1、函数与极限一、 函数的定义及性质一、定义设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对每个数属于 D，变量 y 按照一定的法则总有确定的数值和对应，则称 y是 x 的函数，记作 y = f(x)，D 称为定义域，x 叫自变量，y 叫因变量。二、函数的性质1.有界性设函数 f(x)的定义域为 D，数集X D，如果存在数 K1，使得f（x） K1对任一个 x X 都成立，则称函数f（x）在 x 上有上界，而 k1称为 f (x)在x 上的一个上界，如果存在数 k2 ,使得f（x） k2对任一个 x X 都成立，则称函数f（x）在 x 上有下界，而 k2称为 f (x)在x 上的一个下界，
2、如果存在正数 M 使得| f (x)| M对任一个 x X 都成立，则称函数f（x）在 X 上有界，如果这样的 M 不存在，就称函数 f (x)在 X 上无界。2. 单调性设函数 f（x）的定义域为 D，区间I D，如果对于区间 I 上任意两点 x1及x2，当 x1f（x 2）则称函数 f（x）在区间 I 上是单调减少的（如下图） 。3. 奇偶性设函数 f（x）的定义域 D 关于原点对称（即若 x D 则必有-x D） ，如果对任一个 x D，f（x）=f（x）恒成立，则称 f（x）为偶函数，如果对于任一个 x Df（x）=f（x）恒成立，则称 f（x）为奇函数从图形上看：偶函数的图形关于 y
3、 轴对称; 奇函数的图形关于原点对称4. 周期性设函数 f（x）的定义域为 D，如果存在一个不为零的数 ，使得对于任一个x D 有（x ） D，且f（x+ ）=f（x）恒成立，则称 f（x）为周期函数，称为 f（x）的周期。二、初等函数1. 幂函数函数 （ 为常数）叫做幂函xy数最常见的幂函数=1，2，3，1/2，-1 的图形2. 指数函数（ 为常数 0， 1）称为指xayaa数函数定义域：（ ）,若 1，单调增加，若 0N 的一切 xn，不等式axn都成立，则称常数 是数列x n的极限，或者称数列x n收敛于 ，a记为 xlim或 )n(axn 如果数列没有极限，就称数列是发散的。几何解释：
4、（如图）例 1 证明数列 ,n)1(,43,2,的极限是 1。证明n1n)1(axn 为了使 小于任意给定的正数n，只要 或11所以，对于任意给定的正数 ，取正整数 ，则当 nN 时，就有1N1n)(即 )(nlim2. 性质（1）极限的唯一性数列x n不能收敛于两个不同的极限。（2）收敛数列的有界性如果数列x n收敛，那么数列x n一定有界。（3）收敛数列与其子列的关系。如果数列x n收敛于 A，那么它的任一子列也收敛，且极限也是 A。四、函数的极限1. 定义 设函数 f（x）在点 x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 （不论它多么小） ，总存在正数，使得对于适合不等式 的|x
5、|00一切 x，对应的函数值 f（x）都满足不等式。|A)x(f|那么常数 A 就叫做函数 f（x）当xx 0时的极限，记作 )x(flim0x或 （当 xx 0）A)(f几何解释(如下图)例 2 证明1)x2(lim1x证明：由于|1x|2)x(|A)(f| 为了使 只要x2|1|所以，对于任意给定的函数 ，可取，则当 x 适合不等式2|1|0时，对应函数值 f（x）就满足不等式|1)2(|)(f|从而 1)2(lim1xx2. 性质（1）极限的局部保号性如果 ，而且 A0（或A)x(flim0xA0（或f（x）X 的一切 x，对应的函数值 f（x）都满足不等式|A)x(f|那么常数 A 就
6、叫函数 f（x）当 x时的极限，记作 或 f（x）AA)(flimx（当 x）几何解释一般地 ，则直线 y=C 是函C)x(flimx数 y=f（x）的图形的水平渐进线。五、无穷小与无穷大定义 1 设函数 f（x）在 x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数有定义），如果对于任意给定的正数 （不论它多少） ，总存在正数 （或正数 X） ，使得对于适合不等式 0X）的一切 x 若对应函数值 f（x）都满足不等式| f (x)|M则称函数 f（x）当 xx 0（或 x）时为无穷大。记作 )(flim0x或 f定义 2 如果 ，则直线)x(fli0xx=x0是函数 y=f（x）的图形的铅直渐
7、近线。2. 性质（1）在自变量的同一变化过程xx 0（或 x）中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和，反之，如果函数可表示为常数和无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。（2）. 在自变量的同一变化过程中，若 f（x）为无穷大，则 为无穷小；反)x(f1之，如果 f（x）为无穷小，且 f（x）0，则 为无穷大。)(f1六、极限的运算法则1. 有限个无穷小之和也是无穷小。2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。3. 如果 ，A)x(flimB)x(glim则 存在，且g)x(fli)x(gli)x(fliB)()(flim4. 如果 ， ，A)x(flimBm则 存在且g),x(fli
8、A)x(gli)x(fli, 当 时， 存在，且0B)x(gflim)x(lifBA)x(gflim5. 如果 ，而 ，)()(xalim，则bx)(limba6. 复合函数的极限运算法则设函数 当 xx 0时 ，)x(ua)x(但在点 x0的某去心邻域 ，又a)x(，则复合函数 当A)u(flimau)fxx 0时，极限存在，且A)u(f)x(flimlimaux0 计算方法1. 直接代入法，运用性质例 1 3x5x123lim解 由于分母极限不为 0，故37)x5(13x512x3x23x limlilim2. 对于有理整函数，消去无穷小或无穷大法例 2 9x323lim解：因 )3(0x
9、时故 613x9x3limlim323 例 3 5x2122xli 解：先用 x3去除分子和分母，然后求极限。5x21322xlim02x512x3332li 3. 运用性质例 4 xsinlimx解：因 sinx 是有界变量，而 )0x(0x1从而0x1sinxsinlimlimxx 4. 夹逼准则法准则 I，如果数列x n，y n及z n满足下列条件（1） nnnzxy（n=1，2，3，）（2） azaynnnn limlim,那么数列x n的极限存在，且 axnli准则 I 如果（1）当 （或|x|M）时，),(0rxUx有)x(h)x(f)x(g成立（2） ，A)x(lim)x(0A)
10、x(hlim)x(0那么 存在，且等于 A(fli)x(0例 5 xsinlimx解 因 xxx1sin1又 ，0x1limx0x1limx 0xsinlix5. 常用的重要极限的应用1xsinlim0xe)x1(xli或e)x1(10xlim例 6 20xxcos1li解 220x20x xsinxcos1limlim220x)(xsin21li20x2xxsin21lim21例 7 x10x)21(lim解 x10x)21(lim210)21(lixx22x10x e)21(lim例 8 xx )1(lim)1()x(x )1(li 1xx )1(lim1e6. 单调有界数列的计算法准则
11、II 单调有界数列必有极限例 9 求下面数列的极限， ，2,22解： 因 所以 n 重根号22n-1 重根号即数列为单增数列。又 2 222由准则 2 知 数列必有极限设其限为 a，则2a7. 等价无穷小替代法如果 、 均为无穷小量，且都 与 是等价无穷小，记作1lim若 ，称 为比 高阶的无0li穷小记作 =0（）若 称 比 低阶的无穷小。lim若 称 与 为同阶无穷0cli小。若 称 为 的 R 阶无0climR穷小。例 10 x5sin2talim0x解 当 x0 时，tan2x2x sin5x5x所以 52xx5sin2talimlm00x 8. 洛必达法则9. 泰勒展式法10. 分子
12、分母有理化法例 11x1120xlim解 )1x( )(1(x12220x20x limlim)1x1(20xlim例 12 x)1(loga0xlim解 x)1(loga0xlimx1a0x )1(logliealogaln1七、函数的连续性与间断点定义设函数 y=f（x）在点 x0的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 x=xx 0趋于零时，对应函数的增量 )(f)x(fy 00也趋于零，那未就称函数 y=f（x）在点 x0连续记作 )x(f)x(f 0xlim0在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数。间断点的类型（1）)()(limli00 xfxfxx 但 )x(f)x(
13、f 0xlim0可去间断点如 1x21)x(fyx=1 为 y=f（x）的可去间断点。（2） 跳跃间)()(limli00 xffxx 断点。例如 2x2)x(fyx=2 是 y=f(x)的跳跃间断点。以上两种称为第一类间断点。（3）)x(flim0xx0为无穷间断点。（4） )x(flim0x不存在，如 x1sin)x(fyx=0 为 y=f（x）的振荡间断点。（3） （4）称为第二类间断点。函数连续的性质：1. 基本初等函数在它们的定义域内是连续的。2. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的，闭区间上连续函数的性质。（1）最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。（2）零点定理
