1、 学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 1 页 共 7 页映射定义：设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合到集合的一个映射函数及其表示定义 传统定义：如果在某变化中有两个变量 x，y，并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系 f，y 都有唯一确定的值和它对应。那么 y 就是 x 的函数。记作 y= 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射函数三要素定义域值域对应法则函数的表示方法解析法列表法图象法函数的基本性质单调性传统定义：在区间
2、a，b上，若 ax x b，如果 f f ，121x2则 f 在a，b上递增，a，b 是递增区间；如果 f f，则 f 在a，b上递减，a，b 是递减区间。2x导数定义：在区间a，b上，若 f 0，则 f 在a，b上递增，a，b是递增区间；若 f 0，则 f 在a ，b 上递减，a，b 是递减区间。最值最大值：设函数 y=f 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 x I，都有 f M；存在 x I，使得 f =M，则称00M 是函数 y=f 的最大值。最小值：设函数 y=f 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 x I，都有 f M；存在 x I，使得 f =M
3、，则00称 M 是函数 y=f 的最大值。奇偶性 f = -f ，x 定义域 D，则 f 叫做奇函数，其图像关于原点对- 称。f = f ，x 定义域 D，则 f 叫做偶函数，其图像关于 y 轴对称。周期性：在函数 f 的定义域上恒有 f = f （T0 的常数）则 fx叫做周期函数，T 为周期；T 的最小正值叫做 f 的最小正周期，简称周期。函数图像的画法描点连线法：列表、描点、连线变换法平移变换 向左平移 a 个单位： y =y，x -a=x y=f1ax向右平移 a 个单位： y =y，x +a=x y=f -向上平移 b 个单位：x =x，y -a=y y-b=f向下平移 b 个单位：
4、x =x，y -b=y y+b=f伸缩变换 横坐标变换：把各点的横坐标 x 缩短（当 w1 时）或伸长（当 0w 11 时）到原来的 1/w 倍（纵坐标不变） ，即 x =wx y=f1w横坐标变换：把各点的纵坐标 y 伸长（当 A1 时）或缩短（当 0A 1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变） ，即 y =y/A y=f对称变换关于点（x ，y ）对称：0x+x =2x10y+y =2y关于直线 x=x 对称0x =2x -x0y =2y -y1-2f-0关于直线 x=x 对称 x+x =2x 0y=y 1x =2x -x0y =y1y=f xx=xy+y =2y 0x =xy =2y -y
5、02y -y=f0关于直线 y=x 对称x=x 1y=y y=f 1-知识梳理函数学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 2 页 共 7 页例题精讲例 1. (1)设 A=a,b,c,B=-1,0,1,映射 f：AB若映射 f 满足 f(a)f(b)f(c),则映射 f 的个数为 。（4）解： 列表法：f(a)f(b)f(c) f(a)只能取 0 或 1,f(c)只能取-1 或 0.根据映射的定义,以 f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a) f(b) f(c)1 0 01 0 -11 -1 -10 -1 -1由此可知符合条件的映射是 4 个.例 2. (1)已知 f(x)=x2+2x-
6、1(x2),求 f(2x+1)的解析式; (2)已知 ,求 f(x1)的解析式.解: (1) f(x)=x 2+2x-1 (x2) 以 2x+1 替代上式中的 x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+12)f(2x+1)=4x 2+8x+2 (x1/2 )(2)由已知得 以 x 替代上式中的 得 f(x)=x 2-1 (x1)f(x+1)=(x1) 2-1 (x+11) 即 f(x+1)=x2+2x (x0)例 3.(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 f( )=-f(x)，又 f(2)=1，f(1)=a，则a=_。(2)已知函数 f(x)的最小
7、正周期为 2T，且 f(T+x)=f(T-x)对一切实数 x 都成立，则对 f(x)的奇偶性的判定是?解: (1)由 f( )=-f(x)知 f(x)是周期函数，且 3 是 f(x)的一个周期，又 f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(x R)，在此基础上，寻觅已知条件中的 f(2)与 f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1) 而 f(1)=a，f(2)=1， a=1(2)由 f(x)的最小正周期为 2T 得 f(x+2T)=f(x) 又这里 f(x+T)=f(T-x) 为了靠拢，在中以(x+T)替代 x 的位置得 f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x) 由， 得
8、 f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.易错题例 4. 已知函数 f(x)= ，y=g(x)的图象与 y= 的图象关于直线 y=x 对称，求 gx12-学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 3 页 共 7 页的值.21典型错解: 由题设知 g(x)与 互为反函数 =g(x)=f(x+1) 由此得 g( )=f( )=- 错因分析: 上面正确，由导出出现错误.在这里 的反函数是 g(x)，但的反函数却不是 f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知 y=f(x+1)的反函数不是 y= ，而是 y= -1；y= 的反函数不是 y=f(x+1)，而是y=f(x)-1.正确解法: (着力于寻
9、求 的解析式):由已知得 = (x-2)x2-1=- (x-3)3x又由题设知 g(x)的反函数为 ， = =-3x令 g( )=b，则 = 由得- = ，解得 b=-1， g(21213b21)=-1.当堂检测1.设函数3,(10)()5xff，则 (5)f 2.已知 的定义域为2，2 ，求 x2的定义域_3. 已知 f(x)+2f( 1)=3x,求 f(x)的解析式_.4. 设 f(x)是在(,+)上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3) 2+4，求当 x1,2时 f(x)的解析式_.5. 已知函数 ,10,)2af（1）若 1,0(x在 是增函
10、数，求 a 的取值范围;学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 4 页 共 7 页（2）求 1,0()(在 区 间xf上的最大值.直击高考1.函数 y= ( x0)的反函数是(B ) A. y= (x-1) B. y= (x-1) C. y= (x0) D. y= (x0)2.(2004 北京卷)函数 f(x)= -2ax-3 在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 (D )A. a(-，1 B. a2，+) C. a1，2 D. a(-，12，+3. 设函数 f(x)的图象关于点(1，2)对称，且存在反函数 f ，f(4)=0，则 f =_-2_5. 已知函数 y=f(x)是奇函数，当
11、x0 时，f(x)= -1.设 f(x)的反函数是 y=g(x)，则 g(-8)=_-2_6. 若存在常数 p0，使得函数 f(x)满足 f(px)=f(px )( xR)，则 f(x)的一个正周期为_p/2_2p知识梳理函数与方程零点：对于函数 y=f ，我们把使 f =0 的实数 x 叫做函数 y=f 的零点x定理： 如果函数 y=f 在区间a ，b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f f 0，那么，函数 y=f 在区间a ，b内有零点。即存在abc （ a， b） ，使得 f =0.这个 c 也是方程 f =0 的根。x关系：方程 f =0 有实数根 函数 y=f 有零点 函数 y=
12、f 的图像与 x 轴有x交点学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 5 页 共 7 页零点与根的关系二分法求方程的近似解确定区间a，b，验证 f f 0，给定精确度 ；ab求区间a，b 的中点 c；计算 f ； 若 f =0，则 c 就是函数的零点； 若 f f 0，则令 b=c（此时零点 x （a ，b） ） ；ab0 若 f f 0，则令 a=c（此时零点 x （c，b） ） ；判断是否达到精确度 ，即若 ，则得到零点的近似值 a（或 b） ；否则重复以上-a步骤。例题精讲1. 已知函数 2()(1)2fxax的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a的取值范围。解：设方程 2
13、()0的两根分别为 12,()x，则 12()0x，所以 1212()0x由韦达定理得 2()a，即 20，所以 a2.判断函数 23()4fxx在区间 1,上零点的个数，并说明理由。解：因为 710， 21340f所以 fx在区间 ,上有零点学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 6 页 共 7 页又 2 2914fxx当 1时， 0f所以在 ,上单调递增函数，所以 fx在 1,上有且只有一个零点。易错题3.设 83xf,用二分法求方程 2,1083xx在 内近似解的过程中得,025.1.,01f则方程的根落在区间（ B ）A (25) B () C (1.,2) D不能确定当堂检测1.如
14、果二次函数 )3(2mxy有两个不同的零点，则 m的取值范围是（ ）A 6,2 B 6, C 6,2 D ,26,2.已知函数 2()1fx，则函数 (1)fx的零点是_3.若方程 0a有两个实数解，则 a的取值范围是（ ）A 1, B ,) C ,2 D (0,)4.函数 5()3fx的实数解落在的区间是( )A 0, B ,2 C , D 3,45.求函数 1)(3xf零点的个数为 （ ）A 1 B C D直击高考1.设二次函数 2()fxa，方程 ()0fx的两根 1x和 2满足 120x；（1）求实数 的取值范围；（2）试比较 01ff与 6的大小，并说明理由。解：令 2()(1)gxxa则由题意可得：学 优 教 育 朋友式相处 快乐式学习第 7 页 共 7 页012()0ag0132,32aa或故所求实数 a的取值范围是 (0,)。2.函数 f =2 +3x 的零点所在的一个区间是（B）xA（-2,-1） B（-1，0） C（0，1） D（1，2）3.设函数 f =4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数 f 不存在零点的是（A）xA-4,-2 B.-2,0 C.0,2 D.2,44.函数 f = -COSx 在0， 内（B）xA 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D 有无穷多个零点032a
