1、数字滤波器设计及其应用在本文中，我们分别研究了在 MATLAB 环境下 IIR 数字滤波器的典型设计和完全设计等方法。典型设计是先按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标，据此产生模拟滤波器原型，然后把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，最后再把模拟滤波器转换成数字滤波器。完全设计方法中我们利用函数直接设计出低通、高通、带通和带 阻 滤波器，并分别用巴特沃斯（Butterworth )滤波器、切比雪夫 (Chebyshev)滤波器、椭圆 （C auw)滤波器来实现 ，并比较了各自的频率响应曲线。在 FIR 滤波器的设计中，我们用切比雪夫窗和海明
2、窗设计的带通滤波器的频率响应进行对照，结果表面用海明窗设计的滤波器的频率 特性几乎在任何频带上都比切比雪夫窗设计的滤波器的频率特性好， 只是海明窗设计的滤波器下降斜度较小。本文利用不同的滤波器研究了 MATLAB 环境下的图像处理技术。 对一张无锡马山园林的风景照片进行的二种修正，取得了不同的 效果:先对原图进行线性变换增加了对比度和亮度对这张图像，图像 效果有了 一定的改善。后来我们用非锐化滤波器对修正后的图像再进 行了处理，对图像的过渡失真进行了补偿。：本文还对一幅加噪声婚纱照片的去噪效果进行了研究。比较去噪 效果证明，用小波变换的方法进行去噪，图像处理效果更佳。关键词：数字滤波器；图像处
3、理；小波变换；作 者：王蔚指导教师：顾济华AbstractIn this thesis，the typical and complete designs under MATLAB are studied.The typical design gets the technical parameters from digital filters that should be designed, and then transformed into the analog parameters of a low-pass analog filter prototype. The prototype is
4、 converted into the analog low-pass， high-pass， band-pass and the band-stop filters respectively, which are transformed into the digital ones.The complete design uses the given functions and releases the low-pass， high-pass， band-pass and the band-stop filters directly. But ter worth, Chebyshev and
5、Caoer filters are used for the implementations.In the FIR filter designs, Chebyshev and Hamming windows are used for a band-pass filter. Their frequency responses are compared. The advantage of Hamming window is shown on all bands.Finally, the image processing functions using filters under MATLAB ar
6、e studied.A photo (Wuxi Garden) is modified with two different processes and the different effects can be seen. The linear transformation improved the contrast and brightness of the photo, while the un-sharpening filter compensated the transitions.Another photo is modified with the wavelet transform
7、ation, which shows the better effects on reducing noises.Keywords: digital filter, image processing，wavelet transformationAuthor: Wang WeiDirected by Gu Ji-Hua第 一 章 绪数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着 十分广泛的应用 1n2。目前，数字信号滤波器的设计图像处理、数据压 缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。近年来迅速发展起来 的的小波理论，由于其局部分析性能的优异在图像处理中的应用研究， 尤其是在图像压缩
8、、图像去噪等方面的应用研究，受到了越来越多的 关注3H6。MATLAB 是美国 MathWorks 公司推出的一套用于工程计算的可视 化高性能语言与软件环境 m。M ATLAB 为数字滤波的研究和应用提供 了 -个直观、高效、便捷的利器。它以矩阵运算为基础，把计算、可 视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。M ATLAB 推出的 工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究、工程应 用，其中的信号处理（ signal processing )、图像处理（ image processing )、 小波 （w avelet)等工具箱为数字滤波研究的蓬勃发展提供了有力的工具！8 Hm
9、。本文着重研究了基于 MATLAB 下的 I1R 和 FIR 滤波器的设计实现、 数字图像处理中的滤波器的设计，并就利用小波变换滤波器进行数字图像去噪进行了一些粗浅的尝试。第二章 数字滤波器 2.1 什么是数字滤波器滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤 波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信 号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波 器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字 滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不 要求阻抗匹配等优点。一般用两种方法来实现数字滤波器 ： 一 是釆用通用计算机，
10、把滤 波器所要完成的运算编成程序通过计算机来执行，也就是采用计算机 软件来实现；二是设计专用的数字处理硬件。MATLAB 的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工 具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部 分. 工具箱提供了丰富而简便的设计，使原來繁琐的程序设计简化成 函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工 具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。2.2 数字滤波器的分类数字滤波器从功能上分类：可分为低通滤波器、高通滤波器、带 通滤波器、带阻滤波器。从滤波器的网络结构或者从单位脉冲响应分类：可分为 IIR 滤波器(即无限长单位冲激响应
11、滤波器）和 FIR 滤波器（即有限长单位冲激 响应滤波器）。它们的函数分别为：第一个公式中的 H(z)称为 N 阶 IIR 滤波器函数，第二个公式中 的 H (z)称为（ N-1)阶 FIR 滤波器函数。2.3 数字滤波器的设计要求和方法滤波器的指标常常在频域给出。数字滤波器的频响特性函数 H(ejw) 般为复函数，所以通常表示为H(ejw)-|H(ejw)|eje(w)其中，|H(e) |称为幅频特性函数；9 (w)称为相频特性函数。幅 频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性 反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。一般对 hr 数字滤波 器，通常只用幅频响应函数 i
12、H(e) |来描述设计指标，相频特性一般不 作要求。而对线性相位特性的滤波器，一般用 FIR 数字滤波器设计实 现。IIR 低通滤波器指标参数 如图 2. 3. 1 所示。图中，to H 和 u ,分别为通带边界频率；S ,和 5 ,分别为通带波纹和 阻带波纹；允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内所允许的 最大衰减（dB) 和阻带内允许 的最小衰减（dB) 分别为 a p 和 a s.表示- 1 n , 1 + | 彡 ii 时，a s-201g|H(ejw) |。2.4 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法很不相同， IIR 滤波器设计方 法有两类，经常用到的一
13、类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法 进行的。其设计思路是：先设计模拟滤波器得到传输函数（s),然后 将 HJs)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(Z)。这一类方法是 基于模拟滤波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公式， 也有完整的图表供查阅。更可以直接调用 MATLAB 中的对应的函数进 行设计。另一类是直接在频域或者时域中进行设计的，设计时必须用 计算机作辅助设计，直接调用 MATLAB 中的一些程序或者函数可以很 方便地设计出所需要的滤波器。FIR 滤波器不能采用由模拟滤波器的设 计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率釆样法。也可以借助 计算机辅助设计软件釆用切比
14、雪夫等波纹逼近法进行设计。第三章 IIR 滤波器的设计3.1 典型的 IIR 数字滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有一些典型 的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth)滤波器、切比雪 夫（Chebyshev)滤波器、椭圆（Cauer)滤波器、贝塞尔（Bessel)滤 波器等，这些典型的滤波器各有特点。用 MATLAB 进行典型的数字滤波器的设计，一般步骤如下：按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤 波器的技术指标；根据转换后的技术指标使用滤波器阶数选择函数，确定最小阶 数 N和固有频率 Wn，根据选用的模拟低通滤波器的类型可分别用函数
15、： buttord、cheblord、cheb2ord 、ellipord 等；运用最小阶数 N 产生模拟滤波器原型，模拟低通滤波器的创建 函数有:buttap、cheblap、cheb2ap、ellipap、besselap 等；运用固有频率 Wn 把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通、高 通、带通、带阻滤波器，可分别用函数丨 p21p、lp2hp、lp2bp、p2bs；(5)运用冲激响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字 滤波器，分别用函数 impinvar 和 bilinear 来实现。低通 Chebyshev I 型数字滤波器的设计：设计中需要限定其通带上限临界频率 wp，阻带临
16、界滤波频率 ws，在通带内的最大衰减 rp，阻带 内的最小衰减 rs。设计过程如下：把数字滤波器的频率特征转换成模拟滤波器的频率特征；(例如设定各参数 wp=30*2*pi;ws=40*2*pi;Fs=100;rp=0.3;rs-80;)选择滤波器的阶数：N,Wn=chebl ord(wp,ws,rp,rs/sr);创建 Chebyshev I 型滤波器原型： z，p，k=cheblap(N ，rp);表达形式从零极点增益形式转换成状态方程形式： A，B,C，D=zp2ss(z，p， k);把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器：At，BtCt ，Dt=lp21p(A,B，C，D ，Wn);
17、表达形式从状态方程形式转换成传递函数形式：numl， denl=ss2tf(At，BtCt,Dt);釆用冲激响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器:num2,den2=impinvar(numl,denl ,100);频率响应如图 3.1.1:ChebyshevI图 3.1.1 低通 Chebyshev I 型数字滤波器的频率响应N， Wn=chebl ord(Wp，wS ，rp ，rs，Y) 该函数返回模拟滤波器的 最小阶数 N 和 Chebyshev；型固有频率 Wn。其中的 wp、ws 是以弧度 为单位。如果 rp=3dB,则固有频率 Wn 等于通带截止频率 WJKz,p?k=chebl
18、ap(N,rp) 该函数返回一个 N 阶 Chebyshev I 型滤 波器的零点、极点和增益。这个滤波器有通带内的最大衰减为 rp。Chebyshev I 型滤波器的主要特点是在阻带内达到最大平滑。At，B t，C t，D t-lp21p(A，B ，C ，D ，W n) 该函数把模拟低通滤波器原型转换成截止频率为 Wn 的低通滤波器。num2den2=impinvar(nutnl，d enl，F s) 该函数模拟滤波器传递函数形式 numl，d enl转换为采样频率为 Fs 的数字滤波器的传递函数形 式num2，d en2。F s 缺省时默认为 1Hz。H， W=freqz(num2，d e
19、n2，N ) 该函数返回数字滤波器的频率响 应。当N 是一个整数时，函数返回 N 点的频率向量 H 和 N 个点的复频 响应向量W。N 最好选用 2 的整数次幂，这样使用 FFT 进行快速运算。 N 个频率点均匀地分布在单位圆的上半圆上。系统的 N 默认值为 512。3.2 完全滤波器设计除了典型设计以外，M ATLAB 信号处理工具箱提供了几个直接设 计 IIR 数字滤波器的函数，直接调用就可以设计滤波器，这为设计通用 滤波器提供了方便。设计 Butterworth 滤波器用函数 butter()，可以设计低通、高通、带 通和带阻的数字和模拟滤波器，其特性是通带内的幅度响应最大限度 的平滑，
20、但损失了截止频率处的下降斜度。设计 ChebyshevI 型滤波器用函数 cheby 1 (卜可以设计低通、高通、 带通和带阻的数字和模拟 Chebyshev I 型滤波器，其通带内为等波紋， 阻带内为单调。C hebyshevI 型滤波器的下降斜度比 I 型大，但其代价 目是通带内波纹较大。设计 ChebyshevH 型滤波器用函数 cheby2()。可以设计低通、高通、 带通和带阻的数字和模拟 Chebyshev】1 型滤波器，其通带内为单调，阻 带内等波纹。C hebyshevH 型滤波器的下降斜度比 I 型小，但其阻带内 波纹较大。设计椭圆滤波器用函数 ellip(),与 chebyl
21、、c heby2 类似，可以设 计低通、高通、带通和带阻的数字和模拟滤波器。与 Butterworth 和 chebyshev 滤波器相比，e llip 函数可以得到下降斜度更大的滤波器，得通带和阻带均为等波纹。一般情况下，椭圆滤波器能以最低的阶实现 指定的性能指标。在使用各类滤波器函数时应当注意以下重点：A、阶数和固有频率的选择： N，W n=buttord(Wp，W s，R p，R s) 可 得到符合要求性质的滤波器的最小阶数 N 以及数字 Buttenvorth 滤波器 的固有频率 Wn (即 3dB)。设计的要求是在通带内的衰减不超过 Rp， 在阻带内的衰减不小于 Rs,通带和阻带有截
22、止频率分别是 Wp，W s, 它们是归一化的频率，范围是 0，1 ,对应 TT 弧度。N，W n=chebl ord(Wp，W s，R p，R s) 可得到符合要求性质的滤波器 的最小阶数 N 以及 chebyshev I 型数字滤波器的固有频率 Wn(即 3dB)。设计的要求是在通带内的衰减不超过 Rp,在阻带内的衰减不小于 rs， 通带和阻带有截止频率分别是 Wp，W s,它们都是归一化的频率。N，W n=cheb2ord(WP，W s，R p，R s) 可得到符合要求性质的滤波器 的最小阶数 N 以及 chebyshev II 型数字滤波器的固有频率 Wn(即 3dB )。 设计的要求是
23、在通带内的衰减不超过 Rp，在阻带内的衰减不小于 Rs，通带和阻带有截止频率分别是 Wp，W s,它们都是归一化的频率。N，W n=eIlipord(WP，W S，R P，R s) 可得到符合要求性质的滤波器 的最小阶数 N 以及椭圆数字滤波器的固有频率 Wll (即 3dB)。设计的 要求是在通带内的衰减不超过 Rp，在阻带内的衰减不小于 RS ,通 带 和 阻带有截止频率分别是 Wp，W s,它们都是归一化的频率。B、有关滤波器设计当中的频率归一化问题：信号处理工具箱中经吊使用的频率是 Nyquist 频率 它被定义为采样频率的一半，在滤波器的阶数选择和设计中的截止频率均使用 Nyquis
24、t 频率进行归一化处理。例如对于一个采样频率为 1000 Hz 的 系 统 ， 400Hz 的 归一 化 即 为400/500=0*8。归一化频率的范围在 0，1 之间。如果要将归一化频率转换为角频率，则将归一化频率乘以 n ;如果要将归一化频率转换为 Hz, 则将归一化频率乘以釆样频率的一半。C、 设 计 一 个 N 阶 的 低 通Butterworth 滤 波 器 使 用 函 数 BsA-buUer(N?Wn)f 返回滤波器系数矩阵 B,A,其中固有频率 Wn 必 须是归一化频率 它的最大值是釆样频率的一半。F s 缺省时默认为 2Hl 如果 Wn-W1，W 2是一个两元素的向量，则函数将
25、设计出一个 2N 阶的 带通滤波器，通带为 W1， W2。用 B，A =butter(N，W ti， high）可设计一个高通滤波器。使 用 B， A=buUer(N， Wn， stop） 可 设 计 一 个 带 阻 滤波 器 。 其 中 Wn 必 须 是 一 个 两 元 素 的 向 量 ， 阻 带 的 宽度 为 W1， W2。buUer(N，W n， s，），b uUer(N，W n，h igh， s，），butter(N，W n/stop，s ) 分别用来设计 Buttenvorth 的低通、高通、带通和带阻模拟滤波器。D、 设 计 一 个 N 阶 的 低 通 chebyshev I型 滤
26、 波 器 可 使 用 函 数 B， A-chebyl(N， R， Wn),返 回 滤 波 器 系 数 矩 阵 B， A。其 中 固 有 频 率 Wn 必 须 是 归 一 化 频 率 。 它 的 最 大 值 是釆 样 频 率 的 一 半 。 Fs 缺 省 时 默 认 为 2Hzc 如 果Wn=Wl， W2是 一 个 两 元 素 的 向 量 ， 则 函 数 将 设 计 出 一 个2N 阶 的 带 通 滤 波 器 ， 通 带 为 W1,W2。 R 是 滤 波器 通 带 内 的 最 大 衰 减 35Hz, Fs=100，R p=0.5dB, Rs=40dB 分别用 巴特沃斯（B utterworth)
27、滤波器、切比雪夫（C hebyshev)滤波器、椭 圆（C auer)滤波器，程序设计如下：巴特沃斯低通滤波器：nl ,Wnl=buttord(wp/(Fs/2)ws/(Fs/2),rp,rs5,zf);numl,denl=butter(nl sWnl);切比雪夫 1 型低通滤波器：n2,Wn2=;cheblord(wp/(Fs/2)ws/(Fs/2),rprsJ,zT);num2， den2=chebyl(n2，r p，W n2);切比雪夫 II 型低通滤波器：n3，W n3=cheb2od(wp/(Fs/2)，w s/(Fs/2)，r p， s， z,);num3， den3=cheby2
28、(n3，r p，W n3);椭圆低通滤波器：n4，W n4=ellipord(wp/(Fs/2)，w s/(Fs/2)，r p，r s，z );num4,den4:ellip(n3,rp,rsTWn3);设计出的低通滤波器的频率响应如图 3.2.1。几种类型在高通滤波器设计中的比较：设：W p=35Hz，W s=30Hz，F s=100，R p=0,5dB，R s=40dB 分别用巴特沃斯（B utterworth)滤波器、切比雪夫（C hebyshev)滤波器、椭圆（C auer)滤波器程序设计如下：butterworth 高通滤波器：nl， Wnl =buttord(wp/(Fs/2),w
29、s/(Fs/2):rp,rs,zt);num 1 ,denl =butter(n 1 ,Wnl ;highr); chebyshev I 高通滤波器：n2，W n2=chebl ordfwp/CFs/SXws/fFs/XrprsJz,); num2,den2=chebyl (n2srp, Wn2/highr); chebyshev II 高通滤波器：n3，W n3=cheb2ord(wp/(Fs/2)，w s/(Fs/2)，r p，r s， tzf); num3Jden3-cheby2(n3,rp,Wn3/high);椭圆高通滤波器：n4, Wn4=ellipord(wp/(Fs/2)，w s
30、/(Fs/2)-rp，r s，V ); num4， den4=ellip(n4，r p，r s，W n4,high_);设计出的高通滤波器的频率响应如图 3.2.2。(C)(d)图 3,2,1 低 通 数 字 滤 波 器 频 率 响 应Butterworth 低 通 滤 波 器ChebyshevI 型 低 通 滤 波 器ChebyshevII 型 低 通 滤 波 器椭 圆 低 通 滤 波 器10 15 20 25 30 3510 15 20 25 30 35图 3.2.2 髙 通 数 字 滤 波 器 频 率 响 应Butterworth 高 通 滤 波 器ChebyshevI 型 高 通 滤
31、波 器ChebyshevII 型 高 通 滤 波 器(d)椭 圆 髙 通 滤 波 器用不同的类型设计的带通滤波器的频率响应如图 3*2_3:用不同的类型可以设计出不同的带阻滤波器的频率响应（如图3.2.4 所 示 ） 。从频率响应图中可以看出：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频 特性，通带内平滑；切比雪夫 I 型滤波器的幅频特性在通带内有波动， 阻带内单调；chebyshevK 型滤波器的幅频特性在阻带内有波动，通带 内单调；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，下降斜度比较大， 通带和阻带内均为等波纹，同样的性能指标，椭圆滤波器可以最低的 阶数来实现。这样根据不同的要求可以选用不同类型的滤波器
32、。50*50o0.50010.5000.500图 3.2.3 带 通 数 字 滤 波 器 频 率 响 应Butterworth 带 通 滤 波 器ChebyshevI 型 带 通 滤 波 器ChebyshevIl 型 带 通 滤 波 器椭 带 通 滤 波 器oo050 100 150 200 250 300 350 400 450 500图 3.2.4 带 阻 数 字 滤 波 器 频 率 响 应Butterworth 带 阻 滤 波 器ChebyshevI 型 带 阻 滤 波 器ChebyshevII 型 带 阻 滤 波 器椭 圆 带 阻 滤 波 器 3.3 直接法设计 HR 滤波器MATLA
33、B 提供 yulewalk 函数设计 IIR乘拟和逼近给定的频率特性。函数用法如下：b, ayulewalk(n, f, ra)该 函 数 返 回 一 个 Yule-Walk 滤波器的系数矩阵 b，a ;其中矩阵 f 和 m 是已知的频率响应；n 是滤波器的阶数，其中 f 的元素必须在 0 和 1 之间，而且必须是升序，以 0 开始，以 1 结束，允许出现相同的频率值由 b，a -yulewalk (n， f，m )得到的滤波器可写成B(z) b + b(2)z_I + + b(n + l)z“n A() l + a(2)z-U + a(n + l)zn如图 3.3,1 是用函数 yulewa
34、 k 设计的 Yule-Wa k 滤波器幅频响应 和理想的幅频响应的比较图。理想的响应是：在频率在 0-0.4 之间， 幅值为 0;在频率在 0. 4 1 之间的幅值为 1。设计程序为：f:0 0_ 4 0. 4 1; m- 1 1 0 0;b, a=yulewalk (n，f ，m );0.80.60.40.2H(z)0.10.20,40.50.60.0.80.9图 3. 3. 1 设计 Yule-Walk 滤波器第四章 FIR 滤波器的设计相对于无限冲激响应数字滤波器（H R),有限冲激晌应数字滤波器的特点是：具有精确的线性相位；总是稳定的；设计方式是线性的；硬件容易实现；滤波器过渡过程具有有限区间；
