1、灰色系统预测模型 GM(1,1)实现过程灰 色 系 统 预 测 模 型 GM(1,1)1. GM(1,1)的 一 般 形 式设 有 变 量 X(0) X(0)(i)， i=1,2， .， n为 某 一 预 测 对 象 的 非 负 单 调 原 始 数 据 列 ，为 建 立 灰 色 预 测 模 型 ： 首 先 对 X(0)进 行 一 次 累 加 (1AGO, Acumulated Generating Operator)生 成 一 次 累 加 序 列 ： X(1) X(1)(k)， k 1， 2， ， n其 中 X(1)(k) X(0)(i) i1 X(1)(k 1)+ X(0)(k) (1)对
2、X(1)可 建 立 下 述 白 化 形 式 的 微 分 方 程 ：十 u (2) dt)1()1(a即 GM(1,1)模 型 。上 述 白 化 微 分 方 程 的 解 为 (离 散 响 应 )：X(1)(k+1) (X(0)(1) ) (3)auke或 (1)(k) (X(0)(1) ) (4)au)1(ke式中：k为时间序列，可取年、季或月。2. 辩 识 算 法记参数序列为 , a,uT, 可 用 下 式 求 解 : (BTB)-1BTYn (5)式 中 :B数 据 阵 ； Yn数 据 列B (6) 1(n)X-( 21 . 3)(2)(11)（Yn (X(0)(2), X(0)(3), X
3、(0)( )T (7)3. 预 测 值 的 还 原由 于 GM 模 型 得 到 的 是 一 次 累 加 量 ， k n+1,n+2,时 刻 的 预 测 值 ， 必 须 将 GM 模型 所 得 数 据X(1)(k+1)(或(1)(k)经 过 逆 生 成 即 累 减 生 成 (IAGO)还 原 为X(0)(k+1)(或(0)(k)， 即 ： (1)(k)(0)(i)i1X(0)(i) (0)(k)1ki(0)(k)(1)(k)(0)(i)1i因 为X(1)(k-1)(0)(i)， 所 以X(0)(k)(1)(k)(1)(k -1)。i4. 灰 色 系 统 模 型 的 检 验检 验 方 法 一 ：
4、残差合格（相对误差）定义：设原始序列 )(,)2(,100)()0( nxxX相应的模型模拟序列为 , )()()()( 残差序列 21)0( n)()(,)2()(, 0000)()( nxxx相对误差序列 )(,)2(,100)0( nnk1.对于 kn,称 为 k 点模拟相对误差，称 为滤波相对误差，)(0x )(0nxn称 为平均模拟相对误差；nk12.称 为平均相对精度， 为滤波精度；n13.给定 ，当 ，且 成立时，称模型为 残差合格模型。检 验 方 法 二 ： 关联合格定 义 ： 设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为 与 的绝对关)0(X)0(X)0(X)(联度，若对于给
5、定的 ，则称模型为关联合格模型。,检 验 方 法 三 ： 均方差比合格、小误差概率合格定义：设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为残差序列。)0(X)0(X)0(为 的均值，nkx1)0(为 的方差，2)(2xsk)0(为残差均值，nk1为残差方差，ks22)(1. 称 为均方差比值 ；对于给定的 ，当 时，称模型为均方差比合格1c 0c0c模型。2. 称 为小误差概率，对于给定的 ,当 时，称16745.0)(skPp 0p0p模型为小误差概率合格模型。表 1 精度检验等级参照表精度等级 相对误差 关联度 均方差比值 小误差概率一级 0.01 0.90 0.35 0.95二级 0.05
6、 0.80 0.50 0.80三级 0.10 0.70 0.65 0.70四级 0.20 0.60 0.80 0.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。5. GM(1,1)预 测 应 用 举 例设原始时间序列为： )5(,4),3(,2),1( 0(00)( xxxX679.3,.2783,4.建立 GM(1,1)模型，并进行检验。解：1）对 作 1-AGO，得)0(D 为 的一次累加生成算子，记为 1-AGO)5(,4),(,11(1)()()1( xxxX8.679.28.56874.22)对 作紧邻均值生成，令)( )(.0)(.)111 kkkZ5(,4,3, 1()()( zz
7、z78.82.754.2于是，178.42053.1)5(3)2(1zB 679.3028.)5(4)(00xY 18.4274235.8.1 327.165.074.235.84)(1B21.435.896.2301482 679.3028.11.48.0.7.83271.1654.07)(YBa 679.32.64.09582. 8306518.73）确定模型 065318.3.)()( xdtx及时间响应式 abekk)()1()0)4986.23728.53156.4)求 的模拟值)(X)5(,),(, 1)(1 xxx=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16
8、.5538)5)还原出 的模拟值，由)0( )(1)1()( kkk得 )5(,4,3,2, 00xxxX=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验表 2 残差与相对误差计算结果实际数据 模拟数据 残差 相对误差序号 )()0kx)(0kx )()()(00kxk )(0kxk2 3.278 3.2318 0.0462 1.41%3 3.337 3.3541 -0.0171 0.51%4 3.390 3.4811 -0.0911 2.69%5 3.679 3.6128 0.0662 1.80% 平均相对误差 %)80.169.251.0%4.(145
9、 k=1.0625%（参考表 1，1 级） 计算 X 与 的灰色关联度)(521)(42 xxSk = )874.269.3(1)874.2390.874.3.873 01604=1.7855 )(52)(42 xxkS)874.261.3()874.21.3(874.31.87.31. 6904050=1.8144 2 )1(5)1(52)1()1(k xxxkxS)4025.369.2.067.43.08.40.3578. 96=0.04535 6452.903.814.75.11 S=0.99020.90（参考表 1，为 1 级）综合：精度为一级，可以用 96.23728.5)(0315
10、6.)1kekx其中， 预测。)(1)0xx6. GM(1,1)模 型 的 特 点 总 结GM(1,1)是 一 种 长 期 预 测 模 型 ， 在 没 有 大 的 市 场 波 动 及 政 策 性 变 化 的 前 提 下 ， 该 预测 值 应 是 可 信 的 。 在 采 用 灰 色 系 统 理 论 进 行 定 量 预 测 时 ， 如 果 存 在 对 预 测 对 象 影 响 较 大的 因 素 ， 就 要 在 定 性 分 析 的 基 础 上 ， 寻 找 原 始 数 据 信 息 的 突 变 点 的 量 化 值 ， 然 后 再 对 预测 值 进 行 必 要 的 修 正 ， 使 预 测 值 更 接 近 实
11、 际 情 况 ， 提 高 预 测 值 的 可 信 度 ， 为 科 学 决 策 提供 可 靠 的 数 据 。 另 外 ， 若 作 长 期 预 测 ， 要 考 虑 对 上 限 值 的 约 束 条 件 。应 用 灰 色 预 测 模 型 GM(1,1)进 行 预 测 较 之 其 它 常 规 的 时 间 序 列 预 测 法 有 以 下 显 著 的特 点 。(1)灰 色 模 型 是 一 种 长 期 预 测 模 型 ， 将 预 测 系 统 中 的 随 机 元 素 作 为 灰 色 数 据 进 行 处理 ， 而 找 出 数 据 的 内 在 规 律 。 进 行 预 测 所 需 原 始 数 据 量 小 ， 预 测
12、精 度 较 高 ， 无 须 像 其它 预 测 法 要 么 需 要 数 据 量 大 且 规 律 性 强 ， 要 么 需 要 凭 经 验 给 出 系 数 。(2)理 论 性 强 ， 计 算 方 便 ， 籍 助 计 算 机 及 其 程 序 设 计 语 言 或 相 关 软 件 间 接 计 算 ， 使得 数 据 处 理 简 便 、 快 速 、 准 确 性 好 。(3)用 有 限 的 表 征 系 统 行 为 特 征 的 外 部 元 素 ， 分 析 系 统 的 内 在 规 律 。 灰 色 系 统 理 论 采用 对 系 统 的 行 为 特 征 数 据 进 行 生 成 的 方 法 ， 对 杂 乱 无 章 的 系 统 的 行 为 特 征 数 据 进 行 处 理 ，从 杂 乱 无 章 的 现 像 中 发 现 系 统 的 内 在 规 律 ， 这 是 该 方 法 的 独 特 之 处 。(4) 适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。
