1、1汽车在恒定功率下的加速运动模型上海市五爱高级中学 诸庭飞摘 要本文用数学分析方法讨论了高中物理教学中汽车在恒定功率下加速运动的传统模型，指出这一模型会导致运动时间和位移的发散，从而往往产生一些错误结果。文中指出错误来自所给条件自相矛盾，提出了对传统模型的修正，从而解决这一问题；并将相似的分析方法用于电磁学部分的类似问题中。在高中物理教学中，讨论汽车在水平公路上起动时，经常采用的一种模型是恒定功率下的加速运动，即假定汽车自静止或某一初速度开始加速，发动机功率为额定功率 P 不变，汽车所受阻力 f 为恒力，则汽车的牵引力 F=P/v，根据牛顿第二定律(1)mafv因 P 不变，牵引力 F 随速度
2、增大而减小，所以加速度减小，而速度增大，汽车将做变加速运动，经过一段时间，汽车的速度将趋于一极限值，此时，汽车的牵引力与阻力相等，汽车的速度达到最大速度 vm(2)fPvm问题在于，要过多少时间，才能增大到极限速度呢？可以证明，对于上述模型，不可能在有限时间内加速到 vm，这一时间趋于无限大，证明如下：将(1)式改写为： dtfvP所以 fdt dvfPfv)(2)ln(2fvPdfmf令 t0=0 时，汽车的初速度为 v0，而时刻 t 的速度为 v，两边积分，得(3)ffmvf20ln)(将(3) 式代入动能定理：2021mvfsPt2202020 1ln)( mvfsvPfmvfP所以 (
3、4) 20203202ln)( vfffs如果末速度 ，(3)、(4) 两式右边第二项发散，所用时间 t 及位移fvms 都将趋于无限大，若 vvm，则 t、s 均为有限值。上述结果与汽车的实际运动情况并不相符，汽车的加速运动过程不可能用无限长的时间。因此，原先的加速阶段和匀速运动阶段功率相同的模型需要加以修改。观察汽车司机的实际操作，往往是加大油门加速，加速到某一速度时就减小油门，保持做匀速运动，与此对应，可以建立如下模型，即汽车以较大的恒定功率 P 加速，加速到某一速度 时， ，这里的 P0 P，汽车改mvf0以较小的恒定功率 P0 维持匀速直线运动，这样加速运动阶段可以在短时间内完成，不
4、会导致上述发散问题。可以看出，当功率不变时，加速运动的时间 t 和经历的位移 s 与v0、f 、P 、 m 等量确定。但在中学阶段，不可能用微积分来进行运算，s 、t 往往需要事先给定数据，这里就要注意，上述 6 个物理量必须满足 (3)、(4)两式。很多物理习题在编写时，没有注意到这两个关系式，结果产生矛盾。下面举一实例：有一辆可自动变速的汽车，总质量为 1000kg，该车速度在14m/s 至 20m/s 内可保持恒定功率 20kW 不变。一位同学坐在驾驶员旁观察车内里程表和速度表，记录了该车在位移 120m 至 400m 范围内做直线运动时的一组数据如下：s/m 120 160 200 2
5、40 280 320 360 400v/ms-114.5 16.5 18.0 19.0 19.7 20.0 20.0 20.0根据上面的数据回答下列问题。 （设汽车在上述范围内受到的阻力大小不变）1)估算该汽车受到的阻力为多大？2)在位移 120m 至 320m 过程中牵引力所做的功约为多大？3)在位移 120m 至 320m 过程中所花的时间是多少？ 13通过以上的分析，已经可以看出，此题假设在 20kW 的功率下通过 200m位移而达到最大速度是完全不可能的。在中学阶段此题通常的解法是：汽车受到的阻力 f 应满足匀速运动时牵引力与阻力平衡，即1) F = f 且 ，所以 =1000NmvP
6、mvPf2) 根据动能定理， 2021fsWF所以 vJ = 294,875 J 225.140102301F3) 因 ，所以 PtWF sPtF7.,8594上述解答中，1)是正确的，2)中用动能定理求出发动机做的功也没有错，但 3)中答案 t 显然与表格中列出的加速运动距离只有 200m 矛盾，因为即使以表格中列出的最小速度 14.5m/s 作匀速运动，加速运动的距离也将为14.514.74m=213.73m！产生这一问题的原因在于整个过程中功率保持为 20kW 不变与表格中给出的数据 s、v 不相符。假设匀速运动时的功率为 P0=20kW，而加速过程中功率为P，将 m=1000kg，阻力
7、 f=1000N，初速度 v0=14.5m/s，末速度 v=20m/s，位移s=200m 及 WF294,875J 代入(4)式，则加速运动时的功率 P 必须满足：5,142ln015.87,29462P用近似计算的牛顿法可求出此方程的数值解，运算具体过程从略，计算结果为 P 26,076W，因此在加速过程中，汽车的功率实际上为 26.076kW.。所以，解答 3)应为 sWtF3.197.05,2684可以看出，原题中所给条件不自恰，为解决这一问题，可以采用修改以后的模型，即改为在加速过程中保持功率为 26kW 不变，而当速度增加到 20m/s时，以后保持 20kW 的恒定功率维持匀速运动。
8、上述问题不但在力学中存在，在中学物理的电磁学部分也有类似情况，可以用相似的方法进行分析。4例如：如图所示，一个 U 形导体框，宽为L=0.5m，电阻不计，所在平面与水平面成 =37 角，磁感强度为 B=0.8T 的匀强磁场与 U 形导体框平面垂直，今有一导体棒 ab，其质量为 m=0.2kg，电阻为 R=2，跨放在 U 形导体上并与框架底边平行，导体棒与框架间的摩擦系数 =0.5，导体棒由静止开始沿框架下滑 7.5 m 时，速度达到最大值，求：(1)速度最大值；(2)导体棒从开始下滑到达最大值的过程中，感应电流所做的功。 2容易算得，速度达最大值 vm 时，导体棒受力平衡： RLBg2coss
9、in代入数据解得 vm=5m/s下面计算从开始下滑到最大速度时的位移，从牛顿第二定律： dsvtmRLBg2cossinvvdd2cssivRLBgdmLBRvgvdds 2222 cossincosin vgLBRmvs 22422 cssicoin mRLBgdds 2422 oinlsi 令 t=0 时，s =0，v 0=0，两边积分(5)vRLBggLBRm2422 cossinlcosin 同样可以看出，当 时，上式右边发散。所以，si2vm5同样需要 s 趋于无限大，才能达到这一速度。将已知条件 m =0.2kg，B =0.8T，L =0.5m，R =2， =37， =0.5 代入
10、式(5)，得此题 s 与 v 的关系式 vvs5ln.12.令末速度 v=0.75vm=3.75m/s 代入上式，解得 s =7.95m；若取 v=0.9vm= 4.5m/s，则 s =17.53m。原题中仅下滑 7.5m，连 vm 的 75都不能达到，显然是错误的。可以将原题中相关条件修改为“导体棒由静止开始沿框架下滑 17.53 m 时，速度达到最大值的 90” 。从以上两个问题可以看出，在编写物理习题时，要注意所给条件之间的一致性，某些条件单纯从中学物理的角度来看似乎没有联系，可以任意给定，然而仔细分析却往往能发现它们之间还存在着一定的函数关系，因此，发现这些规律，从而避免由此发生的错误，对于提高物理问题的科学性是很重要的。参考文选1 物理拓展型课程第一册（试验本） ，华东师范大学出版社， 2003 年 9 月第一版，2006 年 7 月第七次印刷，P.87。2一课一练（上教版高三物理） ，华东师范大学出版社， 2004 年 6 月第五版，2005年 6 月第二次印刷，P.156。
