1、浅谈中学数学中的函数与方程思想1浅谈中学数学中的函数与方程思想摘 要 本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项 式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等 难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教 师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议.关键词 函数思想 方程思想 应用 培养浅谈中学数学中的函数与方程思想2Discuss the function and equations fo
2、r middleschool mathematics thoughtsAbstact This paper describes the function equation of thought and thought the concept of conversion between the two and in the conversion to note some problems.A typical example with clear thinking with functions and equations can easily solve the mathematics of in
3、equalities, series, binomial theorem, trigonometric functions, plane vectors, analytic geometry, solid geometry, probability and statistics, derivatives, and other difficult to break through the practical problems part, and it is also used in other subject areas. Combined with middle school mathemat
4、ics teaching, teachers should make students interested in teaching function and the equation of thought, and the feasibility of the recommendations given in detail.Key words function thought Equation thought Application Training浅谈中学数学中的函数与方程思想3目 录一、前言5二、正文61、函数与方程思想的概念62、函数与方程思想的应用73、如何在中学教学中培养学生函数与
5、方程的思想18三、结束语20四、结论21五、参考文献22浅谈中学数学中的函数与方程思想4前 言数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的一门学科，通过抽象化和逻辑推理的使用，从计数、计算、量度和 对物体形状及运动 的观察中产生.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识.只有通过数学思想的培养，人的数学能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓.在中学数学中常用的数学思想方法主要有:函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、分类讨论 的思想等.而函数与方程思想是中学数
6、学中最基本、最重要的数学思想.应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现学生的能力水平，是考查创新 实践能力的良好载体.俗话说得好“ 授之以鱼，不如授之以渔”,一个学生 仅仅学习 了函数与方程的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题.函数与方程思想的教学，既有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义.在我国古代数学中虽然没有明确地提出函数的概念,但函数的思想在现今发现的我国最早的数学著作算数书就有所体现.譬如“ 增减分” 描述的就是正比例函数与反比例函数的单调性,虽然不够完整,但对于以常量计算为主的中国古代数学来说,这是非常难能可贵的.
7、解析几何中的一个重要思想是将方程中的未知数看作“变数”, 让方程中的未知数取不同的数值最早体现在“不定方程” 的研究中.一般 认为,数学史上第一个对不定方程进行广泛深入研究的是公元 3 世纪的古希腊数学家丢番图,而在公元前 1 世纪成书的中国数学典籍九章算术中,对不定方程就进行了比较广泛的讨论.目前函数与方程内容丰富，应用广泛.在历年高考试题中对函数与方程及其思想方法的考查遍布于代数、三角、几何以及各类题型的 题目中，函数与方程的 实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系.而目前，人们对它的研究涉及的方面比较零散单一，只注重了其在数学方面各种题型的应用，但函数与方程思想还应用到了其它
8、学科知识中.除此以外，随着数学教学改革的深入，教师应该在日常的教学中注重培养学生函数与方程思想这一方面的能力.浅谈中学数学中的函数与方程思想5正文1 函数与方程思想的概念1.1 函数思想即用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画因此，函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系1.2 方程思想从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组） ，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解1.3 函数
9、与方程思想的相互转化很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题宇宙世界，充斥着等式和不等式我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)y0，可以说，函数的研究离不开方程列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程
10、思想时需要重点考虑的方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维
11、浅谈中学数学中的函数与方程思想61.4 在运用函数与方程思想解题时应注意的问题.（1）要重视基础知识和基本技能的培养和训练,深刻理解集合、函数、反函数的有关概念.（2）要能熟练讨论函数性质(如单调性、奇偶性、周期性、极值等),掌握函数图像特征的分析(如范围、截距、凹凸性、渐近线、变化趋势等),函数图像的变换(平移变换对称变换、伸缩变换等),特别是要掌握与研究函数性质有关的数学知识(如向量的平移、函数的导数等).（3）要能将函数、方程、不等式有机结合起来,互相转化.能用集合的语言加以表述,用参数的工具来体现运动变化,用高等数学的观点来指导问题的解决.（4）要能充分运用数学建模的思想,从数学的角度
12、发现问题、提出问题、进行探索与研究,培养实践能力和创新意识.（5）函数与方程思想和化归、数形结合、分类讨论、归纳、特殊化等数学思想同样有着密不可分的关系2 函数与方程思想的应用 2.1 函数和方程是密切相关的，可相互转换方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图像与 x 轴交点的横坐标，函数 yf(x)也可以看作二元方程 yf(x)0它们之间的这种关系为我们解决方程与函数问题提供了思路一方面，对于有些方程问题，可以用变量的观点，将其转化为函数问题，利用函数性质来解决；另一方面，也可将函数问题转化为方程问题，利用方程性质或通过解方程来解决例 1. 若关于 x 的方程中 有实数解，求实数 a
13、的取值范围.4210xa分析:处理此问题可以有两种方法:一是从“原方程有解”出发，进行等价转换，从而求出 a 的取值范围;二是将已知方程变形转化，将 a 作为 t 的函数，把求 a 的取值范围转化为求函数值域的问题.解法一:令 ，(tO).则原方程即为 (*).2xt210t当方程（*）的根都在(0， )上时，可得下式:解得12410at 21aa或即 -浅谈中学数学中的函数与方程思想7当方程(*)的一个根在(o， )上，另一个根在( ，0上时，若令 ，则有21ftat0-012af且 即由可得实数 a 的取值范围是 2解法二:令xt(t0)，则原方程即为 0ta所以 2112t即 2a评析：
14、解法一运用方程中根与系数的关系及分类思想，求解过程较烦而解法二采用分离参数法，构造函数，运用均值不等式求出 a 的取值范围解法简单且容易操作例 2已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a 且不等式 f(x)-2x 的解集为(1,3),若方程 f(x)+6a=0 有两个相等实根，求 f(x)的解析式分析：此题若能把二次不等式的解集转化为二次函数的问题即可获解解：f(x)-2x 的解集为（1，3） 即 f(x)+2x0 的解集为（1，3）f(x)+2x=a(x-1)（x-3）且 a0 得 又 1ABCSabc所以 32评析：此题若直接去求三角形的面积有难度，利用一元二次方程根与系数的关系构造方程很
15、容易证明例 2.已知二次函数 设方程 f(x)=x 的两个实数21,0fxabRa根为 如果 设函数 f(x)的对称轴为 求证 .1,2x124x01x证明：设 则 的二根为 和 2gf xg2由 a0 及 可得 即1x()40+21643ba即 3024ba+得 112ba0x评析：此题利用了“二次方程根的分布问题” ，使问题迎刃而解浅谈中学数学中的函数与方程思想9小结：设 ， 是实系数二次方程 的两根，根的分布对1x2 20axbca照图象，知其等价不等式组的关系是：2yabc 若 ，则1x2m02fba 若 则 12x0fbma 若 则 12m0f 若 则 1212,x1212fbma
16、若 ， 有且只有一个在 内，则 1x2,120fm2.3 数列是一种特殊的函数，可运用函数与方程思想求解问题它可以看作是自变量依次取正整数，图像为一群孤立点的函数所以在解有关数列的问题时，应注重将其与函数有关的知识结合在一起，注重函数与方程思想方法的运用与渗透等差数列的函数化分析：等差数列函数中 令 A= ,B= ,则21 1ndSanan2d1a=A +Bn.当 A0(d0) 时， 是关于 n 的二次式，即（n, ）在二次函数nS2 n nS的图像上，因此，当 d0 时，数列 图像是抛物线yAxB 12,3.nss上一群孤立点2等比数列的函数化分析：浅谈中学数学中的函数与方程思想10由于等比
17、数列的通项公式 可以整理为 ，因此等比数列 1naq1naqna即 中各项所表示的点 离散的分布在第一象限或第四象限，其中1naq,k并且这些点都在函数 的图像上k()xyqR例 1.(2005 年江苏卷第 23 题)设数列 的前 n 项和为 Sn,已知 =1, =6, na1a2=11,且(5n-8) -(5n+2) =An+B, n=1,2,3,其中 A,B 为常数.3a1nSnS()求 A 与 B 的值.()证明数列 为等差数列.na()证明不等式 对任何正整数 m、n 都成立.51mna解析:()由 =1, =6, =11,得 =1, =7, =18.123S23S把 n =1,2 分
18、别代入(5n-8) - (5n+2) = ,得1nnAB84AB解得, A =-20, B =-8.()由()知,5n( )-8 -2 =-20n-8,即1nS1nnS5n -8 -2 =-20n-8, 1na又 5(n+1) -8 -2 =-20(n+1)-8. 22n1n-得:5(n+1) -5n -8 -2 =-20,a21na即(5n-3) -(5n+2) =-20. 2n1n又(5n+2) -(5n+7) =-20 32-得:(5n+2)( ) =0,1nn=032aa =5, 又 =5,32132.nna21a因此,数列an是首项为 1,公差为 5 的等差数列.()不妨设 mn,则可设左边= f(m,n)= 036454mn= 是关于 m 的一次函数且单调递增20365454mn,gn
