1、2018届河南省郑州市第一中学高三 12月月考数学（文）试题（解析版）本试卷共23小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，（为虚数单位），则 （ ）A
2、. B. C. D. 【答案】C【解析】，则 ，所以 ，由于 ，因此 ，故选择C.2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、午、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2016 年是干支纪年法中的丙申年，那么2017年是干支纪年法中的（ ）A. 丁酉年 B. 戊未年 C. 乙未年 D. 丁未年【答案】A【解析】按照天干、地支匹配顺序，若2016年为丙申年，则2017年为丁酉年，故选择A.3.点 在直线 上
3、，则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】点 在直线l：axy+1=0上，a= ，即直线的斜率为 可得直线的倾斜角【详解】点 在直线l：axy+1=0上， ，a= ，即直线的斜率为 ，直线l的倾斜角为60故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，比较基础4.定义函数 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题中定义的函数可知 ，则该函数图像如下图.由上图可知函数的最小值为 ，故选择C.5.已知数列 的通项 ，数列 的前 项和为 ，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列 ，则满足 的 的最大整数值为（ ）A. 335 B
4、. 336 C. 337 D. 338【答案】A【解析】由 可知数列 为等差数列，通项公式 ，又因为 ，由题意可知 ，通项公式 ，所以 即 ，解得 ，所以 的最大整数值为335，故选择A.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为 .考点：三视图.7.如图，给出抛物线和其对称轴上的四个点 、 、 、 ，则抛物线的焦点是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别作出准线方程，根据抛物线的定义，即可判断焦点的位置【详解】如图可知：分别做P，Q，R，S关于y轴的
5、对称点，分别过对称点做x轴的垂线，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离相等，分别判断，可知Q为抛物线的焦点，故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于基础题8.点 在圆 上运动，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 时，显然 ；当 时， 设 ，则问题转化为求 的取值范围，将 看作圆上动点 与原点 连线的斜率，如下图， 或 ，则 或 ，所以 或综上所述： .9.已知 、 为单位圆上不重合的两定点， 为此单位圆上的动点，若点 满足 ，则点 的轨迹为（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【答案】D【解析】设 ， ，
6、 ， ，设单位圆圆心为 ，则根据 可有： ，所以点 为 的重心，根据重心坐标公式有 ，整理得 ，所以点 的轨迹为圆，故选择D.点睛：求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点.主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查.求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等.本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点 的轨迹方程.10.点 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，则 的内切圆半径的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解
7、析】如图所示，设 的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点 ，根据圆的切线可知： ， ，又根据双曲线定义 ，即 ，所以，即 ，又因为 ，所以 ， ，所以 点为右顶点，即圆心 ，考虑 点在无穷远时，直线 的斜率趋近于 ，此时 方程为 ，此时圆心到直线的距离为，解得 ，因此 内切圆半径 ，所以选择A.11.如图，将边长为2的正 沿着高 折起，使 ，若折起后 、 、 、 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将折叠后的三棱锥 置于正三棱柱中，如下图所示， 是边长为1的正三角形， ，外接球球心为 ，在 中， ， ， ，所以 ，则球 的表面积为 ，故选择B
8、. 点睛：解决关于外接球的问题关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用.对于特殊类型的问题，我们可以将其还原为规则的几何题，如正方体、正四棱柱、长方体、正三棱柱等等，还原后球心的位置比较明显，很容易建立方程 ，从而求出外接球的半径 ，计算得到球的体积、表面积.12.已知函数 ，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（ ）函数 是周期函数；函数 既有最大值又有最小值；函数 的定义域为 ，且其图象有对称轴；对于任意的 ， （ 是函数 的导函数）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 定义域为 ，当 或 时， ，又 ， ， ， ，时， ，且均
9、为变号零点.又因为函数满足 ，所以函数关于直线 对称，函数图像如下图，故正确.点睛：本题考查函数的综合知识：函数 对于定义域内任意实数 ，存在非零常数 ，满足 ，则函数 为周期函数；函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别地当时，函数 关于直线 对称；在函数 定义域 内，存在常数使得 ，则 叫做函数的零点.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第1321 题为必考题，每个考生都必须作答第2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20分.13.我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律
10、， 、 处应分别填写_.八卦 二进制 000 001 010 011十进制 0 1 2 3【答案】110，6【解析】【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到结果【详解】由八卦图，可得A处是110，110 （2）=0+12+122=2+4=6故答案为110，6【点睛】二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，属于基础题14.已知 ，将其绕原点 逆时针旋转 后又伸长到原来的2 倍得向量 ，则 _.【答案】【解析】设向量 逆时针旋转 后得到的向量为 ，根据题意有 ，解得，所以 ，又 ，所以15.点 是正方体 的体对角线 上靠近点 的
11、四等分点，在正方体随机取一点 ，则点 满足 的概率为_.【答案】【解析】设正方体棱长为4，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，则 ，设 ，根据条件，即 ，整理得： ，所以点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球的体积的 ，体积为 ，所以根据几何概型，所求概率为 .点睛：应用几何概型求概率问题的时，首先要建立相应的几何模型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.（1）一般地，一个连续变量可以建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系建立与面积有关的
12、几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.16.设 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ，则点集 所覆盖的面积为_.【答案】12【解析】由于 且 均为整数，当 或 时围成的是4个面积为1小正方形，当 或 时围成的是8个面积为1的小正方形，所以面积为12.三、解答题：本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数 .（）求 的单调递增区间；（）在锐角 中，内角 、 、 、所对的边分别是、 、，且 ， ，求 的最大面积.【答案】（） ；（） 【解析】试题
13、分析：（1）本问考查三角恒等变换公式，首先根据两角和正弦展开，然后根据二倍角公式化为正弦型函数，然后可以求出递增区间；（2）本问考查正、余弦定理及重要不等式的应用，首先根据 求出 ，根据余弦定理 ，即 ，根据重要不等式可以得到 ，于是可以求出 的最大值，即可以求出面积的最大值.试题解析：（1），令 ，得 . 的单调递增区间为 .（2）由 ，得 ， ， ， ，又 ， ， . ，当且仅当 时取“=”. .考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数性质；3.余弦定理；4.三角形面积公式.18.如图，已知三棱锥 中， 为 的中点， 为 的中点，且 为正三角形.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平
14、面 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得 ，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件 ，应设法证明 ，根据题中条件分析可证出 平面 ，所以得到，于是根据线面垂直判定定理可得 平面 ，于是平面 平面 .试题解析：（1） 分别为 的中点， ，又 平面 平面 ， 平面.（2） 为 的中点， 为正三角形， .由（1）知 ， .又 ，且 ， 平面 . 平面 ， .又 ，且 ， 平面 .而 平面 ，平面 平面 .考点：1.线面平行；2.面面垂直.1
15、9.根据环境保护部环境空气质量指数（AQI）技术规定，空气质量指数（AQI）在201300 之间为重度污染；在301500之间为严重污染.依据空气质量预报，同时综合考虑空气污染程度和持续时间，将空气重污染分为4个预警级别，由轻到重依次为预警四级、预警三级、预警二级、预警一级，分别用蓝、黄、橙、红颜色标示，预警一级（红色）为最高级别（一）预警四级（蓝色）：预测未来1天出现重度污染；（二）预警三级（黄色）：预测未来1天出现严重污染或持续 3天出现重度污染；（三）预警二级（橙色）：预测未来持续3天交替出现重度污染或严重污染；（四）预警一级（红色）：预测未来持续 3天出现严重污染某城市空气质量监测部门
16、对近300天空气中PM2.5浓度进行统计，得出这300 天中PM2.5浓度的频率分布直方图如图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率，并假设每天的 PM2.5浓度相互独立.（）求当地监测部门发布颜色预警的概率；（）据当地监测站数据显示未来4天将出现3天严重污染，求监测部门发布红色预警的概率.【答案】() 0.2；（） 【解析】试题分析：（1）观察频率分布直方图，根据题意空气质量指数为重度污染和严重污染的频率为，所以当地发布颜色预警的概率为0.2；（2 ）本问考查古典概型，主要是理解题意并根据题意写出基本事件空间，再根据题中描述预警一级（红色）；预测未来持续3天出现严重污染，确定发生红色预警所
17、包含的事件，从而求出概率.试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知出现空气重污染的频率是，所以当地监测部门发布颜色预警的概率是0.2.（2）记严重污染为 ，其他情况为 ，未来4天中出现3天严重污染的所有情况有，共4种，发布红色预警所包含的基本事件为 ，共2种，所以监测部门发布红色预警的概率.考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.20.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 是 上一点， ，且.（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线与椭圆 相较于不同两点 ， 时，在线段 上取点 ，且 满足，证明点 总在某定直线上，并求出该定直线.【答案】() ；（）证明见解析，直线方程为 【解析】
18、试题分析：（1）本问主要考查求椭圆标准方程，由 ，可得，所以 ，则在 中， ， ，再根据余弦定理及 ，可以求出 的值，于是可以求出椭圆的方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线的斜率显然存在，故设直线方程为 ，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数 得到关于 的一元二次方程，根据韦达定理表示出 两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点 ， 将题中条件转化为横坐标的等式，于是可以得出 满足的方程，即可以证明 总在一条直线上.试题解析：（1）由已知得 ，且 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 .则 ，所以椭圆 的方程为 .（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为 ，即 ，代入椭圆
19、方程，整理得 ，设 ，则 .设 ，由 得（考虑线段在 轴上的射影即可），所以 ，于是 ，整理得 ，（*）又 ，代入（*）式得 ，所以点 总在直线 上.考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程
20、，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.21.已知函数 .（）若 在区间 上单调递增，求实数的取值范围；（）若存在唯一整数 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】() ；（） 【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数 在区间 上单调递增，则 在上恒成立，即 在 上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在 上恒成立，设函数 ，于是只需满足 即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数 ，使得 ，即 ，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数 图像在直线 下方，
21、于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在 时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.试题解析：（1）函数 的定义域为 ， ，要使 在区间 上单调递增，只需 ，即在 上恒成立即可，易知 在 上单调递增，所以只需 即可，易知当 时， 取最小值， ，实数的取值范围是 .（2）不等式 即 ，令 ，则 ， 在 上单调递增，而 ，存在实数 ，使得 ，当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增， .，画出函数 和 的大致图象如下，的图象是过定点 的直线，由图可知若存在唯一整数 ，使得 成立，则需 ，而 ， ， 于是实数的取值范围是 考点：1.利用导数研究函数极值；2.
22、函数、导数的综合应用；3.数形结合思想方法.点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选题44 ；坐标系与参数方程已知曲线 的
23、极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直线坐标系，直线的参数方程为 （为参数）.（）判断直线与曲线 的位置关系，并说明理由；（）若直线与曲线 相较于 、 两点，且 ，求直线的斜率.【答案】() 相交，理由见解析；（） 【解析】试题分析：（1）由,又直线过点 ,且该点到圆心的距离为 直线与曲线 相交；（2）先当验证直线的斜率不存在时,直线过不成立 直线必有斜率, 设其方程为圆心到直线的距离的斜率为 试题解析：（1）因为 ,所以 ,所以曲线 的直角坐标方程为,即 ,因为直线过点 ,且该点到圆心的距离为 ，所以直线与曲线 相交（2）当直线的斜率不存在时,直线过圆心 ,则直线必有斜率
24、, 设其方程为,即 ,圆心到直线的距离 ,解得 ,所以直线的斜率为 考点：坐标系与参数方程【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线C的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围23.选修45 ：不等式选讲已知 ，不等式 成立.（）求满足条件的实数的集合 ；（）若 ， ， ，不等式 恒成立，求 的最小值.【答案】() ；（ ）6 【解析】【分析】（）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的范围，求出T即可；（）根据基本不等式的性质求出m+n的最小值即可【详解】（）令 ，则 ，由于 ，不等式 成立，因此 .（）当 ， ， 时，不等式 恒成立等价于 恒成立，由题意知 ， ，根据基本不等式得 ，所以 ，从而 ，当且仅当 时取等号，再根据基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为6.【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
