1、第 1 页（共 20 页）2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知复数 z=1+2i，则 z =（ ）A3 4i B5+4i C3 D52 （5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|x | 2，则 AB=（ ）Ax |2x2 B x|2x3 Cx|1 x3 Dx|1x23 （5 分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等设 A，B 为两个同高的几何体，p：A ，B 的体积相等，q：A ，B 在等高处的截
2、面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）直线 x3y+3=0 与圆（x1） 2+（y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ）A B C4 D35 （5 分）下列命题中错误的是（ ）A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，平面 内不存在与 a 平行的直线B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6 （5 分）已知数列a n满足 an+1an=2，a 1=5，则|a 1|+
3、|a2|+|a6|=（ ）A9 B15 C18 D307 （5 分）在平面内的动点（x ，y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （，4 C4，+） D2，28 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）第 2 页（共 20 页）A4 B8 C D9 （5 分）函数 y= 的大致图象是（ ）A B C D10 （5 分）若关于 x 的方程 2sin（2x+ ）=m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ）A （1 ， ） B0，2 C1，2） D1， 11 （5 分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）第 3 页（共 20 页）A
4、 B C D12 （5 分）对x（0， ） ，8 xlog ax+1 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ， ） B （0， C ，1） D ，1）二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 14 （5 分）已知函数 f（ x）=e xsinx，则 f（0）= 15 （5 分）等比数列a n中各项均为正数，S n 是其前 n 项和，且满足2S3=8a1+3a2， a4=16，则 S4= 16 （5 分）过双曲线 =1（a
5、b0）的左焦点 F1 作斜率为 1 的直线，分别与渐近线相交于 A，B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 三、解答题（本题共 70 分）17 （12 分）已知点 ，Q （cosx ，sinx ） ， O 为坐标原点，函数（1）求函数 f（x）的解析式及最小正周期；（2）若 A 为ABC 的内角，f（A）=4，BC=3 ，ABC 的面积为 ，求ABC的周长18 （12 分）某手机厂商推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90
6、，100第 4 页（共 20 页）频数 20 40 80 50 10男性用户分值区间50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100频数 45 75 90 60 30（）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可） ；（）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，再从这20 名用户中满足评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2 名用户评分都小于 90 分的概率19 （12 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，PA 底面ABCD，AD=AP=2，AB=2 ，E 为棱 P
7、D 的中点（）证明：PD平面 ABE；（）求三棱锥 CPBD 外接球的体积20 （12 分）已知函数 f（ x）=ax lnx（1）过原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+） ，不等式 f（x）a （2x x2） ，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 20 页）21 （12 分）已知椭圆 C： ，F 1， F2 分别是其左、右焦点，以F1F2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求线段
8、AB 长的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）若曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1 上点 P 的极角为，Q 为曲线 C2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，函数 f（x）= |x+a|+|2xb|的最小值为 1（1）求证：2a+b=2；（2）若 a
9、+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值第 6 页（共 20 页）2017 年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知复数 z=1+2i，则 z =（ ）A3 4i B5+4i C3 D5【解答】解：z =（1+2i） （12i ）=1 2+22=5故选：D2 （5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|x | 2，则 AB=（ ）Ax |2x2 B x|2x3 Cx|1 x3 Dx|1x2【解答】解：集合 A=x|x22x30=x |1x 3 ，B=x|x|2 =x|2x 2故选：D3 （
10、5 分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等设 A，B 为两个同高的几何体，p：A ，B 的体积相等，q：A ，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：由 qp，反之不成立p 是 q 的必要不充分条件故选：B4 （5 分）直线 x3y+3=0 与圆（x1） 2+（y 3） 2=10 相交所得弦长为（ ）第 7 页（共 20 页）A B C4 D3【解答】解：圆（x1） 2+（y 3） 2=1
11、0 的圆心坐标为（ 1，3） ，半径 r= ，圆心到直线 x3y+3=0 的距离 d= = ，故弦 AB=2 = ，故选 A5 （5 分）下列命题中错误的是（ ）A如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，平面 内不存在与 a 平行的直线B如果平面 平面 ，平面 平面 ， =l，那么直线 l平面 C如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【解答】解：如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ，则 a 与 相交，则 内不存在与 a 平行的直线，故 A 正确；如图： ，=a， ，=b，=l，在 内取一点 P，过 P 作 PAa 于
12、 A，作 PBb 于 B，由面面垂直的性质可得PAl，PBl，则 l，故 B 正确；如果平面 平面 ，那么平面 内的直线与平面 有三种位置关系：平行、相交、异面，故 C 错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故 D 正确故选：C第 8 页（共 20 页）6 （5 分）已知数列a n满足 an+1an=2，a 1=5，则|a 1|+|a2|+|a6|=（ ）A9 B15 C18 D30【解答】解：a n+1an=2，a 1=5，数列a n是公差为 2 的等差数列a n=5+2（n 1）=2n 7数列a n的前 n 项和 Sn= =n26n令 an=2n70，解得 n
13、3 时，|a n|=ann4 时，|a n|=an则|a 1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=62662（3 263）=18故选：C7 （5 分）在平面内的动点（x ，y）满足不等式 ，则 z=2x+y 的取值范围是（ ）A （ ，+） B （，4 C4，+） D2，2【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知，z=2x+y 的取值范围是（，+） 故选：A8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）第 9 页（共 20 页）A4 B8 C D【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为
14、2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为 2，所以几何体的体积是： = 故选 D9 （5 分）函数 y= 的大致图象是（ ）A B C D【解答】解：由函数定义域排除 A，函数的值域可知 x0 时，y0，当x0 时，y0，排除 C， D故选：B10 （5 分）若关于 x 的方程 2sin（2x+ ）=m 在 0， 上有两个不等实根，则 m 的取值范围是（ ）第 10 页（共 20 页）A （1 ， ） B0，2 C1，2） D1， 【解答】解：方程 2sin（2x+ ）=m 可化为sin（ 2x+ ）= ，当 x0， 时，2x + ， ，画出函数 y=f（x）=sin（2x + ）在
15、 x0， 上的图象如图所示；根据方程 2sin（2x+ ）=m 在0， 上有两个不等实根，得 11m 2m 的取值范围是1，2） 故选：C11 （5 分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）第 11 页（共 20 页）A B C D【解答】解：输入 a=1，b=2 ，m= ，f（1）=10，f （m ）=f（ 0，f（1）f（m）0，a=1，b= ，|1 |= ，m= ，f（1）=1，f（m）=f （ ）0 ，f（1）f（m）0，a= ，b= ，| |= ，m= ，f（a）=f（ ）0 ，f（m）=f（ ）0，f （a）f（m）0，a= ，b= ，| |= 0.2 ，退出循环，输出 m=
16、 ，故选：A12 （5 分）对x（0， ） ，8 xlog ax+1 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ， ） B （0， C ，1） D ，1）【解答】解：a（0，1 ）（1 ，+） ，当 0x 时，函数 y=8x1 的图象如下图所示：对任意 x（ 0， ） ，总有 8xlog ax+1 恒成立，第 12 页（共 20 页）则 y=logax 的图象恒在 y=8x1 的图象的上方（如图中虚线所示）y=log ax 的图象与 y=8x1 的图象交于（ ，1）点时，a= ，故虚线所示的 y=logax 的图象对应的底数 a 应满足 a 1故选：C二、填空题（本小题共 4 小题，每小
17、题 5 分，共 20 分）13 （5 分）某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 95 【解答】解：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，则 9250=9030+20x，解得：x=95，故答案为：9514 （5 分）已知函数 f（ x）=e xsinx，则 f（0）= 1 【解答】解：根据题意，函数 f（x ）=e xsinx，其导数 f（x） =（e x）sinx+e x（sinx）=e xsinx+excosx，则 f（0）=e 0sin0+e0cos0=1；故答案为：115 （5 分）
18、等比数列a n中各项均为正数，S n 是其前 n 项和，且满足2S3=8a1+3a2， a4=16，则 S4= 30 【解答】解：设等比数列a n的公比为 q0，2S 3=8a1+3a2，a 4=16，2a 1（ 1+q+q2）=a 1（8+3q） ， =16，解得 a1=q=2则 S4= =30故答案为：30第 13 页（共 20 页）16 （5 分）过双曲线 =1（ab0）的左焦点 F1 作斜率为 1 的直线，分别与渐近线相交于 A，B 两点，若 = ，则双曲线的离心率为 【解答】解：设 F1（c，0） ，则过 F1 作斜率为 1 的直线为：y=x +c，而渐近线的方程是：y= x，由 得
19、：A（ ， ） ，由 得，B（ ， ） ，若 = ，可得 A 为 F1B 的中点，可得c =2 ，化为 b=3a，c= = a，e= = 故答案为 三、解答题（本题共 70 分）17 （12 分）已知点 ，Q （cosx ，sinx ） ， O 为坐标原点，函数（1）求函数 f（x）的解析式及最小正周期；（2）若 A 为ABC 的内角，f（A）=4，BC=3 ，ABC 的面积为 ，求ABC的周长【解答】解：（1） ， = =42sin（x + ） ，f（x）的最小正周期为 2； （6 分）第 14 页（共 20 页）（2）因为 f（A ）=4 ，所 ，因为 0A，所以 ，因为 ，所以 bc=3
20、，根据余弦定理 ，所以 ，即三角形的周长为 （12 分）18 （12 分）某手机厂商推出一款 6 寸大屏手机，现对 500 名该手机使用者（200 名女性，300 名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100频数 20 40 80 50 10男性用户分值区间50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100频数 45 75 90 60 30（）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可） ；（）根据评分的不同，运用分层抽样从男性
21、用户中抽取 20 名用户，再从这20 名用户中满足评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2 名用户评分都小于 90 分的概率【解答】解：（）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25 ，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02 ，0.04 ，0.025，0.005，第 15 页（共 20 页）对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30 ，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为 0.015，0.025 ，0.03，0.02 ，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大（）运用分层抽样从男
22、性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，其中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 2 人，则80，90 ）分数段抽取 4 人，分别记为 A，B ，C，D，90，100分数段抽取 1人，记为 E，M 则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B ） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ，（B，C） ， （B ，D ） ， （B，E） ， （C ，D） ， （C，E ） ， （D，E） ， （A，M） ， （B ，M） ，（C ，M） ， （ D，M） ， （E，M）共 15 种2 名用户评分都小于 90 分的基本事件有：（A，B） ， （A，C） ， （A
23、，D） ， （B，C） ，（B，D） ， （C，D）共 6 种故 2 名用户评分都小于 90 分的概率 P= =19 （12 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形，PA 底面ABCD，AD=AP=2，AB=2 ，E 为棱 PD 的中点（）证明：PD平面 ABE；（）求三棱锥 CPBD 外接球的体积第 16 页（共 20 页）【解答】证明：（）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P（0 ，0，2） ，D（0，2 ，0） ，A（0，0，0） ，B（2 ，0，0） ，E （0，1，1） ，=（0，2，2） ， =（2 ，0，0
24、） ， =（0，1 ，1） ，=0， =0，PDAB，PDAE，ABAE=A，PD平面 ABE解：（）AD ，AP ，AB 两垂直，底面 ABCD 为矩形，三棱锥 CPBD 外接球即以 AB，AD ，AP 为棱的长方体的外接球，三棱锥 CPBD 外接球的半径 R= =3，三棱锥 CPBD 外接球的体积 V= = =3620 （12 分）已知函数 f（ x）=ax lnx（1）过原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+） ，不等式 f（x）a （2x x2） ，求实数 a 的取值范围第 17 页（共 20 页）【解答】解：（1）设切点为（x 0，ax 0lnx0）
25、， ，直线的切线方程为 y（ax 0lnx0）=（a ） （xx 0） ，又切线过原点ax 0+lnx0=ax0+1，所以 lnx0=1，解得 x0=e，所以切点的横坐标为 e （ 4 分）（2）因为不等式 axlnxa（2xx 2）对x 1，+）恒成立，所以 ax2axlnx0 对x 1，+）恒成立设 g（ x）=ax 2axlnx，g（x）=2ax a 当 a0 时， ，g（x）在1，+）上单调递减，即 g（ x）g （1）=0 ，a0 不符合题意当 a0 时， 设 ，在1，+）上单调递增，即 a1（ i）当 a1 时，由 h（x ）0，得 g（x）0，g（x）在1，+）上单调递增，即 g
26、（ x）g （1）=0 ，a1 符合题意；（ ii）当 0a1 时，a 10，x 01，+）使得 h（x 0）=0 ，则 g（ x）在1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，g（x 0）g （1）=0，则 0a1 不合题意综上所述，a1 （12 分）21 （12 分）已知椭圆 C： ，F 1， F2 分别是其左、右焦点，以F1F2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 ，求线段 AB 长的取值范围第 18 页（共
27、 20 页）【解答】解：（1）根据题意，因为以 F1F2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，所以 b=c=1，即 a= = ，即椭圆 C 的方程为 ，（2）根据题意，过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，即直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k（x+1） ，与 联立，得（1+2k 2）x 2+4k2x+2k22=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 的中点为 M（x 0，y 0） ， ，即 ，设直线 AB 的垂直平分线方程为 ，令 y=0，得 ，因为 ，所以= ；即线段 AB 长的范围是（ ，2 ） 选修 4-4：坐标系与
28、参数方程选讲第 19 页（共 20 页）22 （10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2）若曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1 上点 P 的极角为，Q 为曲线 C2 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值【解答】解：（1）曲线 C1 的极坐标方程为 =4cos，即 2=4cos，可得直角坐标方程： 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去参数 t
29、可得普通方程：x +2y3=0（2） ，直角坐标为（2，2） ，M 到 l 的距离 ，从而最大值为 选修 4-5：不等式选讲23已知 a0，b0 ，函数 f（x）= |x+a|+|2xb|的最小值为 1（1）求证：2a+b=2；（2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值【解答】解：（1）法一：f（x ）=|x+a|+|2x b|=|x+a|+|x |+|x |，|x+a|+|x |（x+a） （x ）|=a + 且|x |0，f（ x）a + ，当 x= 时取等号，即 f（x）的最小值为 a+ ，第 20 页（共 20 页）a + =1，2a+b=2；法二：a ，f （x ）= |
30、x+a|+|2xb|= ，显然 f（ x）在（， 上单调递减，f（x ）在 ，+）上单调递增，f（ x）的最小值为 f（ ）=a+ ，a + =1，2a+b=2（2）方法一：a+2btab 恒成立， t 恒成立，= + =（ + ） （2a+b ） = （1+4+ + ） ，当 a=b= 时， 取得最小值 ， t，即实数 t 的最大值为 ；方法二：a+2btab 恒成立， t 恒成立，t = + 恒成立，+ = + = ， t，即实数 t 的最大值为 ；方法三：a+2btab 恒成立，a +2（2 a）ta （2a ）恒成立，2ta 2（3+2t）a+40 恒成立，（3+2t ） 23260， t ，实数 t 的最大值为
