1、第四章 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 矩、协方差矩阵,4.1 数学期望 一.数学期望的定义,例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：,数学期望描述随机变量取值的平均特征,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称,定义 2. (p110)若XPX=xk=pk, k=1,2,且,为离散型随机变量X 的数学期望，简称期望或均值。,，则称,为离散型随机变量X 的数学期望,例2 掷一颗均匀的骰子，以X 表示掷得的点数，求X的数学期望。,定义 3 若X f (x), -x,为连
2、续型随机变量 X 的数学期望。P(110),则称,例3. 有5个相互独立工作的电子装置，其寿命 ，服从同一指数分布，其分布函数为,将这5个装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望 将这5个装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望,解：由随机变量函数的分布，得,串联： NminX1, X2, X3, X4, X5的分布函数为：,其密度函数为,并联： MmaxX1, X2, X3, X4, X5的分布函数为：,其密度函数为,二.几个重要r.v.(random variable)的期望,1.0-1分布的数学期望,E(X) = p,2. 二项分布B(n, p),3.泊松分布,4. 均匀分布U(a, b
3、),5.指数分布,6. 正态分布N ( , 2 ),EX1：设随机变量X的分布律为,求随机变量Y= X 2的数学期望,三.随机变量函数的期望,定理1 若 XPX=xk=pk, k = 1,2, 则Y=g(X)的期望E(g(X)为(p115),推论: 若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij , i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望,例4 设随机变量(X , Y )的分布律如下，求E(XY),解:,解： Y=ax+b关于x 严单，反函数为,Y 的概率密度为,EX2：设随机变量X 服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a0),定理2 若Xf (x),
4、 -x, 则Y=g(X)的期望,推论 若(X, Y) f (x , y), -x, -y, 则Z=g(X, Y)的期望,例2 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则,=10分25秒,设X服从N(0，1)分布，求E(X 2),E(X 3),E(X 4),EX,1. E(c)=c,c为常数; 2。E(cX)=cE(X), c为常数;,四.数学期望的性质,证明:设X f (x),则,3. E(X+Y)=E(X)+E(Y );,证明:设(X,Y) f (x , y),4
5、. 若X与Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,证明:设(X,Y) f (x,y),例2.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数,解:设Xj为第j 组的化验次数，,Xj,Pj,1 101,X为1000人的化验次数，则,例3 若XB(n,p),求E(X ),解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,EX1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X ，Y，Z
6、独立，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1) 的数学期望,EX2 设随机变量,相互独立，且均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,4.2 方差(Deviation) 一. 定义与性质,方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。,？,如何定义？,波动 程度:,能够反映此情形,但计算比较麻烦,1.(p121)定义 若E(X),E(X2)存在，则称 EXE(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,可见,(deviation , variance),2.推论 D(X)=E(X2)E(X)2.,证明: D(X)=EXE(X)2,例1：
7、设随机变量X的概率密度为,1)求D(X) , 2)求,解：,3. 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D(X)=0，则存在常数C，使 PX=C=1, 且C=E(X);,(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；,证明:,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,证明:,X与Y 独立,1. 二项分布B(n, p)：,二.几个重要r.v.的方差,解法二:,设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,2. 泊松分布p()：,由于,两边对求导得,或,或,3. 均匀分布U(a, b)：,4.指数分布：,5. 正态分布N( , 2)：,思考：1.请给出一个离散型随
8、机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。,2.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn求E（Y2）,三.切比雪夫不等式 (P128),若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：,证明：设,例 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解:由切比雪夫不等式,令,4.3 协方差，相关系数 一.协方差定义与性质,1.协方差定义 (P129)若r.v. X的期望E(X)和Y的期
9、望E(Y)存在, 则称 Cov(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 为X与Y的协方差（covariance ）, 易见 Cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y).,当Cov (X,Y)=0时，称X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,例 设(X , Y)在D=(X , Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。,2.协方差性质(1) Cov (X, Y)=Cov (Y, X);(2) Cov (X,X)=D(X); Cov (X , c)=0(3) Cov (aX, bY)=abCov (X , Y), 其中a, b为 常数；(4)
10、 Cov (X+Y，Z)=Cov (X, Z)+Cov (Y, Z);(5) D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov (X, Y) .,EX:设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), Cov (X , Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差,解:,D(V)=D(4X+3Y+1)= D(4X+3Y),=D(4X) +D(3Y)2Cov(4X , 3Y),=16D(X) +9D(Y)24Cov(X , Y),=48 +924,XB（12,0.5),Y N(0,1),=33,同理：,D(W)=D(2X+4Y)= 28,Cov (V , W)= Cov (4X+3
11、Y+1 , 2X+4Y),=Cov (4X+3Y+1 , 2X)+Cov (4X+3Y+1 , 4Y),=2Cov (4X+3Y+1 , X) + 4Cov (4X+3Y+1 , Y),=8Cov (X , X) 6Cov (Y, X) 2Cov (1, X) 16Cov (X , Y) 12Cov (Y , Y) 4Cov (1 , Y),=8D(X) 10Cov (X, Y) 12D(Y),二.相关系数,1. 定义 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且D(X)0,D(Y)0，则,称为X与Y的相关系数. 注：若记,称为X的标准化，易知E（X*）=0，D（X*）=1.且,2.相关系数的
12、性质(1) |XY|1；(2) |XY|=1存在常数a , b 使PY= aX+b=1；(3) X与Y不相关 XY=0;,1.设(X, Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,EX,D,1,x=y,解,以上E(X )的结果说明了什么？,EX2,解1),2),可见，若（ X ， Y ）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,4.4 矩、协方差矩阵(p133),1. k阶原点矩 Ak=E(Xk), k =1, 2, 而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩； 2. k阶中心矩 Bk=EXE(X)k, k=1, 2, 而E|XE(X)|k称为X的k阶绝对中
13、心矩； 3. k +l阶混合原点矩 E(Xk Yl), k, l =0, 1, 2, ； 4. k +l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, ；,. 协方差矩阵(p134),1.定义 设X1， , Xn为n个r.v., 记cij=Cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1， , Xn的协方差矩阵C。即,P135 n维正态分布,例4 设(X, Y)服从 N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=X/3+ Y /2 1)求Z的概率密度 2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？,六种常用随机变量的期望与方差,小结,
