1、高等数学教案 第一章 函数与极限1第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（
2、含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集):
3、 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示为 aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, , an, Mx | x 具有性质 P . 例如 M(x, y)| x, y 为实数, x 2y21. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R
4、表示所有实数构成的集合 , 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. 高等数学教案 第一章 函数与极限2Z, n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集. ,| 互 质与且 qppqN子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B . 例如, N Z Q R . 不含任何元素的集合称为空集,
5、 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集( 简称并), 记作AB, 即ABx|xA 或 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集( 简称交), 记作AB, 即ABx|xA 且 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集( 简称差), 记作AB, 即ABx|xA 且 xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行, 所研究的其他集合 A 都是 I
6、的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集. 称 IA 为 A 的余集或补集, 记作 AC. 集合运算的法则: 设 A、B 、C 为任意三个集合, 则(1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CAC BC, (AB)CAC BC. (AB)CAC BC 的证明: x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC, 所以(A B)CAC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个
7、元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即AB(x, y)|xA 且 yB. 例如, RR( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设 a1 时, y1x. y2例如 ; ; f(3)134. )(f 2)(f2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界
8、, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方. 高等数学教案 第一章 函数与极限6如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方 . 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间. 函数 f
9、(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 1这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的 . f)(2)函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为
10、单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间(, 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（ , ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数. yx 3, ysin x 都是奇函数, ysin xcos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x
11、)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内 , 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数 f : Df(D)是单射 , 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有高等数学教案 第一章 函数与极限7f 1(y)x. 这就是说, 反函数 f 1 的对应法则是完全由函数 f 的对
12、应法则所确定的. 一般地, yf(x ), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1也是 f(D)上的单调函数. 相对于反函数 yf 1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数 . 把函数 yf(x)和它的反函数yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是因为如果 P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1(b), 故 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上
13、的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx 对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数 yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 , 即f( )fg(x). 与复合映射一样,
14、 g 与 f 构成的复合函数 的条件是: 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含在 f 的定gf义域 D f 内, 即 g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为1, 1, 在 上有定义, 且 g(D)21)(xu123 ,11, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数, xD; 21arcsin但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2 均不在 yarcsin u 的定义域1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2,
15、DD 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;商 : , xDx|g(x)0. 例 11 设函数 f(x)的定义域为(l, l ), 证明必存在(l, l )上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是, . 21f )21f证 作 , , 则 f(x)g(x)h(x), )()(xfx (fx且 , 21gffg. )()21)()( xhfxfxfh 5
16、. 初等函数高等数学教案 第一章 函数与极限8基本初等函数: 幂函数: yx (R 是常数 ); 指数函数: y a x(a0 且 a1); 对数函数: y loga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);三角函数: y sin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: y arcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, ysin2x, 1y
17、cot等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: ; 2shxe双曲余弦: ; c双曲正切: . xexhst双曲函数的性质: sh(xy)sh xch ych xsh y; ch(xy)ch xch ysh xsh y. ch2xsh2x1; sh2x2sh xch x; ch2xch2xsh2x . 下面证明 sh(xy)sh xch ych xsh y: 22shcs yxyx eeeyx 44 )()( yxyxyxyyxyx eeee . )(sh2)(反双曲函数: 双曲函数 ysh x, ych x(x0), yth x 的反函数依次为反双曲正弦: y arsh x; 反双曲余弦:
18、y arch x; 反双曲正切: y arth x . 反双曲函数的表示达式: yarsh x 是 xsh y 的反函数, 因此, 从2e档档 档档档档档档 档档 x121档 档档 档档高等数学教案 第一章 函数与极限9中解出 y 来便是 arsh x . 令 ue y, 则由上式有u 22x u10. 这是关于 u 的一个二次方程, 它的根为. 因为 ue y0, 故上式根号前应取正号, 于是. 12x由于 yln u, 故得. )ln(arsh2函数 yarsh x 的定义域为 (, ), 它是奇函数, 在区间 (, )内为单调增加的. 类似地可得, . )1ln(arch2xy1ln2a
19、rth1 2 数列的极限一个实际问题如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为 A3；如此下去 每次边数加倍 一般把内接正 82n1 边形的面积记为 An 这样就得到一系列内接正多边形的面积A1 A2 A3 An 设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大） 即内接正多边形的边数无限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1 A2 A3 An 当 n
20、时的极限 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn 则得到一列有次序的数高等数学教案 第一章 函数与极限10x1 x2 x3 xn 这一列有次序的数就叫做数列 记为x n 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 1n23412n 2 4 8 2n (1)n1 1 1 1 (1)n1 2 )(34)(它们的一般项依次为 2n (1)n1 1n1数列的几何意义数列x n可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3 xn 数列与函数数列x n可以看作自变量为正整数 n 的函数 xnf (n) 它的定义域是全体正整数 数列的极限数列的极限
21、的通俗定义：对于数列x n 如果当 n 无限增大时 数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列 xn的极限 或称数列x n收敛 a 记为 如果数列没有极限 就anlim说数列是发散的 例如 1limn02lin1)(limn而2 n (1)n1 是发散的 对无限接近的刻划xn 无限接近于 a 等价于| xna |无限接近于 0 极限的精确定义定义 如果数列x n与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数 N 使得对于 n N 时的一切 xn 不等式|xna |0 要使|x n1| 只要 即 n11高等数学教案 第一章 函数与极限11证明 因
22、为 0, N 当 nN 时 有1|xn1| n|)(|所以 1lim例 2 证明 0)(li2n分析 |x n0| |1| 1)(2n对于 0 要使|x n0| 只要 即 1证明 因为 0 N 当 nN 时 有|xn0| 1)(|)1(| 22nn所以 0lim例 3 设|q |0 要使|x n0| qn10|q| n1log|q| 1 就可以了 故可取 Nlog|q| 1。证明 因为对于任意给定的 0 存在 N log|q| 1 当 nN 时 有| qn10|q| n10 存在充分大的正整数 N 2b使当 nN 时 同时有|xna|N 时的一切 xn 不等式|xna|N 时 |xn|(xn
23、a)a| | xna|a|0 NN+ 当 nN 时 有|x na| 取 KN 则当 kK 时 n kkKN 于是| a| knx这就证明了 xklim讨论1 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 nN 时 有| xna| 0 是否有 xn a (n )2 如果数列x n收敛 那么数列 xn一定有界 发散的数列是否一定无界 ? 有界的数列是否收敛?3 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1 1 1 1 (1)N1 是发散的？高等数学教案 第一章 函数与极限131 3 函数的极限一、函数
24、极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0 xx0 x 的绝对值|x| 无限增大 x x 小于零且绝对值|x| 无限增大 x x 大于零且绝对值|x| 无限增大 x 1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义 如果当 x 无限接近于 x0 函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f(x)以 A 为极限 记作f(x)A 或 f(x)A(当 x )0lim高等数学教案 第一章 函数与极限14分析 在 xx0 的过程中 f(x)无限接近于
25、A 就是| f(x)A|能任意小 或者说 在 x 与 x0 接近到一定程度(比如| xx0| 为某一正数)时 |f(x)A|可以小于任意给定的 (小的)正数 即f(x) A| 反之 对于任意给定的正数 如果 x 与 x0 接近到一定程度(比如|xx 0| 为某一正数)就有|f (x)A| 则能保证当 x x0 时 f(x)无限接近于 A 定义 1 设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 (不论它多么小) 总存在正数 使得当 x 满足不等式 0X 时 对应的函数数值 f(x)都满足不等式|f(x)A|则常数 A 叫做函数 f(x)当 x时的极限
26、记为或 f(x)A(x)fxlim 0 X0 当| x|X 时 有| f(x)A| xf)(lim类似地可定义和 fx)(li xf)(li结论 且 Axf)(li Afx)(limAfli极限 的定义的几何意义fxlimyyx111yx1x高等数学教案 第一章 函数与极限16例 6 证明 01limx分析 0 要使|f (x)A| 只要 |1|)(| xAf 1|x证明 因为 0 当|x| X 时 有 X|0|f所以 1limx直线 y0 是函数 的水平渐近线 xy1一般地 如果 则直线 yc 称为函数 yf(x)的图形的水平渐近线 cf)(li二、函数极限的性质定理 1(函数极限的唯一性
27、)如果极限 存在 那么这极限唯一 )(lim0xf定理 2(函数极限的局部有界性 ) 如果 f(x)A(xx0) 那么存在常数 M0 和 使得当 0|xx0| 时 有| f(x)|M 证明 因为 f(x)A(xx0) 所以对于 1 0 当 0|xx0| 时 有|f(x)A| 1 于是 |f(x)|f(x)AA|f(x)A|A|1|A|这就证明了在 x0 的去心邻域x| 0| xx0| 内 f (x)是有界的 定理 3(函数极限的局部保号性 ) 如果 f(x)A(xx0) 而且 A0(或 A0) 那么存在常数 0 使当 0|xx0| 时 有 f(x)0(或 f(x)0) 证明就 A0 的情形证明
28、 因为 所以对于 0 当 0|xx0|时 有fx)(lim0 2 0 2|)(|f)(xff定理 3 如果 f(x)A(xx0)(A0) 那么存在点 x0 的某一去心邻域 在该邻域内 有 |21|)(Axf推论 如果在 x0 的某一去心邻域内 f(x)0(或 f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么 A0(或 A0) 证明 设 f(x)0 假设上述论断不成立 即设 A0 那么由定理 1 就有 x0 的某一去心邻域 在该邻域内 f(x)0 这与 f(x)0 的假定矛盾 所以 A0 yf (x)AAX O X xyA高等数学教案 第一章 函数与极限17定理 4(函数极限与数列极限的关系) 如
29、果当 xx0 时 f(x)的极限存在 xn为 f(x)的定义域内任一收敛于 x0 的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应的函数值数列f(x n)必收敛 且 lim)li0fxn证明 设 f(x)A(xx0) 则 0 0 当 0|xx0|时 有|f (x)A| 又因为 xnx0(n) 故对 0 NN 当 nN 时 有| xnx0| 由假设 x n x0(nN) 故当 nN 时 0| x nx 0| 从而|f (x n)A| 即lim)(li01 4 无穷小与无穷大一、无穷小如果函数 f(x)当 xx0(或 x)时的极限为零 那么称函数 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小 特别地 以零
30、为极限的数列x n称为 n时的无穷小 例如 因为 所以函数 为当 x时的无穷小1limx1高等数学教案 第一章 函数与极限18因为 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小 0)1(limx因为 所以数列 为当 n时的无穷小lin讨论 很小很小的数是否是无穷小？ 0 是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在 xx0(或 x)的过程中 极限为零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零 无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 xx0(或 x)中 函数 f(x)具有极限 A 的充分必要条件是 f(x)A 其中 是无穷小证明
31、设 0 0 使当 0|xx0|时 有Axf)(lim0|f(x)A| 令 f(x)A 则 是 xx0 时的无穷小 且f(x)A 这就证明了 f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小 之和 反之 设 f(x)A 其中 A 是常数 是 xx0 时的无穷小 于是|f(x)A| 因 是 xx0 时的无穷小 0 0 使当 0|xx0| 有| 或| f(x)A|这就证明了 A 是 f(x) 当 x x0 时的极限 简要证明 令 f(x)A 则|f (x)A|如果 0 0 使当 0|xx0| 有 f(x)A|就有| | 反之如果 0 0 使当 0|xx0| 有| |就有 f(x)A| 这就证明了如果 A 是
32、f(x) 当 xx0 时的极限 则 是 xx0 时的无穷小 如果 是 xx0 时的无穷小 则 A 是 f(x) 当 x x0 时的极限 类似地可证明 x时的情形 例如 因为 而 所以 33210lim3x21li3x二、无穷大如果当 xx0(或 x)时 对应的函数值的绝对值|f (x)|无限增大 就称函数 f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷大 记为 (或 )li0fx limfx应注意的问题 当 xx0(或 x)时为无穷大的函数 f(x) 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大” 并记作(或 )li0xflifx讨论 无穷大的精确定义
33、如何叙述？很大很大 的数是否是无穷大?提示 M0 0 当 0|x)(lim0xf|时 有|f(x )|M0x高等数学教案 第一章 函数与极限19正无穷大与负无穷大 )(lim(0xf )(li(0xf例 2 证明 1lix证 因为M0 当 0|x1| 时 有 x|1所以 lim提示 要使 只要 x|1| Mx1|铅直渐近线 如果 则称直线 是函数 yf(x)的图形的铅直渐近线 )(li0fx 0例如 直线 x1 是函数 的图形的铅直渐近线 1xy定理 2 (无穷大与无穷小之间的关系 )在自变量的同一变化过程中 如果 f(x)为无穷大 则 为无穷小 反之 如果 f(x)为无穷小 且 f(x)0
34、则 为无穷大)(1xf )(1xf简要证明 如果 且 f(x)0 那么对于 0 当 0|x |时 )(lim0xf M1有 由于当 0|x |时 f(x)0 从而Mf1|)( xf|)(|所以 为 xx0 时的无穷大1f如果 那么对于 0当 0|x |时 )(lim0fx 1有 即 所以为 xx 时的无穷小1|)(Mf |)(|f简要证明 如果 f(x)0(xx0)且 f(x)0 则 0 0 当 0|x x0|时 有|f(x)| 即 所以 f(x)(xx0)如果 f(x)(xx0) 则M 0 0当 0|x x0|时 有|f(x)| M 即 所以 f(x)0(xx0)高等数学教案 第一章 函数与
35、极限201 6 极限运算法则定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 例如 当 x0 时 x 与 sin x 都是无穷小 xsin x 也是无穷小简要证明 设 及 是当 xx0 时的两个无穷小 则 0 10 及 20 使当 0|xx0|1时 有| 当 0|xx0|2时 有| | 取 min1 2 则当 0|xx0| 时 有| |2 这说明 也是无穷小证明 考虑两个无穷小的和 设 及 是当 xx0 时的两个无穷小 而 任意给定的 0 因为 是当 xx0 时的无穷小 对于 0 存在着 10 当 0|xx0|1 时 不等式2|成立 因为 是当 xx0 时的无穷小 对于 0 存在着 20 当 0|xx0|
36、2 时 不等式2| 成立 取 min1 2 则当 0|xx0|时| 及| |2同时成立 从而| | 这就证时了 也是当 xx0 时的无穷小 2定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 简要证明 设函数 u 在 x0 的某一去心邻域 x|0|xx0|1内有界 即M0 使当 0|xx0|1 时 有|u|M 又设 是当 xx0 时的无穷小 即 0 存在 2 0 使当 0|xx0|时 有| | 取 min1 2 则当 0|xx0|时有 |u| M 这说明 u也是无穷小例如 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 arctan x 也是无穷小1推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论
37、2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 定理 3 如果 lim f (x)A lim g (x)B 那么(1) lim f (x)g(x) lim f (x) lim g (x) A B 高等数学教案 第一章 函数与极限21(2) lim f (x)g(x) lim f (x) lim g (x) AB (3) (B0) limli证明(1) 因为 lim f (x)A lim g (x)B 根据极限与无穷小的关系 有f (x)A g (x)B 其中 及 为无穷小 于是f (x) g (x)(A ) (B ) (A B) ( ) 即 f (x) g (x)可表示为常数(A B)与无穷小( )之和 因
38、此lim f (x) g (x) lim f (x) lim g (x) A B 推论 1 如果 lim f (x)存在 而 c 为常数 则lim c f (x)c lim f (x) 推论 2 如果 lim f (x)存在 而 n 是正整数 则lim f (x)n lim f (x)n 定理 4 设有数列x n 和 yn 如果 AxnlimBynli那么(1) BAyxnn)(lim(2) li(3)当 (n1 2 )且 B0 时 0y BAyxnlim定理 5 如果 (x)(x) 而 lim (x)a lim (x)b 那么 ab 例 1 求 lim 解 12li1li2li)(li 1
39、1 xxx讨论 若 则 nnaaP0 ?)(lim0xP提示 nxnxxxx a00000 lili )(li)(lim)li 11 nnnaa0000 11a0x0na1x0n1 anP(x0) )li()li(00xxa若 则 nnaP )1 (lim0Px例 2 求 35li2 xx解 )(li11lim223 xx高等数学教案 第一章 函数与极限22 3lim5li1223xx 325)li(1x370提问 如下写法是否正确？ 35li1351lim22 xxx 3702 )(lili22 xx )1(lim2x例 3 求 93li2 x解 31li)(lilim 32 3 xxx 61)(lim 3x例 4 求 45li2 1x解 031li 根据无穷大与无穷小的关系得 452lim 1xx提问 如下写法是否正确？0)(li34532lim2 1 1xxxx 讨论 有理函数的极限 ?)(li0xQP提示 当 时 )(0xQ)(lim00x当 且 时 )(Pli0xP当 Q(x0)P(x0)0 时 先将分子分母的公因式( xx0)约去 例 5 求 35724limx解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 735li5724li3xxx例
