运算“”：Sab 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5436( )A2 B1 C3 D4答案 B解析 由题意知 545(41) 25,366(31)24，所以 54361.(理)如图所示的算法中，令 atan ，bsin，c cos ，若在集合|0tan，且 sincos，当 时，总有 tansin，当 时，(0，2) (2，)sin0，tan0，sin 0，且 a1，下面正确的运算公式是( )ax a x2 ax a x2S(x y)S(x)C(y )C(x) S(y)；
4、高考总复习含详解答案S(x y)S(x)C(y )C(x) S(y)；C(xy)C(x )C(y)S(x )S(y)；C(xy)C(x )C(y)S(x )S(y)A B C D答案 D解析 实际代入逐个验证即可如 S(x)C(y)C( x)S(y) ax a x2 ay a y2 ax a x2 ay a y2 (axy a yx a xy a xy a xy a yx a xy a x y )14 (2axy 2a xy ) S(xy )，14 ax y a (x y)2故成立同理可验证均成立6四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在 1、2、3、4 号位子上如图所示，第一次前后排动
5、物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第 2011 次互换座位后，小兔的座位对应的是( )1 鼠 猴 23 兔 猫 41 兔 猫 23 鼠 猴 41 猫 兔 23 猴 鼠 41 猴 鼠 23 猫 兔 4第一次 第二次 第三次 第四次A编号 1 B编号 2 C编号 3 D编号 4高考总复习含详解答案答案 D解析 根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：1 鼠 猴 23 兔 猫 41 兔 猫 23 鼠 猴 41 猫 兔 23 猴 鼠 41 猴 鼠 23 猫 兔 4第一次 第二次 第三次 第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过
6、四次换座后与原来的座位一样，即以 4 为周期，因此在第 2011 次换座后，四个小动物的位置应该是和第 3 次换座后的位置一样，即小兔的座位号是 4，故选 D.点评 因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用 12 表示小兔从 1 号位换到 2 号位，则小兔座位的变化规律是：312431243，显见变化周期为 4，又 201145023，故经过 2011 次换座后，小兔位于 4 号座7(2010山东文)观察(x 2)2x，(x 4)4x 3，(cosx) sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f (x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 f(
7、x)( )Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案 D解析 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g( x)，选 D.8甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1 乘以 2 后再加上 12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a1 除以 2 后再加上高考总复习含详解答案12，这样就可得到一个新的实数 a2.对实数 a2 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 a3.当 a3a1 时，甲获胜，否则乙获胜若甲获胜的概率为 ，则 a1 的取值范围是(
8、 )34A12,24B(12,24)C(，12)(24，)D(，1224 ，)答案 D解析 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有 4 种：(正，正)、(正，反 )、( 反，正 )、(反，反) ，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的故由题意得即 4a136，a 118，a 136， a118 出现的机会是均等的，由于当 a3a1 时，甲胜且14甲胜的概率为 ，故在上面四个表达式中，有 3 个大于 a1，a 118a 1，a 136a 1，故在34其余二数中有且仅有一个大于 a1，由 4a136a 1 得 a112，由 a118a 1 得，a 1b)若 EFAB ，EF 到 C
9、D 与 AB 的距离之比为 mn，则可推算出：EF ，试用类比的方法，ma nbm n推想出下述问题的结果在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰AD、BC 相交于 O 点，设OAB、OCD 的面积分别为 S1、S 2，EFAB，且 EF 到 CD与 AB 的距离之比为 mn，则OEF 的面积 S0 与 S1、S 2 的关系是( )AS 0mS1 nS2m nBS 0nS1 mS2m nC. S0mS1 nS2m nD. S0nS1 mS2m n答案 C解析 根据面积比等于相似比的平方求解二、填空题11(2010盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数 a1，a 2 满足 a12a 221，那么
10、 a1a 2 .2高考总复习含详解答案证明：构造函数 f(x)(xa 1)2(xa 2)22x 22(a 1a 2)x1，因为对一切实数 x，恒有 f(x)0，所以 0，从而得 4(a1a 2)280，所以 a1a 2 .2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a12a 22a n21 时，你能得到的结论为_(不必证明)答案 a 1a 2a n n12(文) 如图甲，在ABC 中，ABAC，ADBC ，D 是垂足，则 AB2BDBC，该结论称为射影定理如图乙，在三棱锥 ABCD 中，AD 平面 ABC，AO平面 BCD，O为垂足，且 O 在BCD 中，类比射影定理，探究 SABC 、 SBC
11、O 、S BCD 之间满足的关系式是_答案 S ABC 2S BCO SBCD解析 根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案(理)(2010湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ，类比到空间，有两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中a24心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_答案 a3813(文)(2010陕西理)观察下列等式：132 33 2,132 33 36 2,132 33 34 310 2，根据上述规律，第五个等式为_答案 1 32
12、 33 34 35 36 321 2解析 观察所给等式可以发现：132 33 2(12) 2132 33 36 2(123) 2132 33 34 310 2(12 34) 2高考总复习含详解答案推想：1 32 33 3n 3(123n) 2第五个等式为：1 32 33 34 35 36 3(126) 221 2.(理)(2010广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质：函数 yx 在(0,1上是减函数，在1，) 上是增函数；1x函数 yx 在(0， 上是减函数，在 ，)上是增函数；2x 2 2函数 yx 在(0， 上是减函数，在 ，)上是增函数；3x 3 3利用上述所提供的信息解决问题
13、：若函数 yx (x0)的值域是6 ，)，则实数 m 的值是_3mx答案 2解析 由题目提供信息可知 yx (x0)在(0， 上是减函数，在 ，) 上3mx 3m 3m是增函数，当 x 时，y min6，m 2.3m14(文)(2010湖南衡阳八中)如图(1) 有关系 ，则如图(2)有S PA BS PAB PA PBPAPB关系 _.VP A B CVP ABC答案 PA PB PCPAPBPC解析 根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即 VP A B CVP ABC.简证如下：PA PB PCPAPBPC设 B、B 到平面 PAC 的距离分别为 h、H，则 .hH PBPB又已
14、知 ，S PA CS PAC PA PCPAPC高考总复习含详解答案 .VP A B CVP ABC13S PA C h13S PACH PA PC PBPAPCPB(理)(2010江苏姜堰中学)如图 ，数轴上 A(x1)、B(x 2)，点 P 分 AB成两段长度之比 ，则点 P 的坐标 xP 成立；如图，在梯APPB x1 x21 形 ABCD 中，EF ADBC，且 ，则 EF .AEEB AD BC1 根据以上结论作类比推理，如图，在棱台 A1B1C1ABC 中，平面DEF 与平面 ABC 平行，且 ，A 1B1C1、DEF 、 ABC 的面积A1DDA依次是 S1，S，S 2，则有结论
15、：_.答案 SS1 S21 解析 将三棱台补成棱锥 PABC，不妨令 PA1m，DAn，则 A1Dn ，那么，由 ，得 m ，S1S mm n nS1S S1又由 ，得 mn ，SS2 m nm n( 1) nSS2 S n ，nS1S S1 nSS2 S ，由此得 .SS S1 SS2 S S S1 S21 三、解答题15(2010瑞安中学)用分析法证明： .3 2 5 4证明 证法 1：要证 成立，3 2 5 4 0， 0，3 2 5 4只要证( )2( )2 成立3 2 5 4即证 52 92 成立6 20即证2 42 成立，6 20只须证 0，故只须证 62 成立，即证 8180 成立
16、20最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立高考总复习含详解答案证法 2：要证 成立，只须证 成立，只须证3 2 5 4 3 4 5 272 72 成立，即证 成立，即证 1210 成立，最后一个不等式显然成立，12 10 12 10故原结论成立16(文) 设数列 an的首项 a1a ，且 an1 Error!记 bna 2n1 ，n1,2,3，.14 14(1)求 a2，a 3；(2)判断b n是否为等比数列，并证明你的结论解析 (1)a 2a 1 a ，14 14a3 a2 a .12 12 18(2)a 4a 3 a .14 12 38a 5 a4 a .12 14 316b
17、 1a 1 a 0，14 14b2a 3 ，14 12(a 14)b3a 5 .14 14(a 14)猜想b n是公比为 的等比数列12证明如下：b n1 a 2n1 a2n 14 12 14 12(a2n 1 14) 14 bn(nN *)12(a2n 1 14) 12b n是首项为 a ，公比为 的等比数列14 12(理)(2010湖南文)给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 3 1 1 3 1 3 54 4 812其中表 n(n1,2,3，)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5， ，2n1，从第 2 行起，高考总复习含详解答案每行中的每个数都等于它肩上的两数之和(1)写出表
18、 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n3)( 不要求证明 )；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12 ，记此数列为bn求和： (nN *)b3b1b2 b4b2b3 bn 2bnbn 1解析 (1)表 4 为1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列将这一结论推广到表 n(n3)，即表 n(n3) 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列简证如下(对考生不作要求)首先，表 n(n
19、3)的第 1 行 1,3,5，2n1 是等差数列，其平均数为n；其次，若表 n 的第 k(1kn1) 行 a1，a 2，a nk1 是等差数1 3 (2n 1)n列，则它的第 k1 行 a1a 2，a 2a 3，a nk a nk1 也是等差数列由等差数列的性质知，表 n 的第 k 行中的数的平均数与第 k1 行中的数的平均数分别是 ，a1 an k 12a 1a nk1 .a1 a2 an k an k 12由此可知，表 n(n3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列(2)表 n 的第 1 行是 1,3,5，2n1，其平均数是n.
20、1 3 5 (2n 1)n由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列( 从而它的第 k 行中的数的平均数是 n2k1 )，于是，表 n 中最后一行的唯一一个数为bnn2 n1 .因此 bk 2bkbk 1 (k 2)2k 1k2k 1(k 1)2k k 2k(k 1)2k 2高考总复习含详解答案 (k1,2,3，n )2(k 1) kk(k 1)2k 2 1k2k 3 1(k 1)2k 2故 b3b1b2 b4b2b3 bn 2bnbn 1 ( 112 2 122 1) ( 122 1 1320) 1n2n 3 1(n 1)2n 2 4 .112
21、2 1(n 1)2n 2 1(n 1)2n 217(文) 已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 am，a m 2，a m1 (mN *)成等差数列，试判断 Sm，S m2 ，S m1 是否成等差数列，并证明你的结论解析 设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q(a10，q 0) ，若 am，a m2 ，a m1 成等差数列，则 2am2 a ma m1 .2a 1qm1 a 1qm1 a 1qm.a 10，q0，2q 2q10.解得 q1 或 q .12当 q1 时，S mma 1，S m1 ( m1) a1，S m2 ( m2)a 1，2S m2 S mS m1 .当 q1 时，S
22、 m，S m2 ，S m1 不成等差数列当 q 时，S m，S m2 ，S m1 成等差数列12证明如下：证法 1：(S mS m1 )2S m2 ( SmS ma m1 )2( Sma m1 a m2 )a m1 2a m2 a m1 2qam1a m1 2a m1 0，( 12)2S m2 S mS m1 .当 q 时，S m，S m2 ，S m1 成等差数列12证法 2：2S m2 2a11 ( 12)m 21 12高考总复习含详解答案 a1 ，43 1 ( 12)m 2又 SmS m1 a1a11 ( 12)m1 12a11 ( 12)m 11 12 23 2 ( 12)m ( 12)
23、m 1 a123 2 4( 12)m 2 2( 12)m 2 a1 ，43 1 ( 12)m 22S m2 S mS m1 .当 q 时，S m，S m2 ，S m1 成等差数列12(理)已知函数 f(x)对任意的实数 x、y 都有 f(xy)f(x)f(y )1，且当 x0 时，f(x)1.(1)求证：函数 f(x)在 R 上是增函数；(2)若关于 x 的不等式 f(x2ax5a)x2，则 x1x 20，从而 f(x1x 2)1，即 f(x1x 2)10.f(x1)f x2( x1x 2)f(x 2)f(x 1 x2)1f(x 2)，故 f(x)在 R 上是增函数(2)设 f(b)2，于是不等式化为 f(x2ax5a)102.当 k13 时，a k|k 13| 13 k.Tk (13k)(12k )101(k6)k 27k112.高考总复习含详解答案令 k27k112102，解得 k2 或 k5.点评 当 k13 时，a k|k 13|k13，令 Tk20( k13) 1102，无20192正整数解，故 k13 时，T k不可能取值为 102.
