1、第一章 集合一 集 合1.1 集 合 教学目的使学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解“属于” 关系的意义； 3.初步了解有限集、无限集、空集的意义. 重点难点 重点：集合的基本概念与表示方法. 难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合. 1.1.1 集合的基本概念 (第一课时 )教学目的 使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 教学过程 一、复习引入 集合概念及其基本理论称为集合论，它的创始人是德国数学家康托尔（Cantor1845-1918）.它是近、现代数学的一个重要的基础.一方面，许多重要的
2、数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等，都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其所反映 的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 下面我们正式引入集合的概念. 二、学习、讲解新课 集合与集合的元素 先考察下面几组对象： 1，2，3，4，5； 与一个角的两边距离相等的所有点； 所有的直角三角形； x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2； 某农场所有的拖拉机； 高一（2）班教室里的所有桌子； 连云港外国语学校的所有学生. 它们分别是由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组 对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对
3、象集在一起就成为一个集合，也简称集。.集合中 的每个对象叫做这个集合的元素. 例如是由 1，2，3，4，5 组成的集合，其中的对象 1，2，3，4，5 都是这个集合的元素，而其他 的对象则不是此集合的元素. 注意： 组成集合的可以是任何事物、东西等，例如是一些数，是一些点、是一些图形、 是一些整式、是一些物体、是一些人等等； 在集合里的 对象才能叫做该集合的元素，如中，不能说“元素 2 是这个集合的元素”，而应该 说“2 是这个集合的元素” ，或者说“对象 2 是这个集合的元素”. 练习：P5 1 表示集合的符号：大括号与大写的拉丁字母. 我们一般用大括号表示集合.例如上述的可以分别表示成 1
4、，2，3，4，5与连云港外国语学校的学生（注意不能写成 连云港外国语学校的所有学生 ，因为这里大括号就表示着“所有”的意思）. 为了方便起见，还常用大写的拉丁字母表示集合，如 A，B，M，E 等；用小写的拉丁字母表示集合 里的元素，如 a,b,m,e 等. 常用数集及其记法 一些常用的数集我们常用下列记号： 全体非负整数的集合通常简称为非负整数集（或自然数集） ，记作 N，非负整数集内排除 0 的集，也 称正整数集，表示成 N*或 N+ ； 全体整数的集合通常简称为整数集，记作 Z； 全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作 Q； 全体实数的集合通常简称为实数集，记作 R. 练习：(1)P5
5、2(2)判断下列说法是否正确1、所有在 N 中的元素都在 N*中 ( ) 2、所有在 N 中的元素都在 Z 中 ( )3、 有在 N*中的元素都在 Z 中 ( ) 4、所有在 Q 中的元素都在 R 中 ( )5、 有既在 R 中又在 N*中的数组成的集合中一定包含 0（ ） 6、N 不在中的数不能使方程 4x=8 成立（ ） 集合元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a不属于集合 A，记作 a A（或 a A）.例如，设 D=1，2，3，4，5，则 5D，而 3/2 D. 集合元素的特性 我们知道，集合可以看成
6、是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素.集合中的元 素具有以下的特性： 确定性：集合中的元素必须是确定的,不能模棱两可.这就是说，给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象） ，相同的元素在 集合中只能算作一个. 无序性：集合中的元素间是无次序关系的. 任意性：集合中的元素可以是任意的具体确定的事物. 求解有关集合问题时，能紧紧抓住元素的特证进行分析，将有利于问题的解决. 练习：1、回答下列问题（1） A=所有素质好的人能否表示为集合 （2） A=2,2,4表示是否准确（3） A= a,b ，B= b,a是否表
7、示同一集合（4） 把某学校的全体教师、汽车、篮球、教学楼集在一起，能否组成一个集合。2、 （1）A= 2， 4 B=1,2 , 2,3 , 2,4 , 3,5 A 与 B 的关系如何 集合的表示方法 集合的表示方法，通常有列举法、描述法和图示法三种. 列举法：就是把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如上述、组 成的集合可分别表示为1，2，3，4，5 与 x 2，3x+2，5y 3-x，x 2+y2. 注意：1.用列举法表示集合时，不管元素的排列顺序如何，只要所列的元素完全相同，它们表达的就是同一个集合. 2.集合中的元素是没有重复现象的，即任何两个相同的对象在同一个集合中
8、时，只能算作这个集合的一个元素. 练习 1：用列举法表示下列集合： （1）小于 5 的正奇数 （2）方程 x2-9=0 的解的集合 (3)15 以内的质数 请同学们思考如何表示一个平面上的所有直角三角形组成的集合？能否用刚才的列举法来表示？ 描述法：就是把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.这时往往在 大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公 共属性.例如，由不等式 x-32 的所有的解组成的集合（即不等式 x-32 的解集） ，可以表示为x R|x-32；由抛物线 y=x2+1 上所有点的坐标组成的集合，可以表示为（x,y
9、）| y=x2+1. 注：有时也可以用冒号或分号代替竖线，写成xR：x-32或xR；x-32. 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可以省去竖线及其左边的部分,例 如，由所有直角三角形组成的集合，可以表示为直角三角形 ；由连云港外国语学校所有学生组成的集合，可以表示为连云港外国语学校的学生 等. 练习 1：用列举法或描述法表示下列集合： 小于 100 的自然数； 不等式 x2-x+40 的解集； 练习 2：用描述法表示下列集合（1）抛物线 x2=y 上的点 (2) 抛物线 x2=y 上的点的横坐标（3）抛物线 x2=y 上的点的纵坐标 图示法：就是用一条封闭的曲线的内部来表
10、示集合的方法.例 如，图 1-1 表示任意一个集合 A；图 1-2 表示集合1 ，2，3，4，5. 以上讲了集合的三种表示方法，究 竟用那种方法，要根据各表示法的优点及具体问题而定.宜用描述法表示；而集合xR |-1x2则不能用列举法表示 . 集合的分类：有限集与无限集 从前面的例子我们看到，有些集合的元素有限，有些集合的元素无限，因此集合按元素有限与无限 可分为有限集与无限集： 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如上节开始所例举的组成的集合都是有限集. 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如上节开始所例举的组成的集合都是无限集. 什么叫空集？ 先看一个例子：由方程 x2+1=0 的
11、所有实数解组成的集合，可以表示为 xR|x2+1=0，由于方程 x2+1=0 无实数解，所以此集合是没有元素的.我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .例 如，两条平行线的公共交点=，两边之和小于第三边的三角形=等. 注意：不要把数 0 或集合0与空集 混淆，数 0 不是集合，0是含有一个元素的集合，而 是不 含任何元素的集合. 三、例题： 【例 1】下面有四个命题(1)地球周围的行星能确定一个集合；(2)实数中不是有理数的所有数的全体能确定一个集合；(3)1，2，3与1，3，2是不同集合；其中正确命题的个数是A0 个 B1 个C2 个 D3 个【例 2】 设 A=x2，2x 25x，12，已知3A ，求 x【例 3】判断下列集合哪些是有限集，哪些是无限集(1)(x，y)|x y1=0是_(2)xN|4x 67是_(3)某只山羊身上的毛组成的集合是_
