1、第 7 章 恒定磁场7-1 在 闪 电 中 电 流 可 高 达 2104A， 若 将 闪 电 电 流 视 作 长 直 电 流 ， 问 距 闪 电 电 流 1.0m 处 的 磁感 应 强 度 有 多 大 ？解 根据安培环路定理 ，iLI0dlB与 长 直 电 流 相 距 r 处 的 磁 感 应 强 度 为 Ir02解得相 距 1.0m 处 的 磁 感 应 强 度 的 大 小 T 143rB7-2 如图所示，两根无限长直导线互相垂直地放置，相距d=2.010-2m。设两根导线通过的电流均为 I=10A，求两导线垂直距离中点 P 处的磁感应强度。解 两根载有相同电流的无限长直导线在 P 处的磁感应强
2、度的大小相同，由安培环路定理 iLI0dlBIBd02得 T 12/41 和 的方向分别指向 x 轴的负方向和 z 轴的正方向。1B2由磁场叠加原理，P 处磁感应强度的大小为 108.2d4021 IBPBP 的方向在 x-z 平面内，与 z 轴正方向和 x 轴负方向均成 45夹角。7-3 如图所示，一无限长载流绝缘直导线弯成如附图所示的形状。求使 o 点的磁感应强度为零的半径 a 和 b 的比值。解 该载流系统由三部分组成，o 点的磁感应强度为载有相同电流的无限长直导线及两个半径分别为 a 和 b 的圆环分别在该处激发的磁感应强度的矢量和。设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负。由安培环路定
3、理 iLI0dlB无限长载流直导线在 o 点的磁感应强度为 ，b02个 bIB20个根据毕奥萨伐尔定律，电流元 Idl 在 o 点的磁感应强度 ，其中 ，dsin4lr2题 7-2 图题 7-3 图对两载流圆环分别积分，有 2200d4blIrlIBl 个 0allal2个由磁场叠加原理 个个个B0220aIbI解得 1a7-4 如图所示，两导线沿半径方向引到铁环上 a、b 两点，并与远处的电源相连，已知环的粗细均匀，求环中心 o 的磁感应强度。解 设 aeb 长为 l1，ab 长为 l2。并设磁场方向以垂直纸面向内为正，向外为负，因为 ，即 ，所以 。abeUSlIl2121lI根据毕奥萨伐
4、尔定律，电流元 Idl 在圆心 o 点的磁感应强度 ，式中02dsin4IlBr。2对两载流圆弧分别积分，有 2102104d1rlIlIBlaeb20204d2rlIlIBlab由磁场叠加原理，o 点的磁感应强度的大小为 0)(44212020210 lIrlIrlB7-5 一根无限长直导线通有电流 I=4A，中部被弯成半圆弧形，半径 r=10cm。求圆弧中心的磁感应强度。解 无限长直导线的直线部分在 O 点产生的磁感应强度为 0，所以 O 点的磁场仅由载流半圆弧激发。根据毕奥萨伐尔定律，电流元 Idl 在 O 点的磁感应强度 ，式中 ，02dsin4IlBr2故有 lrd0T 106.5方
5、向垂直纸面向内。题 7-4 图题 7-5 图7-6 将一段导线弯成半径分别为 R1 和 R2 的同心 1/4 圆弧，并与两段径向直线段组成一闭合回路。回路中通有电流 I，方向如图所示。求圆心 o 处的磁感应强度 B 的大小和方向。解 两段径向直线段在 o 点不产生磁场，所以只需将大、小两个圆弧在 o 点产生的磁感应强度进行叠加。根据毕奥萨伐尔定律，电流元 Idl 在 o 点的磁感应强度式中02sin4Br2对两圆弧分别积分，有 ，方向垂直纸面向外。10201 8dd1RIlRL，方向垂直纸面202024IlIBRL向里。两同心 1/4 圆弧在 o 点产生的总磁感应强度，)1(824120021
6、 RIRIB方向垂直纸面向外。7-7 如图所示，一根长为 L 的导线，载有电流 I。试求：（1）该导线在其中垂线上与导线相距为 L/2 的 P 点处所产生的磁场的磁感应强度；（2）在 P 点正上方相距 L/2 处的 Q 点的磁感应强度。解 利用长直载流导线的磁场公式 求解。)cos(4210aIB（1）对于 P 点， ， ， ，2cos143s22LaP 点的磁感应强度 LIaIB)2(400方向垂直纸面向里。（2）对于 Q 点， ，52)4(cos21L， ，0cos22LaQ 点的磁感应强度 IIB5)(400方向垂直纸面向里。7-8 一均匀磁场的磁感应强度 B=2.0T，方向沿 x 轴正
7、向,如图所示。试求：（1）通过图中 abcd 面的磁通量；（2）通过图中 befc 面的磁通量；（3）通过图中 aefd 面的磁通量。题 7-6 图题 7-7 图题 7-8 图解 （1）根据磁通量定义 cosBS对于 abcd 面， ，则通过该面的磁通量 cosabdabcdBST 24.0（2）对于 befc 面， ,2则通过该面的磁通量 2cosbefbefcBS（3）对于 aefd 面， ，则abcdaefdSos T 24.0abcdaefdaefdS7-9 一个非均匀磁场磁感应强度的变化规律为 B=ky（k 为常量） ，方向垂直纸面向外。磁场中有一边长为 a 的正方形线框，其位置如图
8、所示。求通过线框的磁通量。解 在线框内坐标为 y 处取一长为 a 宽为 dy 的矩形面积元 dS，在 dS 中磁场可认为是均匀的，则通过 dS 的磁通量 kSB对正方形线框平面积分，得 3021daya7-10 两根平行的长直导线相隔 0.75cm，且都垂直于图示的平面。导线 1 载有 6.5A 流入页面的电流。要使图中 P 点的合成磁场为零，试确定导线 2 中电流的大小和方向。解 根据安培环路定理， iLI0dlB对长直导线 1，有 ，101l102lI对长直导线 2，有 ，22Il2l两长直导线在 P 点产生的磁感应强度的大小相等，即 ，于是有 ，1B201lI由此解得 ， A3.412I
9、l为使 P 点的合成磁场为零，则导线 1 和导线 2 中电流的流向必需相反，故长直导线 2 中电流方向垂直纸面向外。题 7-9图 题 7-10 图7-11 同轴长电缆由内、外两导体构成，内导体是半径为 a 的实心圆柱，外导体是内外半径分别为 b 和 c 的圆筒。在两导体中，大小相等、方向相反的电流 I 通过。试求磁感应强度 B 的分布：（1）圆柱导体内离轴 r 处（r c） 。解 （1）rc应用安培环路定理 ，在 r c 空间作环形闭iLI0dlB合回路 L，包围的电流 i于是有 ，得)(204IrB04B7-12 图中所示为一无限大载流导电薄片的横截面，电流垂直地从页面流出，通过横截面每单位
10、宽度（沿 x 向）的电流强度为 j。 （1）用毕奥萨伐尔定律和对称性确定薄片上、下方所有点的磁场方向均平行于薄片，且在页面内（见图） ；（2）用安培环路定理证明，在所有点 P 和 P处的磁感应强度 。02Bj解 （1）该无限大载流导电薄片可看作是由无数条无限长载流直导线组成。P 点为薄片上方任意一点，根据毕奥萨伐尔定律可知每条直导线在 P 点产生的磁场均在页面内。又根据对称性，P 点左侧-x 0 处直导线与右侧 x0 处直导线产生的磁场的磁感应强度在 y 轴上分量题 7-11 图题 7-12 图（1）题 7-12 图（2）大小相等方向相反，而在 x 轴上分量大小相等方向相同（如右图） ，因此合
11、成后 P 点处总的磁场方向应该平行于薄片向左，且在页面内。同理亦可推知薄片下方任意一点 P处总的磁场方向应该平行于薄片向右，且在页面内。（2）作对称于载流导电薄片的矩形环路，如右图，ab 长为l1，bc 长为 l2，则环路中包围的电流为 。由安培环路定理1jl，即IL0dB10ddjlaccbba BllBl在 ab 段和 cd 段上 B 的方向均与 dl 相同，而在 bc 段和 da 段上 B 的方向与 dl 垂直，故有 102)90cos()cos()9os()0os( jladdccbba lll解得 20jB7-13 两无限大平行导体平面上都有均匀分布的电流，其面电流密度分别为 j1
12、和 j2，且 j1 j2（见附图） ，试求两平面间和两平面外的磁感应强度。解 利用上题结论，将两载流平面产生的磁场进行叠加计算。两平面间 P 点，磁场 B1 与 B2 方向相反，如图（2）：)(2101jP两平面外 Q 点，磁场 B1 与 B2 方向相同，如图（2）： )(21021jQ7-14 一长直导线中通有电流 I1，近旁有一矩形线圈，其长边与导线平行。若线圈中通有电流 I2，线圈的位置及尺寸如图所示。当I1=20A、I 2=10A、x 1=1.0cm、 x2=10cm、l =20cm 时，求矩形线圈所受力的大小和方向。解 根据安培定律判断，矩形线圈上、下两载流导线受力大小相等而方向相反
13、，相互抵消。左、右两侧载流导线受力方向相反，但大小不等。由安培环路定理可知，长直载流导线在线圈左、右两侧处产生的磁感应强度分别为和 ，由此1012xIB2102xI线圈左、右两侧载流导线受力大小分别为 lIxlIBF21021题 7-12 图（3）题 7-13 图（1）题 7-13 图（2）题 7-14 图lIxlIBF21022线圈所受合力 12FN 102.7241010 lIxI负号表示合力方向水平向左。7-15 如图所示，ADC 为弯成任意形状的导线，被置于与均匀磁场 B 垂直的平面内。求证：当弯曲导线 ADC 通以电流 I 时，均匀磁场对它的作用力与 AC 间通有同样电流的直导线所受
14、的力相同。证明 在弯曲导线 ADC 上选取图示的坐标系 xoy，在导线上取电流元 Idl。电流元在磁场中受到磁场力 kjiBlfByxII)(d=ijyIBxId)(因此弯曲导线 ADC 受合力 jijfFIBlyIxIlADC00d)(根据安培定律，长 l 的载流直导线 AC 在匀强磁场中受力FAC=IBl，方向沿 y 轴负向。显然，它与弯曲导线 ADC 所受磁场力的大小和方向均相同，即 FADC=Fac。从而证明了匀强磁场中任意形状一段载流导线ADC 所受磁场力，与 AC 间通有同样电流的直导线所受的力相同。7-16 一长直导线通有电流 I =20A，另一导线 ab 通有电流 I=10A，
15、两者互相垂直且共面，如图所示。求导线 ab 所受的作用力和对 o 点的力矩。解 建立如图所示的坐标，导线 ab 于 x 轴上。由安培环路定律解得，载流长直导线周围的磁感应强度为 。xIB20在 ab 上取一电流元 ，受力大小为 dIIFd0导线 ab 所受的总作用力 N 102.9510. xIba方向沿 y 轴。电流元 对 O 点的力矩 Id 2dd0xIxBIFM导线 ab 所受的总力矩 N16.3.10ba7-17 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，有一载流矩形闭合回路，其边长分别为 a 和 b，题 7-15 图题 7-17 图题 7-16 图电流强度为 I。试求在图示位置时该回路的磁矩
16、 pm 和磁力矩 M。解 根据定义，磁矩大小为 IabSP方向垂直纸面向里。磁力矩 ，其大小为 BPMm BIMm90sin方向沿 oo竖直向下。7-18 一半径为 R 的圆形导线中通有电流 I2，在沿直径 ab 方向上有一载有电流 I1 的无限长直导线（彼此绝缘） ，方向见图。求：（1）半圆弧 acb 所受作用力的大小和方向；（2）整个圆形导线所受作用力的大小和方向。解 （1）建立如图所示的坐标系。在半圆弧 acb 上任取一电流元 。电流元所在处的磁场垂直纸面向外，磁感应强度lId2。sin10RB电流元受到磁场作用力的大小为 ，方向指向圆心。lBIFd2该力在 x 方向的分量 ， sinF
17、x则半圆弧 acb 在 x 方向所受的合力 0212 dsinidsindRIlBIfFxx 2d10021II磁场力在 y 方向的分量 cosdFy则半圆弧 acb 在 y 方向受到的合力 0212 dcossindRIlBIy= tan01Fy 也可由对称性分析得到同样的结果。所以半圆弧 acb 受力沿 x 轴正向，大小为 。210I（2）用类似方法可分析另一侧半圆弧，它与 acb 受力大小和方向均相同，故整个圆形导线所受作用力大小为 ，方向沿 x 轴正向。210I7-19 如图所示，一闭合回路由半径为 a 和 b 的两个同心半圆连成，载有电流 I。试求（1）圆心 P 点处磁感应强度 B
18、的大小和方向；（2）回路的磁矩。解 （1）o 点磁场仅由两载流半圆弧激发。根据毕奥萨伐尔定律，电流元 Idl 在 o 点产生的磁感应强度 ，且 。02dsin4Ilr题 7-18 图题 7-19 图半径为 a 的圆弧在 o 的磁感应强度为 aIrdlBl 4020半径为 b 的圆弧在 o 的磁感应强度为 bIrll 020由磁场叠加原理，P 点处总磁感应强度 aIaIB4)(400方向垂直纸面向里。（2）根据磁矩定义 )(21122 bIbIISPm 方向垂直纸面向里。7-20 质谱仪的构造原理如图所示。离子源 S 提供质量为M、电荷为 q 的离子。离子初速很小，可以看作是静止的，然后经过电压
19、 U 的加速，进入磁感应强度为 B 的均匀磁场，沿着半圆周运动，最后到达记录底片 P 上。测得离子在 P 上的位置到入口处 A 的距离为 x。试证明该离子的质量为： 。UxqBM82证明 设离子经电压 U 加速后进入磁场时的速度为 v。电场力作功使离子获得动能 21q在磁场中洛伦兹力提供作圆周运动的向心力 xRB2v由此解得该离子的质量为 ，于是得证。UxqBM827-21 如图所示，把一宽 2.0102m、厚 1.0103m 的铜片放在磁感应强度 B=1.5T 的均匀磁场中，如果铜片中通有 200A的电流。试问（1）铜片左右两侧的电势哪侧高？（2）霍耳电势差有多大？（铜的电子浓度 n=8.4
20、1028 l/m3） 。解 （1）根据洛伦兹力 可判断铜片内载流子（电BFvq子）在磁场中的受力方向向右，因此右侧积聚了电子带负电，左侧因缺少电子而带等量的正电。所以左侧电势高。（2）霍耳电势差 V102.5dIneUH7-22 图示为半导体样品，沿 x 轴方向有电流 I，z 轴方向有均匀磁场 B。实验测得的数据为：a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.0cm ，I =1.0mA，B=0.3T ，半导体片两侧的电势差 U1-U2=6.55mV。 （ 1）试问这种样品是 p 型还是 n 型半导体？（2）求载流子浓度。题 7-20 图题 7-22 图题 7-21 图解 （ 1）根据洛伦兹力可
21、判断半导体样品内载流子在磁场中的受力方向向左。因 U1U2，可知左侧带负电，因此载流子为电子，半导体为 n 型。（2）载流子（电子）浓度 )m/(1086.232个HeaUIBn7-23 一长直螺线管，每米绕有 1000 匝，今要求在螺线管内部轴上一点 p 的磁感应强度 B = 4.2104T，问螺线管中需通以多大的电流？（设螺线管内为空气） 。若螺线管是绕在铁芯上，通以上述同样大小的电流，问这时在螺线管内部同一点产生的磁感应强度为多少？设此时纯铁的相对磁导率 r=5000。解 根据安培环路定律，当管内为空气时 nIB0螺线管中需通的电流为 A 34.0当螺线管内有铁芯时，管内的磁感应强度 T 1.2r
