1、灰色系统模型,研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。 在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。,1. GM(1,1)模型,G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。 定义1.1设 则称为GM(1,1)模型的原始形式，其中 为待定
2、参数。,设其中则称 为GM(1,1)模型的基本形式。,定理1.1 设有非负序列：为 的1-AGO（即一次累加）序列：其中 ； 为 的紧邻均值生成序列：其中,若 为参数列，且则GM(1,1)模型 的最小二乘估计参数列满足,定义1.2设 为非负序列， 为 的1-AGO（即一次累加）序列， 为 的紧邻均值生成序列，则称微分方程为（，）模型（灰色方程）的白化方程，也叫影子方程。,定理.2设 如定理1.1中所述，其中 ,则. 白化方程 的解（也称时间响应函数）为. GM(1,1)模型 的时间响应序列为,.还原值,2.灰色系统预测模型的精度检验,预测就是借助于过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测就是通过原
3、始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定量预测。,定义2.1 设原始数据序列相应的预测模型模拟序列:残差序列:相对误差序列:,则 1.对于 ，称， 为 点的模拟相对误差，称 为平均相对误差。 2.称 为平均相对精度， 为 点的模拟精度。 3.给定 ，当 成立时，称模型为残差合格模型,定义2.2 设 为原始序列， 为相应的模拟序列， 为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。 定义2.3设 为原始序列， 为相应的模拟序列， 为 与 的残差序列，则分别为 的均值、方差；分别为残差的均值、方差。,1. 称为均方差比值，对于给定的 ,当
4、 时，称模型为均方差比合格模型。2. 称为小误差概率，对于给定的 ,当 ，称模型为小误差概率合格模型。,精度检验等级参照表,3.数列预测,数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，灰色系统基本模型GM（1，1）是较常用的数列预测模型。根据实际情况，也可以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的基础上，定义适当的算子，对算子作用后的序列建立GM模型，通过精度检验后，即可用于预测。,例1河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于长葛县统计局）。 解 ：由统计资料查得产值序列为引入二阶弱化算子 ，令其中以及,其中于是X的1-AGO序列为设按最小二乘法求得参数的 估计值为,得GM（1，1）模型白化方程其时间响应式为得模拟序列,残差序列 相对误差序列平均相对误差模拟误差 ，精度为一级。,计算 的灰色绝对关联度 ： 从而,关联度为一级 计算均方差比,所以 ,均方差比值为一级。计算小误差概率：所以 ,小误差概率为一级，故可用,故可用进行预测。这里给出5个预测值,4.作业,某大型企业1997-2000年四年产值资料试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。,
