1、毕 业 论 文 （ 设 计 ）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用姓 名 刘洁 学 号 11111022015 院 系 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2011 级 2班 指导教师 王永忠 年 月 日目 录摘 要 .1ABSTRACT.2第 1 章 引言 .31.1 研究背景及意义 .3第 2 章 二次型 .42.1 二次型. 42.3 正定二次型与正定矩阵. 4第 3 章 正定二次型的判定及应用 .73.1 正定二次型的判别方法 .73.2 正定二次型在实际中的应用.15 第 4 章 结论.18参考文献.19致 谢.20新乡学院本科毕业论文（设计）0摘 要在二次型中，
2、正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；新乡学院本科毕业论文（设计）1ABSTRACTIn the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequa
3、lities proving and extreme problems.Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant新乡学院本科毕业论文（设计）2第 1 章 引言1.1 研究背景及意义在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题. 二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔
4、维斯特回答了这个问题，他给出了 n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801 年，高斯在算术研究中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值.它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二之间具有一一对应关系.目前有钱志森和林文生先生在做正定
5、二次型在许多实际应用和理论研究中有很大的实用机制的研究。在物理中曹璞证明了正定二次型的重要意义.而王双进等人用二次型判断晶体相对稳定性做出了重要研究。牛滨花的等人在地震波的场方程矩阵和能量的正定二次型及其意义运用矩阵的正定二次型理论阐述了“能量矩阵与弹性矩阵”之间一致的对称性和正定性。能量矩阵蕴含的动态力的平衡关系，速度的时间，空间分布和能量的传播及变化的物理意义，能够从能量矩阵的正定二次型特性表示出来.二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 在大学学习期间发现，教材中有关二次型正定性的内
6、容不尽完善，而它的应用却越来越广泛，许多问题的解决都可归纳为二次型问题。因此有关正定二次型的研究和学习就显得尤为重要。新乡学院本科毕业论文（设计）3第 2 章二次型2.1 二次型定义 2.1.1 设 是一个数域， ， 个文字 , ,， 的二次齐次多项pijapn1x2nx式 2 212112131(,) nn ijifxaxaxxax 称为数域上 的一个 元二次型，简称二次型.当 为实,.,jiaijpnij数时， 称为实二次型.当 为复数时,称 为复二次型.如果二次型中只含fijaf有文字的平方项，即 = 称 为标准型.12(,.)nfx221ndxdxf定义 2.1.2 在实数域上，任意一
7、个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性 ,其中正平方项的个数 称为 的正惯22211zzzprpf性指数，负平方项的个数称为的 负惯性指数.f定义 2.1.3 阶矩阵 的 个行标和列标相同的子式n)(ijaAk )1(2212212 niiaakiii iii kkk k 称为 的一个 阶主子式.而子式Ak ),21(|212112nkaaAkk 称为 的 阶顺序主子式.Ak2.2 正定二次型与正定矩阵定义 2.2.1 设 = 是 元实二次型（ 为实对称矩阵） ，如12(,.)nfxTxAA新乡学院本科毕业论文（设计）4果对任意不全为零的实数 都有 ，则称 为正定二次型,称12,.nc
8、12(,.)0nfcf为正定矩阵；如果 ，则称 为半正定二次型，称 为半正定A()0fA矩阵;如果 ，则称 为负定二次型，称 为负定矩阵;如果12(,.)nfcf，称 为半负定二次型，称 为半负定矩阵；既不是正定又不12(,.)0nff A是负定实二次型称为不定的二次型，称 为不定矩阵.注：判定正定矩阵的前提是该矩阵必须为对称矩阵。正定矩阵的充要条件：(1)n 元实二次型 正定 它的正惯性指数为 n;1,nfx (2)一个实对称矩阵 A 正定 A 与 E 合同，即 可逆矩阵 C，使得 A= ;T(3)实二次型 = 是正定的 A 的顺序主子式1,nfx 1nTijiaxX全大于零;(4)一个实对
9、称矩阵 A 正定 A 的特征值全大于零;(5)一个实对称矩阵 A 正定 A 的主子式全大于零;(6)A，B 是实对称矩阵，则 正定 A，B 均正定;0C(7)A 实对称矩阵，A 正定 正定矩阵 B，使得 A= ， （k 为任意正整数）正定矩阵的这些性质，可以用来判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。二次型化为标准形通常有两种方法：1）配方法再通过非退化线性变化化为标准形；2）用相应矩阵的特征值、特征向量，再将该矩阵化为标准形；3）合同矩阵.例 1 22231313(,)fxxx解： 的矩阵为 A=123(,)f 0新乡学院本科毕业论文（设计）5以下为合同变换过程：12021*() 102*(1) 0
10、13*(1) 1010011231*() 23*(1) 032*(1) 0011103210因此 D= ，C=03120令 X=CY，得 =12(,)fx2213y新乡学院本科毕业论文（设计）6第 3 章 正定二次型的判定及应用3.1 正定二次型的判定定理 3.1.1 实二次型 是正定二次型的充要条)(),(21 AXxfn件是 的规范形为f 2221, nnyyxf 定理 3.1.2 实二次型 是正定二次型的充要条)(),(xf 件是它的正惯性指数等于 证明 设实二次型 经线形替换 化为标准形AXxfn),(21 PY22nydyd )1(其中 由于 为可逆矩阵 所以 不全为零时.,21,n
11、iRdip,x,21也不全为零 反之亦然. ny,21如果 是正定二次型 那么当 不全为零 即 不全)(f,nx,21 ,ny,21为零时 有 ,0221nydydf )(若有某个 比方说 则对 这组不),1(nii.0n 1,0121 nny全为零的数 代入 式后得 这与 是正定二次型矛盾 因此 必有,ff.即 的正惯性指数等于)2.(0idi如果 的正惯性指数等于 则 于是当 不)f ,n),21(,0nidinx,21全为零 即当 不全为零时 式成立 从而 是正定型 ,ny,21 )2(,f定理 3.1.3 实二次型 是正定二次型的充要条)(,(1 AXxfn件是矩阵 与单位矩阵合同A定
12、理 3.1.4 实二次型 是正定二次型的充要条)(),(21fn件是矩阵 是实可逆矩阵T(新乡学院本科毕业论文（设计）7证明 实二次型 是正定二次型,则由定)()(),(21 AXxfn理 4 可知存在可逆矩阵 使得,CEA则 11)()(A令 则1CT,T若)(,则 )(),21 TXXAXxfn 令 TXY则 22121),( nn yyYf 所以 为正定二次型.定理 3.1.5 实二次型 是正定二次型的充要条件是)(),(21 AXxfn矩阵 的主子式全大于零 A证明 实二次型 是正定二次型,以 表)()(),(21fn kA示 的左上角 阶矩阵,下证 考虑以 为矩阵的二次型k ,(0kAkkAjijikxaxg121),(由于 所以当 不全为零时,)0,),(2121 kkfx kx,21由 正定二次型可知 从而 为正定二次型,故f ,0g.kA对二次型的元数 作数学归纳法)(n当 时 因为 所以 正定 假设 且对 元实二次1n,211xaf ,1f,1n型结论成立由于 用 乘 的第 1 列到第 列,再用 乘第 的第 1,011aiAi1aiA行到第 行 经此合同变换后 可变为以下的一个矩阵i),3,2(n,
