1、新疆大学学士学位论文新疆大学 毕业论 文 (设计 )题 目: 求解对流扩散方程的 pade 逼近格式 所属院系：数学与系统科学学院_专 业：数学与应用数学_新疆大学学士学位论文声 明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。声明人（签名）： 2012 年 月 日买买提江.卡热同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计） ，指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计） 。指导教师（签名）： 2012 年 月 日新疆大学学士学位论文新 疆 大 学毕业论文（设计）任务书班 级
2、：应 数 08-1 姓 名：买 买 提 江 .卡 热论文（设计）题目 : 求 解 对 流 扩 散 方 程 的 pade逼 近 格 式专 题： 毕业设计 要 求 完 成 的 内 容 ： 学 习 和 掌 握 一 维 对 流 扩 散 方 程 已 有 的 各种 差 分 格 式 的 基 础 上 ，对 流 扩 散 方 程 对对空间变量应用二阶中心差分格式离散，对时间变量应用 pade 逼近，构造基于 pade 逼近的扩散方程 数值格式，讨论稳定性，32Oh最后数值例子来验证。 发题日期：2011 年 12 月 25 日完成日期：2012 年 5 月 22 日实习实训单位： 地点： 论文页数： 20 页；
3、图纸张数： 8 指 导 教 师 ： 教研室主任： 院 长 ： 新疆大学学士学位论文摘要本文首先对对流扩散方程经典差分格式进行复习和讨论，然后对空间变量中心差分格式离散，所得到常微分方程组利用指数函数的Pade逼近格式得到截断误差为 的两层绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值结果32Oh与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解对流扩散方程的数值计算.关键词: 扩散方程；Pade逼近 ； 两层隐格式； Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite diff
4、erence for the convection diffusion equation secondly we apply central difference approximation of second order for discrediting spatial derivatives and pade approximation in time direction derived opal truncation error two level unconditional ball satiable implicit 32Ohscheme and discussed the stab
5、ility. Numerical experiments compared with Crank-Nicolson scheme. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving convection -diffusion equation.Keywords: convection -diffusion equation；pade approximation；two level implicit scheme； Crank-Nicolson method新疆大学学士学位论文目录1
6、 引言 .11.1 预备知识 .22.对流扩散方程的几种常见的差分格式 .42.1 中心显式差分方法及性质 .42.2 Leap-Frog/ Dufort-Frankel 差分方法及性质： .52.3 Crank- nicolson 型隐式差分方法及性质： .62.4 隐式迎风格式及性质 .73.本文差分格式的建立 .83.1 本文高精度紧致差分格式. . 8 3.2 稳定性分析 .94数值实验 .125结论 .22致谢 .23参考文献 .24新疆大学学士学位论文11.引言考虑简单的对流扩散方程， ， 其中为 常数， (1)2uutxxR0t,0对流扩散方程是一类在物理上有着重要意义的抛物型方
7、程，通常我们将对流方程和扩散方程的差分方法结合起来就可以得到对流扩散方程的差分方法，当极小时，方程反映对流方程的特征，当 极小时，方程反应扩散方程的特征,但另一方面，对流扩散方程也有其独特的特点，在自然科学中很多现象是用对流扩散方程或方程组描述的，一般方程的准确解很难得到的，因此大多数情况用数值方法求解。本文考虑采用差分格式进行求解。目前对该问题主要差分格式有中心显式差分格式, Dufort-Frankel 差分格式,Crank-Nicholson 格式等2，3 , 一些常用的数值解法将会遇到某些共有的困难，例如,计算出来的数值解具有较大的数值扩散或较大的非物理性振荡现象 4 因此研究对流扩散
8、问题的新的数值解法具有十分重要的意义。文5中用时间离散方法对对流扩散方程求解得到了空间方向具有7阶精度的差分格式,但是在时间方向具有2阶精度。本文中对对流扩散方程x方向应用二阶中心差分离散,t 方向保持变，得到对时间变量的常微分方程组，如果x方向分的越细.求解常微分方程组时出现刚性现象,为了避免刚性和有效的求解扩散方程本文用pade 逼近方法有效地求解该问题得到截断误差为 的两层绝对稳定的隐式差分格式，并讨论了稳定性，数值32Oh值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明,该方法是有效求解对流扩散方程的数值计算.本文分为三大部分，第一部分简单介绍对流扩散方程的经典差分格
9、式，第二部分主要介绍对流扩散方程的pade 逼近格式的构造和稳定性，第三部分给出具体的数值算例，结果与Crank-Nicolson 格式，准确值进行比较，最后给出结论新疆大学学士学位论文21.1预备知识利用下面的各种数值微分公式得到不同的差分格式，（2 )(0),(),(2),( ,(0, ),),(),( ,(0, ),2),(),( ,(0, 2211 211 211 hxuhtxutxutxu huhtxutxu hxtutxutxu kikikiki kikiki njnjnj jjj njnjnj jjj ）截断误差：一般说来，微分方程的解不会精确地满足差分方程。将差分方程中的各个项
10、同时用微分方程的解在相应点的值代入，利用泰勒展开，就会得到一个误差项，这个误差项就是截断误差。相容性：若时间步长 以及空间步长 同时趋于 ，截断误差 ，就h00njR说差分格式与微分方程是相容的。一个差分格式与一个微分方程相容，则表明当 时，差分算子与微分算子对任一光滑函数的作用是相同的，所以可用0,h相容的差分格式近似相应的微分方程，而截断误差则是对这一近似程度的一个度量。收敛性：考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解。如果当时间步长 以及空间步长 趋于 时， ，我们称差分h00),(njjnj utxe格式是收敛的，即时间步长 以及空间步长 趋于 时，差分格式的解逼近于微h0
11、分方程的解。稳定性：差分格式的计算是逐层计算的，计算第 层上的 时，要用1n1nj到第 层上计算出来的结果。计算 时的舍入误差，必然会影响到 的值，nnjuu从而就要分析这种误差传播的情况。因此，一个有实用价值的数值方法应该具有能够控制这种误差影响的性能，这就是数值方法的稳定性。精度：如果一个差分格式的截断误差 ，就说差分格式对时间)(pqhOE是 阶精度的，对空间 是 阶精度的。tqxp新疆大学学士学位论文3Lax 等价定理 ：给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，5则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件。定理1（von Neumann条件） 微分方程（1）的差分格式稳
12、定的必要条件是当 ， ,对所有 有0TnRk， MGj ),( pj,21其中 为增长因子（或增长矩阵） ， 表示 的特征值，),(kG),(kGj)(k为常数。M定理2 如果差分格式的增长矩阵 是正规矩阵，则 von Neumann 条,件是差分格式稳定的必要且充分条件。推论2.1 当 为实对称矩阵，酉矩阵，Hermite 矩阵时，von Neumann ),(k条件是差分格式稳定的充分必要条件。推论2.2 当 时，即 只有一个元素，则von Neumann 条件是差1p),(kG分格式稳定的充要条件。定理3 如果存在常数 使得0,K， ，k),( 0则差分格式是稳定的。新疆大学学士学位论文
13、42.对流扩散方程的几种常见的差分格式我们考虑如下对流扩散方程齐次边值问题(3) 2,0(,0)(,)0,uuaxbtTtxfabttT下面我们讨论（3）各种常见的经典差分格式的构造和稳定性2.1 中心显式差分方法及性质111122nnnnjjjjjjjuuuhh（4）其中 为常数，易知该格式的截断误差为 。, )(2O如果 那么式（1）就是对流方程的一个差分格式。我们知道这是一个0不稳定的差分格式。下面对于 用 Fourier 方法讨论该格式的稳定性。 0若令 ， 那么差分格式可以改写为2,rh(5)2()(11111 njjnjnjjnjj uuru 求出这个差分格式的增长因子,si)co
14、s(2),( khrkhkG其模的平方为).cos1()cs1(4)cos1( in, 222 krkkh由于 ，所以 （此时差分格式稳定）的充分条件为0cos1kh,(,0)s()s422 hr注意到 ，所以上面不等式满足的条件为1,)s(2,4,04)8( 222rrr由此可得到差分格式的稳定性限制为 221,h新疆大学学士学位论文5说明中心显式差分方法是条件稳定的。2.2 Leap-Frog/ Dufort-Frankel 差分方法及性质1 11 1222nnnnjjjjjjjjuuuuhh （6）其中 为常数。,载断 分析： 为对流扩散方程的充分光滑解，那么),(txu 2(,),)(
15、,)(,)(,)(,)(,)22jnjnjnjnjnjnjnjnjuxt htuxtxhtutxtuhtT h 2 422().jjj jOt 由此看出，兼容性要求当 ，有 ，此时，其裁断误差为 0h )(2hO稳定性分析 令 则差分格式（2） 可改写成,rvh1111 ,)( njnjnjnj jjjjjjjj uvurvurvu由于这个格式是三层格式，由此我们化成与其等价的二层差分方程组 111 njnjnjnj r设 njjjvu, njnj njnjnjjv ururv1 111把上面的方程组写成向量形式 njnjnjnj UrvUrv 111 0000 令 并将它代入上式得到ikjhnjeVU ikhnmikhnn eVrvVeVrvv 0010101由此得增长因子
