1、1页河南省郑州市第一中学2018届高三上学期诊断试题数学（文科）本试卷共23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 AN， 3,5BxRzxiz且 ，（
2、i为虚数单位），则 AB（ ）A. 4B. 4C. 4D.42.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（ ）A.丁酉年 B.戊未年 C.乙未年 D.丁未年3.点 3,4在直线 :10laxy上，则直线 l的倾斜角为（ ）A. 0B. 5C. 6D.1204.定义函数 ,ma,fxgxfxg，则 mas
3、in,cox的最小值为（ ）A. 2B. 2C. 2D. 25.已知数列 na的通项 3nN，数列 nb的前 项和为 237nSnN，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列 nc，则满足 201mc的 的最大整数值为（ ）A.335 B.336 C.337 D.3386.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）2页A. 136B. 3C. 53D. 437.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点 P、 Q、 R、 S，则抛物线的焦点是（ ）A. PB.QC. RD. S8.点 ,Mxy在圆 221y上运动，则 24xy的取值范围是（ ）A. 1,4B. 1,0C. ,0,D. ,49.
4、已知 B、 C为单位圆上不重合的两定点， A为此单位圆上的动点，若点 P满足 ABPC，则点的轨迹为（ ）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆10.点 1F、 2分别是双曲线213yx的左、右焦点，点 在双曲线上，则 12F的内切圆半径 r的取值范围是（ ）A.0,3B.0,C. 0,2D.0,111.如图，将边长为2的正 ABC沿着高 D折起，使 6BC，若折起后 A、 B、 C、 D四点都在球 O的表面上，则球 的表面积为（ ）3页A. 132B. 13C. 132D. 1312.已知函数 2sinxfx，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）函数 f是周期函数；函数 x既有最
5、大值又有最小值；函数 f的定义域为 R，且其图象有对称轴；对于任意的 1,0， fx（ fx是函数 fx的导函数）A. B. C. D.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律， A、 B处应分别填写_.八卦 二进制 000 001 010 011 A十进制 0 1 2 3 B14.已知 4,3OA，将其绕原点 O逆时针旋转 120后又伸长到原来的2倍得向量 OA，则
6、_.15.点 E是正方体 1BCDA的体对角线 1BD上靠近点 的四等分点，在正方体随机取一点 M，则点 M满足 12E的概率为_.16.设 x表示不超过实数 x的最大整数，例如 4,3， 2,63，则点集 2,5xy所覆盖的面积为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）4页已知函数 sin6fxx.（）求 的单调递增区间；（）在锐角 ABC中，内角 、 B、 C、所对的边分别是 a、 b、 c，且 34fA， 2a，求的最大面积.18.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥 P中， A， B， M为 的中点， D为 PB的中点
7、，且MPB为正三角形.（）求证： DA平面 C；（）求证：平面 平面 .19.（本小题满分12分）根据环境保护部环境空气质量指数（AQI）技术规定，空气质量指数（AQI ）在201300之间为重度污染；在301500之间为严重污染.依据空气质量预报，同时综合考虑空气污染程度和持续时间，将空气重污染分为4个预警级别，由轻到重依次为预警四级、预警三级、预警二级、预警一级，分别用蓝、黄、橙、红颜色标示，预警一级（红色）为最高级别。（一）预警四级（蓝色）：预测未来1天出现重度污染；（二）预警三级（黄色）：预测未来1天出现严重污染或持续3天出现重度污染；（三）预警二级（橙色）：预测未来持续3天交替出现重
8、度污染或严重污染；（四）预警一级（红色）：预测未来持续3天出现严重污染。某城市空气质量监测部门对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图如图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的PM2.5浓度相互独立.（）求当地监测部门发布颜色预警的概率；（）据当地监测站数据显示未来4天将出现3天严重污染，求监测部门发布红色预警的概率.5页20.（本小题满分12分）已知椭圆 2:10xyCab的离心率为 12，左、右焦点分别为 1F、 2， M是 C上一点，1MF，且 212FM.（）求椭圆 的方程；（）当过点 4,1P的动直线 l与椭圆 C相较于
9、不同两点 A， B时，在线段 A上取点 Q，且 满足AQB，证明点 Q总在某定直线上，并求出该定直线.21.（本小题满分12分）已知函数 2ln1fxxa.（）若 在区间 ,上单调递增，求实数 a的取值范围；（）若存在唯一整数 0，使得 0f成立，求实数 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选题44；坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程为 2cos4in，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直线坐标系，直线 l的参数方程为 1,ixty（ t为参数）.（）判断直线 与曲线 的位置关系，并说明理由；（）若直线 l与
10、曲线 C相较于 A、 B两点，且 32，求直线 l的斜率.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知 xR，不等式 12xt成立.（）求满足条件的实数 t的集合 T；（）若 m， n， ，不等式 3loglmnt恒成立，求 mn的最小值.6页数学（文科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C A C C A B B D D A B A13. 110，614.,415. 16316.1217.() 6sinxxfco21i3sinxxsini221i3cos14s2in4xx3si1令 Zkxk22，得 151. xf的单调递增区间为 Zkk125,.（5分）（）
11、由 43Af，得 43sinA. 02sin， k2， Z， 26kA， Z.（8分）又 A， 6， bcbcbc322os42 .7页 324bc，当且仅当 cb时取“ ”. 32141sinmax AbcSABC .（12分）18.证明：() D、 M分别为 PB、 的中点， MDPHA，又 平面 APC， MD平面P， 平面 .（4分）（） 为 的中点， 为正三角形， B.由（）知 HA， .又 C，且 BP， P平面 . 平面 ， C.（8分）又 A，且 A， BC平面 .而 平面 ，平面 平面 PC.（12分）19.（）根据频率分布直方图，可知出现空气重污染的频率是0.25.01.0
12、2540.2，所以当地监测部门发布颜色预警的概率是0.2.（）记严重污染为 A，其他情况为 B，未来4天中出现3天严重污染的所有情况有 BA， ，AB， ，共4种，发布红色预警所包含的基本事件为 BA， ，共2种，所以监测部门发布红色预警的概率 2P.20.解析（）由已知得 ac，且 1260FM.在 12FM中，由余弦定理得244oscc，解得 1c.则 a， 3b所以椭圆 C的方程为23xy.（4分）（）由题意可得直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 14ykx，即 1ykx，代入椭圆方程，整理得 22238364380k，设 1,Ax， 2,B，8页则21384kx，216438kx.
13、（6分）设 0,Qy，由 APQB得121024xxx（考虑线段在 x轴上是射影即可）.（8分）所以 00218.于是 238643kkx.整理得 004x， （10分）又 01ykx，代入 式得 03y，所以点 Q总在直线 x上.（12分）21.解析（）函数 f的定义域为 0,， 2ln1fxax.要使 fx在区间 1,上单调递增，只需 0，即2lna在 ,上恒成立即可，易知 lyx在 上单调递增，所以只需 minay即可，易知当 1时， y取最小值， min2l1y，实数 a的取值范围是 ,.（5分）（）不等式 0fx即 002lxa，令 2lng， ， 1h，则 1xx， g在 ,上单调
14、递增，而 0g， 2ln0，存在实数 ,m，使得 m，当 1,x时， gx， 在 1,上单调递减；当 时， 0， gx在 上单调递增. mingx.2g，画出函数 和 h的大致图象如下，（10分）9页hx的图象是过定点 0,1C的直线，由图可知若存在唯一整数 x，使得 0fx成立，则需 min,BCACDkak，而 ln32l1ACDk， ACDk. 2B， l1a.于是实数 的取值范围是 ln3,2.（12分）22.解析（）相交，理由：因为 cos4i，所以 2cos4in，所以曲线 C的直角坐标方程为 24xy，即 215xy，因为直线 l过点 1,，切该点到圆心 1,2的距离为 215，
15、所以直线 l与曲线 C相交.（5分）（）当直线 l的斜率不存在时， 23AB，则直线 l的斜率必存在，设其方程为ykx，即 10ky，则圆心到直线 的距离 21dk，又因为2235d，所以 2k.解得 1k，所以直线 l的斜率为 1.（10分）23.解析（）令 fxx，则 ,2312,1,fxf则，由于 R，不等式 xt成立，因此 1Tt.（5分）（）当 m， n， tT时，不等式 3loglmnt恒成立等价于 3logl1mn恒成立，10页由题意知 3log0m， 3ln，根据基本不等式得 3og2llog2mn，所以 3l2n，从而 ，当且仅当 时取等号，再根据基本不等式得 6mn，当且仅当 3n时取等号，所以 的最小值为6.
