1、5 探索与表达规律一、 【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一” 。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。1规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事
2、物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果【例 1】 观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第n 行( n 为正整数)与第 n 列的交叉点上的数应为_解析：通过观察、分析、比较可知，第 1 行与第 1 列的交叉点上的数是 1，第 2 行与第 2列的交叉点上的数是 3，第 3 行与第 3 列的交叉点上的数是 5，第 4 行与第 4 列的交叉
3、点上的数是 7，所以可猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数是 11，第 n 行( n 为正整数)与第 n列的交叉点上的数应为 2n1.答案：11 2n12探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：(2)新运算的规律新运算是 指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规 律【例 21】 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)(1)0，(2) 1，
4、(3)2，(4) 3，(2) 2， 3， 4， 5，利用上面的规律计算： (2 012) 分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去 1，所以(2 012)2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是 1 的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以 2 01 3.解： (2 012)2 0132 0112.【例 22】 观察下列图形及图形所对应的 算式，根据你发现的规律计算1816248n(n 是正整数 )的结果为( )A(2n1) 2 B(2n1) 2 C(n2) 2 Dn 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1818193 2,1
5、816181825 2,18162418182837 2，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以 1816248n(2 n1)2.故选 A.答案：A3探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索横行：相 邻两数相差 1.如左下图所示： 竖列：相邻两数相差 7.如右上图所示斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差 8；从右上到左下的斜列相邻两数相差 6.日历中的 33 方框内的规律：在这 9 个方格中的数的和是中间方框中的数的 9 倍若将中间数设为 a，则其余 8 个数
6、可按规律如上图所示，则这 9 个数的和即为(a8)(a7)( a 6)(a1)a ( a1) ( a6)( a7)( a8) 9a，正好是中间数 a 的 9倍(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠 n 次后，相应的层数与折痕数折叠次数：1,2,3,4,5，n.层数：2,4,8,16,32，2 n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，2 n1._ _【例 31】 2013 年的元宵节是阳历 2 月 24 日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2 月_日，除夕：2 月_日解析：根
7、据日历中竖列和横列的规律可以求出如 图，春 节 与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差 7，可知春 节比元宵节 少 14，即 241410，春节是 10 日，根据横列中相邻相差 1 的规律，可知除夕是 9 日答案：10 9【例 32】 将连续的偶数 2,4,6,8，排列成如右图所示 的数表(1)“十”字框内 5 个数的和，与框内中间的数 18 有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外 5 个数，这 5 个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为 a，用代数式表示“十”字框内 5 个数之和分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差 2，上下相 邻 两数相差 12.再换另一组
8、数，同样有这样的规律解：(1)61618203090，而 901 85，所以框内 5 个数的和是框内中间的数18 的 5 倍(2)将框上、下、左、右平移，任意框住 5 个数，同样有这样的规律(3)若中间的数为 a，则框住的 5 个数分别为 a12， a2，a， a2，a12，其中 a 为偶数，故它们的和为(a12)( a2)a(a2) (a12) 5a.【例 33】 如果将一张长方形的纸，平行对折 7 次，展开后，会有_ _条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成_个小长方形解析：根据折叠中的规律：对折 7 次，即当 n7 时，平行折痕数为2n12 71127(条),1 条折痕能把长方形分成 2
9、 个小长 方形， 2 条能分成 3 个，127 条折痕 则分成 128 个小长方形答案：127 128二、 【典型例题解析】1、 观察算式： (3)2(15)3(17)4(19)5, , ,357,222 按规律填空：1+3+5+99= ？，1+3+5+7+ n？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？n3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第 3 个图案中有白色地面砖多少块？（2）第 个图案中有白色地面n砖多少块？4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第 10 个图形中三角形的个数为多
10、少？第 个图形中三角形的个数为多少？n5、 观察右图，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有 1 个点，第二层有3 个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第 n 层有多少个点？（3）某一层上有 77 个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前 4 层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前 12 层的和是多少？6、 读一读：式子 “1+2+3+4+5+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+100”表
11、示为 ，这里“ ”是求和符号，例如10n“1+3+5+7+9+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示为又如“ ”可表示为 ，同501(2);n33333245678910103n学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+100（即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算： = （填写最后的计算结果） 。521()n7、 观察下列各式，你会发现什么规律？35=15，而 15=42-1 57=35，而 35=62-1 1113=143，而 143=122-1 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。8、 请
12、你从右表归纳出计算 13+23+33+n3的分式，并算出 13+23+33+1003的值。三、 【跟踪训练题】1 1、有一列数 其中：1234,naa=62+1， =63+2， =64+3， =65+4；则第 个数 = a34anna，当 =2001 时， = 。n2、将正偶数按下表排成 5 列第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第一行 2 4 6 8第二行 16 14 12 10第三行 18 20 22 24 28 26根据上面的规律，则 2006 应在 行 列。3、已知一个数列 2，5，9，14，20， ，35则 的值应为：（ ） xx4、在以下两个数串中：1，3，5
13、，7，1991，1993，1995，1997，1999 和1，4，7，10，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.3365、学校阅览室有能坐 4 人的方桌，如果多于 4 人，就把方桌拼成一行，2 张方桌拼成一行能坐 6 人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数 1 2 3 n人数 4 6 6、给出下列算式： 48793521322观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：152=225 可写成 1001（1+1）+25252=625 可写成 100
14、2（2+1）+25352=1225 可写成 1003（3+1）+25452=2025 可写成 1004（4+1）+25752=5625 可写成 归纳、猜想得：（10n+5） 2= 根据猜想计算：1995 2= 8、已知 ，计算：161312 nn112+122+132+192= ；9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当 n 是自然数时，代数式 n2+n+41 所表示的是质数。请验证一下，当n=40 时，n 2+n+41 的值是什么？这位学者结论正确吗？例 7如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB ， OC， OD， OE， OF，从射线 OA 开始按
15、逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，（1） “17”在射线 _上，“2008”在射线_上（2）若 n 为正整数，则射线 OA 上数字的排列规律可以用含 n 的代数式表示为_分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，观察得出，这列数的后一项总比前一项多 6，归纳得到，这列数可以表示为 6n-5因为 17=36-1，所以 17 在射线 OE 上。因为 2008=3346+4=3356-2，所以 2008 在射线 OD 上例 8 将正奇数按下表排成 5 列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 2
16、3第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007 应在A125 行,3 列 B. 125 行,2 列 C. 251 行,2 列 D. 251 行,5 列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数： 3，11，19，27， 规律为 8n-5因为 2007=2508+7=2518-1所以，2007 应该出现在第一列或第五列又因为第 251 行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以 2007 应该在第 251 行第 5 列例 9 （2006 年嘉兴市）定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，结果为3n5；当 n 为偶数时，结果为 （
17、其中 k 是使 为奇数的正整数） ，并且运算重k2k2复进行例如，取 n26，则：若 n449，则第 449 次“F 运算”的结果是_分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当 n 为偶数时，结果为（其中 k 是使 为奇数的正整数） ，要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。k2kn2ABDCEFO172839410 5116 1226 13 44 11第一次F第二次F第三次F 449 奇数，经过“F”变为 1352；1352 是偶数，经过“F”变为 169，169 是奇数，经过“F”变为 512，512 是偶数，经过“F”变为 1，1 是奇数，经过“F”变为 8，8 是偶数，经过“F”变为 1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现 1、8 的交替循环。再看运算的次数是 449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到 8，偶数次运算得到 1，所以，结果是 8。
