1、目 录摘 要 1关键词 1Abstract 1Keywords1前言 11 预备知识 .11.1 二次型定义 11.2 正定二次型定义 22 正定二次型的性质 23 正定二次型的应用 73.1 正定二次型在解决极值问题中的应用 73.2 正定二次型在分块矩阵中的应用. .83.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 93.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 103.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 113.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） 123.7 正定二次型在解线性方程组中的应用. .123.8 正定二次型在物 理力学问题中
2、的应用. .12结束语.13参考文献 .13正定二次型的性质及应用摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题 方面、解决多 项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic FormsAbstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examp
3、les, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al.Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence;elementary transformation；partit
4、ioned matrix. 前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.1 预备知识1.1 二次型定义设 是一数域，一个系数在数域 中的 的二次齐次多项式PPnx,.21+ nnn xaaxxaxf 2212121,
5、. 2nxa称为数域 上的一个 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型.1.2 正定二次型的定义定义 1 实二次型 称为正定的，如果对于任意一组不全为零nxf,.21的实数 都有 .nc,2 0c定义 2 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 正定.AAX2 正定二次型的性质性质 1 实二次型=nxf,.21 221nydyd是正定的当且仅当 .idi ,0证明 必要性.因为 = 是正定的，所以对nxf,.21 221nyy于任意的一组不全为零的实数 都有 .于是取一组不全c 0,.2cf为零的实数： （这里第 个为 1，其余 个为 0） ，有,0,0 i= .),1(f nidi ,充分性显
6、然.性质 2 元实二次型 是正定的充要条件是它的正惯性指数等nnxf,.21于 n.证明 设二次型 经过非退化实线性替换变成标准型nxf,.21. 221nydyd（1）上面的讨论表明， 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，nxf,.21二次型(4)是正定的当且仅当 ，即正惯性指数为 .idi ,0n性质 3 正定二次型 的规范形为nxf,.21，22nyy正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵 ，所以一个实对称矩阵是正定的当E且仅当它与单位矩阵合同.性质 4 实二次型. = ，正定的必要条件为nxf,.21AX 0A证明 有实二次型知 是一正定矩阵，因为 与单位矩阵合同，所以有可AA逆矩阵 使
7、C.CE两边取行列式，就有.02 A性质 5 实二次型 = 为正定的充分必要条件是 的特征值nxf,.21X A都是正数.性质 6 若 是正定矩阵，则 也是正定矩阵.A1A证明 如果 正定，则由性质 2 知 ，因而 可逆，且其存在可逆矩0阵 ,使 ，将等式两边取逆有 ，令 ，于是T1 T1)(TC，所以 也是正定矩阵.ECA1 1A性质 7 若 是正定矩阵，则对任意的实数 ， 也是正定矩阵.kA证明 因为 正定，所以对任意 维实向量 ，都有 ，若n0X0AX，则 ，故 为正定矩阵.0k0)()( AXkXk性质 8 若 是正定矩阵，则 的伴随矩阵 也是正定矩阵.*A证明 因为 正定，因而 ，且
8、有性质四知 也正定，而01A= ，又由性质 5 知 为正定矩阵*A1*A性质 9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.证明 若 正定，则 与单位矩阵 合同，若 也正定，则 也与 合同，EBE即 、 都与单位矩阵 合同，故 、 合同.BE反之，若 、 合同，且 正定，即 与单位矩阵 合同，所以 也与AAEB合同，故 也为正定的.E综上，结论成立.性质 10 若 、 为正定矩阵，则 也为正定矩阵.BB证明 因为 、 为正定矩阵，故 ， 为正定二次型，于是AAX = 也必为正定二次型，故 为正定矩阵.XA)(X性质 11 若 是正定矩阵，则对任意的正数 ， 也是正定矩阵.AkA证明 因为 正定，那么当 时，
9、 ， 为实可逆矩阵，所以 正定；mk2mmkA)(k当 时， ，因而 与 合同，有性质 7 知 为正1A k A定矩阵.所以无论哪种情况， 都正定.k性质 12 实二次型= ，nxf,.21injjixa1AX矩阵 的主对角线上的元素都大于零.A证明 因为 是正定矩阵，于是对任何 ， 021nxX恒有= ，nxf,.21 01 nijjixaAX其中 为 的元素，令),2,(njia（ 行）010IXi,2,1n那么 证毕. ,0 iiaAX,21n性质 13 实二次型=nijjixaxf121),( AX是正定的充分必要条件为矩阵 的顺序主子式全大于零.A证明 先证必要性.设二次型 nijj
10、ixaxf121),(是正定的.对于每个 ， ，令knnijjikk xaxf11),(我们来证 是一个 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数kf，有kc,1 0),(),( 111 knijjikk cfcacf因此 是正定的.由性质 4， 的矩阵行列式),(1kkxf kf.nakk ,1,011 这就证明了矩阵 的顺序主子式大于零.A再证充分性.对 作数学归纳法.n当 时，1，211)(xaf由条件 显然有 是正定的.01a)(1xf假设充分性的判断对于 元二次型已经成立，现在来证 元的情形.nn令， ，1,1,1nnaA na,1于是矩阵 可以分块写成.naA1既然 的顺序主子式
11、全大于零，当然 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的 级矩阵 使1A1nG,nEA这里 代表 级单位矩阵.令1nE,101C于是.nnaGEaAGAC111 00再令，102En有. aGEaGaGaECA nnnn 1111212 00令， ，21Can就有.aA1 两边取行列式，.AC2有条件， ，因此 .显然0A0a. aaa 1111 这就是说，矩阵 与单位矩阵合同，因之， 是正定矩阵，或者说，二次型AA是正定的.),(1kkxf根据归纳法原理，充分性得证.3 正定二次型的应用3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用定理 1 设 元实函数 在点 的一
12、个邻域中连续，且有足够nnxf,.210p高阶的连续偏导数，则函数 在点 近旁有性质：1) 若 正定，则 为极小点；AX 0p2) 若 负定，则 为极大点；3) 若 不定，则 非极大或极小点； 04) 其余情形时， 在 性质有待研究余项 的性质来确定.nxf,.210pR特别当 是二次函数时， =0 只要 半正（负）定，则nxf,.21 RAX为极小（大）点.0p例 1 求函数 的极值.)l(2yxz解 ,， .22lnyx 22)ln(yxxzy 解方程组 ，易得0yxz， ， ， （符号任意搭配） ，1yx0eyx21， ，2)(3xzx2)(3yxzy.242)()ln(zyx于是 ，经
13、计算得 正定；yxzA 0)21,()21,(A负定； 不定.故，在20)21,()21,(A 02)1,0(),1(A， 不取极值；在 点， 取极小值，,0z ),(),(eez；在 点， 取极大值， .ez21-极 小 )21,(),21,(eze21极 大3.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.例 2 设 ， 分别是 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 是否ABnm BAC0为正定矩阵.解 可证 是正定矩阵.C因为 ， 都是实对称矩阵，从而 也是实对称矩阵且任意的ABC，令0,XRnm， ，C 2121),(X21 BXA21x其中， ， ，且至少有一个是非零向量，于是mRX1n2. 21210)
14、,(B210故 是正定矩阵.C3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用例 3 设 次实系数多项式 的根为 ，令n)(xf nx,21， .knkkxS21 212110nnnSS证明 易证 ,这里 .TS1121nnxx 必要性 设 是 个互异实根，因为 是范德蒙行列式，所以nx,21 TT，即 是非奇异的.又因为 ,所以 与 合同，即 正定.0TTESSS充分性 设 是正定的，所以 ，那么 互异.S0ix若 中有非实数，例如 ，那么 的共轭数 也是 的根不妨nx,21 1x11)(xf设 .因为 是非奇异的.所以线性方程组2xT（2）njaxaxnjjn,301110 有唯一解 .
15、),(10na因为 是正定的，所以，作为二次型的 是正定的,由（2）式有S SYf.01),( aTSf这与 是正定即 是正定的矛盾，所以 中不能有非实数的复数，所f nx,21以 个根为互异的实根.nx的)(3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用例 4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程. 03268232 zyxzyx其中 .013),4(),( ABzyxX作平移代换,，),(,321 aaYX则有 0)()()( YBA即 32 aaaY令 32 aBA又因为 Ya ,所以 0)(2 BAY适当选取 ，使 ，由秩 知：aBA3秩（线性方程组）a有唯一解：.21,321
16、由 ，又因为 是可逆实对称阵，所以存在正交阵 使得29-,可 得BaAAT，321 T其中， ，215253为 的特征根.作正交线形替换 ,则A ),(,31 ZTZY.232213221 55ZZY 即，原方程可以化简为.23221 55Z3.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用众所周知线形方程组可 能 无 解021 22 121nsnsbxaxa 即任意一组 都可能使 不等于零，s21,.x i isiii bxay12)(我们设法找 使 最小，这样 称为方程组的最小解，这种0201,.s 020,.sx问题就叫最小二乘法问题.若记 为上述线性方程组的系数矩阵， ，于是使得 值最
17、A TnbB),(21y小的 一定是方程组 = 的解，而其系数矩阵 是一个正定矩阵，XX A它的惯性指数等于 ，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解.n3.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理 设 是 上的欧氏空间，那么 的内积与 阶正定矩阵是一一对应VRVn的.3.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.例 5 （1）用矩阵给出平面上 个点 共线的充分必要条件n),(iiyxP（2）设 是 阶满秩矩阵，试证， 是一个正定二次型，这AXA里 .nxX,1解 （1）设直线 ， 个点共线是指线性方程组（把 看成未知bkxynbk,量） nnybkx2211有解
18、，所以 个点 共线 所以方程组有解 n),(iiyxP.nnyxx1111秩秩 （2）设 是 阶满秩矩阵，令 ,其中 ，则AAXY ),(21nyY是非退化现行替换，且1)(YAX，221)( nyyYXA由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于 ，所以 是正)(XA定二次型.3.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.命题 设 是 阶正定矩阵， 是 阶实对矩阵，则存在 阶可逆矩阵 ，AnBnnS使得 ,其中 为对角阵.BSES,证明 因为 是正定矩阵，所以存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，令1SEA1显然
19、 仍为实对称矩阵，所以存在 阶正交矩阵 ，使得B1 n2.),(221 ndiagS取 ，则有S nESASA212121 )()()( BBS另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.结束语以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出 2 个定义，13 个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的 7 种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次型的部分应用.参考文献：1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版） M.北京：高等
20、教育出版社，2003.2郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引M.北京：科学出版社，2001. 3杨子胥.高等代数习题解（上下册）M.济南：山东科学技术出版社.4张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，1984. 5杨子胥.高等代数精选题解M.北京：高等教育出版社，2009. 5高等代数与解析几何(下) M 北京:高等教育出版社 ,20036高等代数与解析几何(上) M 北京:高等教育出版社 ,20037苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论M 上海:科学出版社 ,20069 Johns on CR，RAHonMatrix AnalysisMNew York：Cambridge University Press，1985
