1、第 1 页 共 11 页推理与证明要点 1：合情推理例 1：（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2 2cosa-1; cos4a=8 4- 8 2+ 1; cos6a=32 6- 48 4s+ 18 2cosa- 1; cos8a=128 8coa- 256 6+ 160 4- 32 2cs+ 1; cos10a= m 10- 1280 8+ 1120 6+ n 4oa+ p 2s- 1.可以推测，m n + p = .【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为 1， m801n1， mnp162，又9105,251， n40， 962 【答案】962要点 2：演绎推理例 2：
2、（2010浙江高考理科14）设 1,()(3)nnNx201naxax，将 (0)kan的最小值记为 nT，则 2345350,0,2nTT其中 nT=_ .【规范解答】观察 n表达式的特点可以看出 24,， 当 n为偶数时，0n；3312，551T， 当 n为奇数时，123nT 【答案】,nnT当 为 偶 数 时当 为 奇 数 时要点 3：直接证明与间接证明例 3：（2010北京高考文科20）已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn 对于 12(,.)nAa，12(,)nBb，定义 A 与 B 的差为 (|,|;nabbA 与 B 之间的距离为 iibad1,(（）当 n=5
3、 时，设 0,),(,0)，求 AB， (,)d；（）证明： ,nnCSABS有 ，且 ,)dC;() 证明： ,(),(Bd三个数中至少有一个是偶数【思路点拨】 （I） （）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明第 2 页 共 11 页【规范解答】 （） (01,01)AB（1,0,1,0,1）(,)d3()设 121212,)(,),(,)nnnabCcS因为 1,0,ab，所以10,(bi,从而 ,)nABab,由题意知,)iiac,当 0ic时， iiic,当 ic时，(1)ii iiibaba,所以 1(,)(,)nidACBabdAB()证明：设 21212,(,)
4、,nnnABcS, (),()kCldh记 0(,)nS由（）可知()(0(,),)dAdCAClh,所以 (1,2)iban中 1 的个数为 k, 1,2)ica中 1 的个数为 l,设 t是使 1iibac成立的 i的个数。则 hlkt由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数，即 (),(,)dBd三个数中至少有一个是偶数 注：有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；要点 4：数学归纳法例 4：等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数 (0xybr且 1,br均为常数)的图像上.（1）求 r 的值;（11）当 b=2 时，
5、记 2(log1nba 证明：对任意的 nN ，不等式211nbb成立【解析】因为对任意的 N,点 ()nS，均在函数 (0xybr且 1,br均为常数的图像上.所以得 nSbr,当n时, 1aSbr,当 2时, 111)()nnnna b,又因为 na为等比数列,所以 r,公比为 , 1()nnb（2）当 b=2 时， 1(2na, 122(log1)lognnba,则2n,所以 1213572146nbbn . 下面用数学归纳法证明不等式 12135746nbbn 成立. 当 1n时,左边= 3,右边= ,因为 ,所以不等式成立.第 3 页 共 11 页 假设当 nk时不等式成立,即 12
6、13572146kbbk 成立.则当 1nk时,左边=112 35746kkb k223()()(1)1()()14 4()k k所以当 1n时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n=k 到 n=k+1 时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，在由 n=k 到 n=k+1 的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明
7、就不是数学归纳法。（3）在用数学归纳法证明的第 2 个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 n=k+1 时证明的目标，充分考虑由 n=k 到 n=k+1 时，命题形式之间的区别和联系。【高考真题探究】1 （2010山东高考文科）观察 2()x， 43()x， (cos)inx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 ()fx满足 ()ffx，记 g为 f的导函数，则 g=（ ）（A） (B) ( (C) () (D) ()【规范解答】选 D通过观察所给 的结论可知，若 fx是偶函数，则导函数 x是奇函数，故选 D2 （2010陕西高考理科）观察下列等式： 321,332
8、6,3321410,，根据上述规律，第五个等式为 _.【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：13,6,12340,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：3 2245(56)1.【答案】3321.3 （2010北京高考理科20）已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn 对于 12(,.)nAa， 12(,)Bb，定义 A 与 B 的差为 2(|;nabab A 与B 之间的距离为 iiad1,；（）证明： ,nnCSS有 ，且 (,)(,)dACBd;（）证明： ,(),()nCSAd三个数中至少有一 个是偶数() 设 P n，P 中有 m
9、(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d(P).证明： （P） 2(1)mn.【思路点拨】 （I）直接按定义证明即可；（） “至少”问题可采用反证法证明；()把 ,)ABP表示出来，再利用均值不等第 4 页 共 11 页式证明 【规范解答】 （I）设 12(,.)nAa， 12(,.)nBb， 12(,.)nCcS因为 ia， 0,b，所以 |0,ib, ,.i ,从而 12|,|,.|)nnABababS又 1(,)|niiidCBac,由题意知 ia， b， ic0,(,.)i.,当 0ic时，|iiiacb;,当 i时， |(1)|ii iiiab,所以1(,)|(,)n
10、iidAabdAB,(II)设 12(,.)na， 12(,.)nB， 12(,.)nCcS,Bk， (,dCl， ,h. 记 0OS，由（I）可知, ,dABOAk， ()dO, ()(,)dCAh ,所以 |(.)iba中 1 的个数为 ，|1,2.ican中 1 的 个数为 l 设 t是使 |1iibac成立的 的个数，则 2hlkt由此可知， klh三个数不可能都是奇数，即 (,)B, ()d, ()三个数中至少有一个是偶数（III）2,()(,)ABPmddC,其中 ,ABP表示 中所有两个元素间距离的总和，设 P中所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1， it个 0 则 ,
11、(,)ABP 1()niitm,由于 it()i2(1,.)4min所以 ,(,)ABPd24n,从而22,()(,)4()ABPmmddCC【方法技巧】 （1）证明“至少有一个”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式4 （2010江苏高考23）已知ABC 的三边长都是有理数。（1）求证：cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数。【思路点拨】 （1）利用余弦定理表示 cosA，由三边 ,abc是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为 ，2osaAbc， ,bc是有理数， 22b
12、ca是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，22必为有理数，cosA 是有理数。（2）当 1n时，显然 cosA 是有理数；当 n时， 2coss1A，因为 cosA 是有理数， cos2A也是有理数；假设当 (2)k时，结论成立，即 coskA、 (1)k均是有理数。当 时，第 5 页 共 11 页cos(1)cossinkAkkA， 1cos(1)coscos()cos()2kAkkAkA，1c()22，解得： 1cosA， csk， 均是有理数， cscs(1)kk是有理数， cs()k是有理数即当 n时，结论成立。综上所述，对于任意正整数 n，cosnA 是有理
13、数。方法二：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知22cosABC是有理数。（2）用数学归纳法证明 cosnA 和 sinA都是有理数。当 n时，由（1）知 co是有理数，从而有 2sin1cos也是有理数。假设当 ()k时， sk和 ik都是有理数。当 nk时，由cos()csinAA，in1i(cossin)(is)co(sin)cosAAk ，及和归纳假设，知s()k和 s1)k都是有理数。即当 1k时，结论成立。综合、可知，对任意正整数 n，cosnA 是有理数。5 （2009 江苏高考）设 a b0,求证： 32ab 22ab.【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方
14、法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。证明： 322 2()()()(3)(.ab因为 a b0,所以 0， 30，从而 2()(0，即 3 22ab.6 （2008 安徽高考）设数列 n满足 3*110,nacNc其 中 为实数（）证明： 0,1na对任意 *N成立的充分必要条件是 0,1；（）设 3c，证明： 1*(3),nnac;（）设 10，证明： 22 *1 ,3nnNc【解析】 （）必要性： 20,ac，又 20,1a， 1c，即 0,.充分性：设 0,1c，对任意 *nN用数学归纳法证明 ,n.当 时， 1a， . 假设当 nk时， ,(1)ka，则 311kkacc，且 3
15、10kkcc， 1,ka. 由数学归纳法知， 0,n对任意 *n成立.() 设 03，当 n时， 10a，结论成立；第 6 页 共 11 页当 2n时， 31nac， 3 2111()()nnnnaccaa. 103c，由（）知 10,na，1n且 0n， 212(3)(nn， 13,*nacN.()设 3c,当 1n时， 01ac，结论成立；当 2时，由()知 10nna， 2122(1)1()(3)(3)nnnnnc c. 22 112 (3)na (3)1ncnc.【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）1已知 p是 q的充分不必要条件，则 q是 p的（ ）（） 充分不
16、必要条件 （） 必要不充分条件（） 充要条件 （） 既不充分也不必要条件2 设 a、b、c 都是正数，则 1ab, c, 1a三个数（ ）A、都大于 2 B、至少有一个大于 2 C、至少有一个不大于 2 D、至少有一个不小于 23在 C中， ,所对的边分别为 ,c，且 oscbAB，则 AC一定是（ ）（） 等腰三角形 （） 直角三角形 （）等边三角形 （） 等腰直角三角形4已知函数 ()yfx的定义域为 D，若对于任意的 1212,()xDx，都有 1212()(xfxf，则称()f为 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ） （） 2logyx （B） yx （C） 2yx （D）
17、 3yx5.给定正整数 n(n2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数 1，2，3，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数） ，依次类推，最后一行（第 n 行）只有一个数.例如 n=6 时数表如图所示，则当 n=2 007 时最后一行的数是（ ）(A)25122 007 (B)2 00722 006 (C)25122 008 (D)2 00722 0056.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6 的横、纵坐标分别对应数列a n(nN *)的前 12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项） ，按如
18、此规律下去,则 a2 009+a2 010+a2 011 等于( )第 7 页 共 11 页(A)1 003 (B)1 005 (C)1 006 (D)2 011二、填空题（每小题 6 分，共 18 分）7对于等差数列 na有如下命题：“若 na是等差数列， 01a， ts、 是互不相等的正整数，则有01sts）（）（”。类比此命题，给出等比数列 nb相应的一个正确命题是：“_” 。8如果A 1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A 2B2C2的三个内角的正弦值，则A 1B1C1是 三角形，A 2B2C2是 三角形.（用“锐角” 、 “钝角”或“直角”填空）9(2010 汉沽模拟)在直角三角形
19、A中，两直角边分别为 ab、 ，设 h为斜 边上的高，则 221hab，由此类比：三棱锥SAB的三个侧棱 S、 、 两两垂直，且长分别为 、 、 c，设棱锥底面 AB上的高为 ，则 . 三、解答题（10、11 题每题 15 分，12 题 16 分，共 46 分）10.观察下表：1，2，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14 ，15，问：（1）此表第 n 行的最后一个数是多少？（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（3）2010 是第几行的第几个数?（4）是否存在 nN *，使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120？若存在，求出 n 的值；若不存在，
20、请说明理由.11已知数列 na： 1， 2a， 3r， 3na（ n是正整数） ，与数列 b： 1， 20b， 31，40b， 4b（ 是正整数） 记 12nTbba （1）若 1231264 ，求 r的值；（2）求证：当 是正整数时， 124nT；（3）已知 r，且存在正整数 m，使得在 1m， 2， ， 12m中有 4 项为 100求 r的值，并指出哪 4 项为 10012已知数列 na， 0， 1a， )(Nnan记 nnaaS21)1()()(1212 nnT 求证：当 时，（） na；（） nS；（） 3nT。第 8 页 共 11 页参考答案一、选择题1 【解析】选.反证法的原理：“
21、原命题”与“逆否命题”同真假，即：若 pq则 p.2 【解析】选 D.3 【解析】选 A. cosabAB， sinicosAB， tantAB，又因为 ,0,A， AB；4 【解析】选 C.可以根据图像直观观察；对于（C）证明如下：欲证 1212()(xfxf，即证2211xx，即证 2211x，即证 210，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证 ；5 【解析】选 C.由题意知，112=72 4,48=623，20=52 2，故 n 行时，最后一行数为(n+1)2 n-2，所以当 n=2 007 时，最后一行数为 2 00822 005=25122 008.二、填空题6 【
22、解析】选 B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a 4n-3=n,a4n-1=-n,又 2 009=4503-3,2 011=4503-1, a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,a 2 009+a2 010+a2 011=1 005.7 【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中 、 类比到等比数列经常是 n()、 （ ）、 ，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似” ， “相似”是类比的基础。 11ststbq.答案：若 nb是等比数列， 1b， ts、 是互不相等的正整数，则有 1tsb。8答案：锐角 钝角 9答案
23、： 221hac三、解答题10 【解析】 （1）第 n+1 行的第 1 个数是 2n，第 n 行的最后一个数是 2n-1.（2）2 n-1+（2 n-1+1）+(2 n-1+2)+（2 n-1） =322n-3-2n-2.（3）2 10=1 024,211=2 048,1 0242 0102 048，2 010 在第 11 行，该行第 1 个数是 210=1 024，由 2 010-1024+1=987，知 2 010 是第 11 行的第 987 个数.（4）设第 n 行的所有数之和为 an，第 n 行起连续 10 行的所有数之和为 Sn.则 an=322n-3-2n-2,an+1=322n-
24、1-2n-1，a n+2=322n+1-2n，a n+9=322n+15-2n+7,第 9 页 共 11 页S n=3(22n-3+22n-1+22n+15)-(2n-2+2n-1+2n+7)=22n+17-22n-3-2n+8+2n-2，n=5 时，S 5=227-128-213+8=227-213-120.存在 n=5 使得第 5 行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120.11 【解析】 （1） 2312.aa34564786rrrr48.r 486,4.r（2）用数学归纳法证明：当 12nZT时 当 n=1 时， 12357914,Taa等式成立 假设 n=k 时等式成
25、立，即 124,k那么当 nk时，121231527192112kkkkkkkTaaa4884848rr1,k等式也成立.根据和可以断定：当 12,4.nZT时 （3） 124.mT,24;1125,65;789,104;nnnmTrnm当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ， 2,.nTm当 时 4m+1 是奇数 ， 4,r均为负数， 这些项均不可能取到 100. 此时， 2932978,T为 100. 12 【解 析】 （）证明：用数学归纳法证明当 1n时，因为 2a是方程 210x的正根，所以 12a假设当 *()kN时， ka，因为 21k221)()kk2121()()kk
26、a，第 10 页 共 11 页所以 12ka即当 1nk时， 12ka也成立根据和，可知 对任何 *N都成立（）证明：由 221kk， n， ， ， （ 2 ） ，得 2 231()(nnaaa 因为 10a，所以 nnSa由 1及 1na得 ， 所以 S（）证明：由 221kkk ，得 1(233)kk n ， ， ， ， 所以 234(3)()()nnaa ，于是 2223 211(3)()()()nnna ，故当 n 时， 13nnT ，又因为 123T， 所以 nT1.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第 n 个图案中 有白色地面砖的块数是_.【解析】观察三个图形知：白色地面砖有 4n+2 块. 答案：4n+22.如图甲，在ABC 中，ABAC，ADBC，D 是垂足，则 AB2=BDBC，该结论称为射影定理.如图乙，在三棱锥 A-BCD 中，AD平面ABC，AO平面 BCD，O 为垂足，且 O 在BCD 内，类比射影定理，探究 SABC 、S BCO 、S BCD 这三者之间满足的关系式是_.第 11 页 共 11 页
