1、,1.1 集合的概念与运算 最新考纲 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算,1集合与元素 (1)集合元素的三个特征： 、 、 (2)元素与集合的关系有 或 两种，用符号_或 表示 (3)集合的表示法： 、 、 ,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,列举法,描述法,图示法,(4)常见数集的记法,N,N*(或N),Z,Q,R,2.集合间的基本关系,4.集合关系与
2、运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为 个，非空子集个数为 个，真子集有 个 (2)ABAB AB 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21( ) (2)若x2，10，1，则x0，1.( ),2n1,2n,2n1,A,B,(3)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立( ) (4)若ABAC，则BC.( ) (5)已知集合M1，2，3，4，N2，3，则MNN.( ) (6)若全集U1，0，1，2，PxZ|x24，则UP2( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5) (6),1(2
3、015全国卷)已知集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合AB中元素的个数为( ) A5 B4 C3 D2,【解析】 分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可 集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D. 【答案】 D,2(2015全国卷)已知集合A2，1，0，1，2，Bx|(x1)(x2)0，则AB( ) A1，0 B0，1 C1，0，1 D0，1，2 【解析】 化简集合B，利用交集的定义求解 由题意知Bx|2x1，所以AB1，0故选A. 【答案】 A,3(2015天津)已知全集U1，2，3
4、，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，则集合AUB( ) A2，5 B3，6 C2，5，6 D2，3，5，6，8 【解析】 先求得集合B的补集，再进行交集运算 由题意得UB2，5，8， AUB2，3，5，62，5，82，5 【答案】 A,4设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_,(2)(2015广东)若集合E(p，q，r，s)|0ps4，0qs4，0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4，0vw4且t，u，v，wN，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)card(
5、F)( ) A200 B150 C100 D50,(2)利用条件中字母的取值范围及大小关系，依次写出集合E，F中元素的个数 对于集合E，当s4时，p，q，r可取3，2，1，0，故个数为44464； 当s3时，p，q，r可取2，1，0，故个数为33327； 当s2时，p，q，r可取1，0，故个数为2228； 当s1时，p，q，r可取0，故个数为1111. 集合E中元素的个数为642781100. 对于集合F，当u4时，t可取3，2，1，0；,当u3时，t可取2，1，0；当u2时，t可取1，0； 当u1时，t可取0. 故u，t组共可取10个，同理，v，w组也可取10个， 集合F中元素的个数为101
6、0100. 故card(E)card(F)100100200. 【答案】 (1)A (2)A,【思维升华】 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题,跟踪训练1 (1)设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为( ) A3 B4 C5 D6 (2)已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_,【解析】 (1)因为集合M中的元素xab，aA，bB， 所以当b4时，a1，2，3，此时x5，
7、6，7. 当b5时，a1，2，3，此时x6，7，8. 所以根据集合元素的互异性可知，x5，6，7，8. 即M5，6，7，8，共有4个元素 (2)因为3A， 所以m23或2m2m3. 当m23，即m1时，2m2m3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m1不符合题意，舍去；,题型二 集合间的基本关系,(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围是_ 【解析】 (1)根据集合的关系判断 A1，2，3，B2，3， 2，3A且2，3B，1A但1B，BA. (2)当B时，有m12m1，则m2. 当B时，若BA，如图,【思维升华】 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，
8、必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图来直观解决这类问题,跟踪训练2 (1)设M为非空的数集，M1，2，3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有( ) A6个 B5个 C4个 D3个 (2)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围是( ) A(0，1 B1，) C(0，1) D(1，),【解析】 (1)集合1，2，3的所有子集共有238(个)，集合2的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有826(个) (2)Ax|ylg(
9、xx2)x|xx20(0，1)，Bx|x2cx0(0，c)，因为AB，画出数轴，如图所示，得c1.【答案】 (1)A (2)B,题型三 集合的基本运算 【例3】 (1)(2015山东)已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB( ) A(1，3) B(1，4) C(2，3) D(2，4) (2)(2015安徽)设全集U1，2，3，4，5，6，A1，2，B2，3，4，则A(UB)( ) A1，2，5，6 B1 C2 D1，2，3，4,【解析】 (1)先化简集合A，再利用集合的交集的定义或利用数轴求解 由已知可得集合Ax|1x3，又因为Bx|2x4，所以AB(2，3)，故选C. (2)先求集
10、合B的补集，再求交集 U1，2，3，4，5，6，B2，3，4， UB1，5，6，A(UB)1 【答案】 (1)C (2)B,【思维升华】 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化,跟踪训练3 (1)(2015浙江)已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q( ) A0，1) B(0，2 C(1，2) D1，2 (2)(2015辽宁大连双基)已知全集U0，1，2，3，4，集合A1，2，3，B0，2，4，则(UA)B为( ) A0，
11、4 B2，3，4 C0，2，4 D0，2，3，4,【解析】 (1)先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算 由x22x0，得x0或x2，即Px|x0或x2，所以RPx|0x2(0，2)又Qx|1x2(1，2，所以(RP)Q(1，2) (2)因为U0，1，2，3，4，A1，2，3，所以UA0，4，所以(UA)B0，4，故选A. 【答案】 (1)C (2)A,【思维升华】 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破题新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于
12、从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质,跟踪训练4 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，满足XY(UX)Y，则对于任意集合X，Y，Z，X(YZ)等于( ) A(XY)(UZ) B(XY)(UZ) C(UX)(UY)Z D(UX)(UY)Z,【解析】 因为XY(UX)Y， 所以YZ(UY)Z， 所以X(YZ)(UX)(YZ) (UX)(UY)Z，故选D. 【答案】 D,题型五 分类讨论思想在集合中的应用(必考) 【例5】 集合M的元素为自然数，且满足：若xM，则8xM，试回答下列问题： (1)写出只有一个元素的集合M. (2)写出元素个数为2的所有集合M. (
13、3)满足题设条件的集合M共有多少个？ 【思维点拨】 抓住xM时，8xM这一条件，对元素进行逐一验证，然后找出满足题意的基本元素，最后写出满足题意的解,【解析】 (1)集合M中只有一个元素，根据已知必须满足x8x，x4. 故只有一个元素的集合M4 (2)当M中含有两个元素时，其元素只能是x和8x，从而含有两个元素的集合M应为0，8，1，7，2，6，3，5 (3)满足条件的集合M由集合4，0，8，1，7，2，6，3，5中的元素组成，它包括以下五种情况：,由以上一个集合中的元素组成的集合有4，0，8，1，7，2，6，3，5，共5种 由以上两个集合中的元素组成的集合有4，0，8，4，1，7，4，2，6
14、，4，3，5，0，8，1，7，0，8，2，6，0，8，3，5，1，7，2，6，1，7，3，5，2，6，3，5，共10种,由以上三个集合中的元素组成的集合有4，0，8，1，7，4，0，8，2，6，4，0，8，3，5，4，1，7，2，6，4，1，7，3，5，4，2，6，3，5，0，8，1，7，2，6，0，8，1，7，3，5，1，7，2，6，3，5，0，8，2，6，3，5，共10种,由以上四个集合中的元素组成的集合有4，0，8，1，7，2，6，4，0，8，1，7，3，5，4，0，8，2，6，3，5，4，1，7，2，6，3，5，0，8，1，7，2，6，3，5，共5种 由以上五个集合中的元素组成的集合有
15、4，0，8，1，7，2，6，3，5，1种综上可知，满足条件的集合M共有31种,【思维升华】 本题体现了分类讨论的思想，解决本题可从集合中元素的互异性及两元素之和为8的特点出发，在第(3)问中，从集合M中元素的特点入手，满足条件的集合可含有集合4，0，8，1，7，2，6，3，5中的1个，2个，3个，4个，5个集合中的元素，分别“数”之，最后求和,【解析】 当a，b，c全为正数时，x4；当a，b，c中有且只有一个负数时，x2；当a，b，c中有两个是负数时，x0；当a，b，c全是负数时，x2，故选D. 【答案】 D,易错警示系列1 遗忘空集致误 【典例】 设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa21
16、0，xR若BA，则实数a的取值范围是_ 【易错分析】 集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解.,解得a1，此时B0满足题意； 当B时，4(a1)24(a21)0， 解得a1. 综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1. 【答案】 (，11,【温馨提醒】 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)已知集合B，若已知AB或AB，则考生很容易忽视A而造成漏解在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论,方法与技巧 1集合中的元素的
17、三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化 2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到,3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现 失误与防范 1解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集) 2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解 3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系,4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,
