1、二次函数的图象与基本性质（一） 、知识点回顾【知识点一：二次函数的基本性质】yax 2 y ax2k ya(xh) 2 ya( xh)2k yax 2bxc开口方向顶点对称轴最值增减性【知识点二：抛物线的图像与 a、b、c 关系】（1） a 决定抛物线的开口方向：a0，开口向 _ ；a0，图像与 y 轴的交点在_；c=0，图像与 y 轴的交点在_；c0，图像与 y 轴的交点在_；（3）a，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：_；（4）b 24ac 决定抛物线与_交点情况：b 24ac 轴 没 有 交 点与 轴 有 一 个 交 点与 轴 有 两 个 交 点与 x0【知识点三：二次函数的平
2、移】设 ，将二次函数 向右平移 m 个单位得到_；向左平移 m 个0,nm2ay单位得到_；向上平移 n 个单位得到_；向下平移 n 个单位得到_。简单总结为_，_。（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】二次函数 ，当 时，即变为一元二次方程)0(2acbxyy，从图象上来说，二次函数 的图象与 x 轴)(02cxa )0(2acbxy的交点的横坐标 x 的值就是方程 的根。)0(2acbx【知识点五：二次函数解析式的求法】（1） 知抛物线三点，可以选用一般式： ，把三点代入表达式列三元一cbxy2次方程组求解；（2） 知抛
3、物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式： ；其中khxay2)(抛物线顶点是 ；),(kh（3） 知抛物线与 x 轴的交点坐标为 可选用交点式：)0,(,21x，特别：此时抛物线的对称轴为直线)(21xay221x（二） 、感悟与实践例 1： （1）求二次函数 yx 24x1 的顶点坐标和对称轴.（2）已知二次函数 y2x 28x6，当_时，y 随 x 的增大而增大；当 x_时，y 有_值是_变式练习 1-1：二次函数 y x2mx 中，当 x3 时，函数值最大，求其最大值例 2：已知二次函数 的图象如图 1 所示，则有： )0(2acbxy（1）a _0,b_0 ,c_0（2）b 24a
4、c_0（3）a+b+c_0 （4）a-b+c_0 变式练习 2-1：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 2 所示，其对称轴 x=1，给出下列结果：b 24ac；abc 0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是 （ ）A、 B、 C、 D、变式练习 2-2：已知二次函数 2yx的图像如图 3所示，那么一次函数ybxc和反比例函数 ayx在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）C Dy-1 x图 1图 4x=18 6 4 2 2 4 6 843211234O图 2图 3A B例 3：（2012 广州）将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解
5、析式为（ ）Ay= x21 By=x 2+1 Cy =（x 1） 2 D y =（ x+1）变式练习 3-1：（2012 泰安）将抛物线 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A B 23()yx2()yxC D3例 4：二次函数 的部分图象如图 4 所示，则关于 x 的一元二次方程2yxk的一个解 ，另一个解 =（ ）20xk12xA、1 B、 C、 D、0变式练习 5-1：（2009 广州 25）如图 6，二次函数 2yxpq（ 0）的图象与x轴交于 AB、 两点，与 y轴交于点 (01)C， ， AB 的面积为 54（1）求该二次函数的关系式；二次
6、函数的性质的综合应用例 1. 已知抛物线 （或 ）yx12223yx图 4 图 6y xBAC O（1） 把它配方成 的形式；2()yaxhk（2） 写出抛物线的开口方向，顶点 的坐标、对称轴方程；M(3)求函数的最大值和最小值，并求出相应的自变量的值。(4)当-2x1 时，求函数 y的最值（4） 当 1x4 时，求函数 y 的取值范围；（6）求出与 轴交点 N 的坐标及与 轴的交点 P,Q 的坐标（点 P 在点 Q 的左边）yx（7）作出函数的大致图像（8 当 取何值时，函数值 y 随 增大而增大， 随 值的增大而减小；xxyx（9）图像过点 A（ ， ） 、 B（0， ） 、 C（6， ）
7、 、 D（4， ）比较 ， ， ，2123y12y3的大小4y（10）观察图象，当 取何值时， ；xyy0， ，（11）当 x 取何值时，y2; （12）求PQM 的面积。（13）求四边形 PQMN 的面积例 2.已知抛物线 ，根据下列条件，求 k 的值。22yxk(1) 抛物线过原点；(2) 顶点在 x 轴上；(3) 顶点在 y 轴上；(4) 顶点在 y 轴左侧；(5) 当 x=1 时，函数有最小值；(6) 关于直线 x=-1 对称；(7) 函数 y 的值恒大于 0；(8) 顶点在 x 轴上方；(9) 抛物线在 x 轴上截得的线段长为 1；8.如图，抛物线 cbxy2与 x轴交与 A(1,0
8、),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y轴与 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC的面积最大？，若存在，求出点 P的坐标及 PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.ABC二次函数应用题归类【基本思想】一、转化思想实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题。1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内
9、的等式，转化为函数解析式，求最值问题。二、建模思想从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。三、运动思想图像上的动点问题及几何图形的形状的确定。四、分类讨论的思想二次函数与其他知识的综合题时经常用到。【最值的确定方法】1二次函数在没有范围条件下的最值：二次函数的一般式 ( )化成顶点式 ，如果自变量cbxay20a224()bacyax的取值范围是全体实数，那么函数在顶点
10、处取得最大值（或最小值） 2二次函数在有范围条件下的最值：如果自变量的取值范围 ，如果顶点在自变量的取值范围 内，则当21x 21x， ，如果顶点不在范围，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性2bxa24acby值2014 年中考第 23题分类汇总分析一、分段函数型1.【四月调考】某商品的进价为每件 40元，如果售价为每件 50元，每个月可卖出 210件；如果售价超过 50元但不超过 80元，每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 1件；如果售价超过 80元后，若再涨价，则每涨 1元每月少卖 3件.设每件商品的售价为 x元，每个月的销售量为 y件.（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的
11、取值范围；（2）设每月的销售利润为 W，请直接写出与的函数关系式；（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？二、与不等式结合型2.【2009 四月调考】某商场将进货价为 30元的书包以 40元售出，平均每月能售出 600个。调查表明：这种书包的售价每上涨 1元，其销售量就减少 10个。（1）请写出每月售出书包的利润 y（元）与每个书包涨价 x（元）间的函数关系式；（2）设某月的利润为 10000元，此利润是否为该月的最大利润，请说明理由；（3）请分析并回答售价在什么范围内商家获得的月利润不低于 6000元?3.某商品的进价为每件 40元，售价为每件 60元时
12、，每个月可卖出 100件；如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 2件设每件商品的售价为 x元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y元（1）求 y与 x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的范围是是多少时，使得每件商品的利润率不超过 80%且每个月的利润不低于2250元？园园园18园三、前期投入，亏损、盈利型4.【2011 年四月】杰瑞公司成立之初投资 1500万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本 60元。按规定，该产品售价不得低于 100元/件且不得超过 180元
13、/件，该产品销售量 （万件）与产品售价 （元）之间的函数关系yx如图所示。(1)求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；yx(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达 1340万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。四、面积有关问题5.【2010 年中考】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30米的篱笆围成。已知墙长为 18米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x米。（1）若平行于墙的一边
14、长为 y米，直接写出 y与 x的函数关系式及其自变量 x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于 88平方米时，试结合函数图象，直接写出 x的取值范围。Rrxy销 售 量 /千 克 单 价 /元240664o五、二次函数与建模(高频型)6.2015 调考要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根 2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m处达到最高，高度为 3m(1)建立适当的平面直角坐标系 ，使水管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出
15、此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围） ；(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为 0.3 m，最内轨道的半径为 r m，其上每 0.3 m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当 r为多少时池中安装的地漏的个数最多？六、细节变化、陷阱题 9.中百超市每天购进一种水产品 300千克，其进货成本（含运输费）是每千克 3元，根据超市规定，这种水产品只能当天销售，并且每千克的售价不能超过 10元，一天内没有销售完的水产品只能按 2元处理给食品深加工公司，而且这种水产品每
16、天的损耗率是 10%，根据市场调查这种水产品每天在市场上的销售量 y(单位：千克， y0）与每千克的销售价x(元)之间的函数关系如下图所示：（1）求出每天销售量 y与每千克销售价 x之间的函数关系式；（2）根据题中的分析：每天销售利润 w最多是多少元？（3）请你直接回答：当每千克销售价为多少元时，每天的销售利润不低于 960元？【巩固练习】A 组：1. 二次函数 y=x2-2x-6 的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；2、抛物线24myx与 x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则它与 x 轴的另一个交点的坐标是_3、二次函数 y= 2 的图像的对称轴是直线_. (1)4、抛物线 y2
17、 bx3 的对称轴是直线 x1，则 b 的值为_；若抛物线 y=x形状与它一样，则 a=_()axhm5抛物线 的顶点坐标是（ ）)(2yA （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3）6 二次函数 (1)x的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 37抛物线 （ 是常数）的顶点坐标是（ ）2()yxmn，A B C D， ()， ()mn， ()n，8、若抛物线 +c的图像经过点 P(m,m),则此抛物线也经过点（ ）2yaxA(-m,n) B(m,-n) C(n,m) D(-n,m)9、二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）2365yxA B C D(18)， ()， (12)，
18、(14)，10、二次函数 2yx的图象上最低点的坐标是A(-1，-2) B(1，-2) C(-1，2) D (1 ， 2)11、若把代数式 化为 的形式，其中 为常数，则 =232xmk,mkk.12、已知 、 是抛物线 上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，24y则点 、 的坐标可能是_ （写出一对即可）AB13、函数 )32(xy，当 为 时，函数的最大值是 ；14、若二次函数 的最大值为 49，则常数 _m；212mxB 组： 1.向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间
19、的高度是最高的？()A. 第 8 秒 B. 第 10 秒 C. 第 12 秒 D. 第 15 秒 。2 抛物线 的对称轴是直线（ ）(1)3(0)yaxaA B C D3x3x3 函数 取得最大值时， _(2)4、已知二次函数 cbaxy2若 ，则其图象与 轴的位置关系是 （ 0a）A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定5.(2010台州)如图，点 A，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧） ，点nmxay2(C 的横坐标最小值为 ，则点 D 的横坐标最大值为( )3A3 B1
20、C5 D8 第 第 7 题图第 6 题图yxO第 5 题图DC B(4,)A(1,4)6.如图，两条抛物线 、 与分别经过点 , 且平行121xy12xy02于 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为_y7.(2010株洲）已知二次函数 （ 为常数） ，当 取不同的值时，其aaa图象构成一个“抛物线系” 下图分别是当 ， ， ， 时二次函数的图1012象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .y二次函数应用题练习1.九五股份有限公司在汉口北投资新建了一商场，黄有商铺 30间，据预测，当每间的年租金为 10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加 5000元，少租出商铺一间，该公司要为租出的
21、商铺每年交各种费用 1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000元。（1）当租金为 13万元时，能租出多少间商铺？（2）当每间商铺的年租金定为多少时，该公司的年收益最大？（3）若公司要求收益不低于 275万元，则年租金定在什么范围？2.一种进价为每件 20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价x（元）之间的关系： 设经销商每月获得利润为 w（元）105yx（1） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？（2）如果经销商想要每月获得 2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32元，如果经
22、销商想要每月获得的利润不低于 2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3.如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面 1米的处飞出（在轴上） ，运动员乙在距点 6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约 4米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取 ）734（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取 ）5624.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每
23、天也有一定数量的蟹死去假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克 30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1元，但是，放养一天需支出各种费用为 400元，且平均每天还有 10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20元(1)设 x天后每千克活蟹的市场价为 p元，写出 p关于 x的函数关系式；(2)如果放养 x天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg蟹的销售总额为 Q元，写出 Q关于 x的函数关系式(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q收购总额)？5. 随着绿城南宁
24、近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量 成正比例关系，如图 12-所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系，如图 12-所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式；（2）如果这位专业户以 8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？6. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱 的长度
25、；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？说明你的理由7. 已知边长为 4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB上求一点 P，使矩形 PNDM有最大面积。0.5图 HG图7FEDCBA8.用 19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD 长表示窗框的宽，EF=0.5 米(铝合金条的宽度忽略不计)（1）求窗框的透光面积 S（平方米）与窗框的宽 x（米）之间的函数关系式；（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（3）当窗框的面积不小于 10平方米时，试结合函数图象，直接写出 x的取值范围
