1、1 SWJTU 随机变量及其分布函数 第二章 第一节 SWJTU -刘赪 - Def. 设 E为随机试验，其样本空间 S=e， x eS Xe XXe R ()() (,) = -+ 若对于每一个 ，均有一个实 数 与之对应，这样一个定义在 样 本空间上的单值实函数 称为随机变量 ,值域为 。 随机变量 定义 SWJTU -刘赪 - 分布函数 分布函数的概念 分布函数的性质 例题 SWJTU -刘赪 - ()() FxPXx = 0 X x Def. 设 X是一个随机变量 , x是任意实数 ,函数 称为 X的分布函数。 分布函数 定义 SWJTU -刘赪 - 1212 1 ,()() xxFx
2、Fx “ ） 分布函数的性质 -1 2 0()1()lim()0()lim()1 x x Fx FFx FFx - + -= += ） 0 3 ()(0)lim()() Fx FxFxFx e e + +=+= ） 是右连续函数； 即 SWJTU -刘赪 - 121221 4 ,()()() xxPxXxFxFx “=- ） ( )13RFx 易证：若定义在实数空间上的函数 满足上述）， 则它必为某随机 变量的分布函数。 分布函数的性质 -22 SWJTU -刘赪 - 课堂练习 1 3 ,? 02 02 1 (1)()20, (2)()sin2 2 1 20 0000 1 (3)()sin0,
3、 4()0 22 1 11 22 X x x FxxFxxx x x xx FxxxFxxx xx p p p p =-= =+ 如下四个函数中哪一个可作为随机变量的分布函数 （）1 SWJTU 离散型随机变量 第二章 第二节 SWJTU -刘赪 - 离散型随机变量的定义 若随机变量 X的可能取值仅有有限或可列 多个，则称此随机变量为离散型随机变量。 SWJTU -刘赪 - 离散型随机变量的概率分布 X 定义设离散型随机变量的所有可能取值 , kkk xXxXx = 为且取值为的概率即事件的1,2, kk PXxpk = L 概率为 1 : (1)0 (2)1 kkk k ppp = = 若满
4、足条件 () X 则称上式为的概率分布或分布律 。 注：概率分布有三种表示方 式 p k X x 1 0 x 2 x 3 x k 1 ,0,1 kkkk pPXxpp = （） 分析表达式： 12 12 12 12 (2)() k k k kk xxx xxx X ppp PXxppp = LL LL LL LL 表格或矩阵表达式： 或 (3)图形表达式 ： SWJTU -刘赪 - 离散型随机变量的分布函数 12n xxx L 若 ， 则 1 112 1223 1211 121 0 () 1 nnn nnn xx pxxx ppxxx Fx pppxxx ppppxx - - + = + +=
5、 LL L L SWJTU -刘赪 - 分布律的求法 Step 1：先确定 X的 全部 可能取值 x k ,k=1,2, ； Step 2： 具体求出 事件 X= x k 的概率，即 p k 。 01 0.411() 0.813 13 x x XFx x x X - - = 例 设 r.v. 试 求 的概率分布。2(1) ()113 FxX - 解 ： 的间 断点 为，即为的可能取值 ； 1 (2) (1)0.400.4 pPX =-=-= 2(1)0.80.40.4 pPX =-= 3 (3)10.80.2 pPX =-= 1130.40.40.2 k X p - 即所 求 为 SWJTU
6、-刘赪 - 离散型随机变量的 常见分布 SWJTU -刘赪 - Bernoulli试验 (),()1(01), 设随机试验的结果只有两个或 ， 且 将独立地重复进行次， 则称这一串重 复的独立试验为重试验 . EAA PApPApqp En nBernoulli =-= SWJTU -刘赪 - 1） PX=k= p k (1-p) 1-k k =0,1 (0p1) 2） X PX=k 0 1 1-p p 00 ()101 11 x Fxpx x =- （ 0-1）分布（两点分布） SWJTU -刘赪 - ,01 0 () 1 : (1), (2), SAAS eA XXe eA A A =-
7、= 对于一个随机试验，若其样本空间 只包含两 个 元素 ， 即 ，则 总 可在定义一个 服从 （）分布 的随机变量。 来描 述这个随机试验的 结果 。 例 对 新生婴儿进行性别登记记女婴出现 的事件为 ； 检查 一件 产品 是 否合 格 记合 格 品 的事件为。 应用模型 SWJTU -刘赪 - 0.3 设一 射手击 中 目标 的概率为，试 求 一 次射 击 击 中 目标次 数的概率分布与分布函数。 1 :()0.30.70,1 kk PXkk - = 解 00 ()0.701 11 x Fxx x = 例题 -13 SWJTU -刘赪 - 二项分布 问题： n重 Bernoulli试验中事件
8、 A发生的次数 00 ()(1) kknk n kxkx FxPXkCpp - =- 2） X 服从参 数为 n, p的 二项 分布， 记 为 X B(n,p)。 (1) 0,1, kknk n PXkCppkn - =-= L 1） SWJTU -刘赪 - 某厂自称产品的次品率不超过 0.5%,经抽样检查 ,任抽 200 件产品就查出了 5件次品 , 试问上述的次品率是否可信 ? 例题 -2 ( ) X XB 0.005 200200,0.005 解 ：如 果该产品 的 次品 率为 ， r.v. 表 示 件 产品 中的 次品 个数，则 0.5% 其概率 非常小 ， 根据 实 际推断原理 ，
9、该厂产品 的 次 品 率 不超过 是 不 可 信 的。 ( ) PXC 552005 200 5(0.005)(0.995)0.00298 - = SWJTU -刘赪 - 补充 ： 进行 一 系列独立 的 Bernoulli试验，每 次 成功 （即事件 A出现 ）的概率为 p， 则 ( ) ( ) ( ) k PkPXkpp k 1 11,2,3, - =- = LL 第次才成功 ( ) ( ) ( ) nk kk n Pkn PXnCpp nkk 1 1 1,1, - - - =- =+ LL 第次成功出现 在 第次 试验 几何 分布 Ge（ p） 帕斯卡 分布 Nb（ k， p） SWJT
10、U -刘赪 - 一 张英语 试 卷 ，有 10道选择填 空 题 ，每 题 有 4个 答 案 ， 只 有 1个是 正 确 答案 。某 同学投 机取 巧 ，随 意 填 空，试 问他至少 填 对 6题 的概率是 多大 ? X 解 ：设 r.v. 表示 “猜 对的 题 数 ” ,则 ( ) kk k k PXC 10 10 10 6 13 60.0197 44 - = = XB 1 10, 4 例题 -3 SWJTU -刘赪 - 思考题 k, 0,1,2,. . ! m k k pek k p l l - = 设某购物网站任一时刻有个顾客点击浏览 的 概率 而每一个顾客购物的概率等于。如果每一 个 顾
11、客是否购物是相互独立的，试问任一时 刻 有个顾客在该网站购物的概率是多少？ SWJTU -刘赪 - 巴拿赫火柴盒问 题 某数 学 家 有 两 盒火柴 ，每 盒 有 n根 火柴 ，每 次 用火柴时他 在 两 盒 中 任 取一 盒 并 从 中 任 取 1根 。试 求 他首 次 摸到 空 盒时另 一 盒 中 还 有 r根 火柴 的概率；若 第 一 次 用完 一 盒火柴时 （ 不 是 发 现 空）， 而另 一 盒 中 还 有 r 根 火柴 的概率。 （ 1rn ） （ 1rn ） 课堂练习4 SWJTU -刘赪 - 泊松分布 0 10,1,2, ! 0(); () ! k k kx e PXkk k
12、X e Fx k l l l lpl l - - = = L ） 其中 为 常 数， 记 作 2） 应 用模 型： 描 述 大 量 独立 试验中 稀 有事件 A出现次 数的分布 模 型 . SWJTU -刘赪 - , , (1)() ! k kknk n n p np e PXkCppnp k l l l - - =-= （ 泊松逼近 定 理 ） 当贝努利 试验的 次 数 很大 ， 且在一 次 试验 中某事件 发 生 的概率 较 小 时 可 用泊松 分布 公 式作 二项 概率的 近似计算 即 当很大很 小时 SWJTU -刘赪 - 例题 -4 寿命保险问题 设在 保险公司里 有 2500个 同
13、 一 年龄和 同 社会阶层 的 人 参 加了人寿保险 。在一 年里 每个 人死 亡 的概率为 0.002，每个 参 加保险 的 人 在每 年 一 月 一 日 付 12元 保险费 ， 而死亡时家属 可 到保险公司领 取 赔付 费 2000元 。试 问 ：（ 1） “一 年内保险公司亏 本 ”（ 记 为 A）的概率是 多少？ （ 2） “一 年内保险公司获利 不 少 于 10000， 20000元 ”（分 别记 为 B 1 ,B 2 ）的概率是 多 少？ SWJTU -刘赪 - 解 ：每 年保险公司收入 为 2500 12=30000元 ， 设 X为 2500人 在一 年 中 死亡 的 人 数，则
14、 保险公司 应 赔付 2000X元 ，若 A发 生 ， 则有 2000X30000 得 X15（ 人 ） 即若一 年 中 死亡人 数 超过 15人 ，则 公司 亏 本（ 此处 不 计 3万 元 所 得利息 ）。 SWJTU -刘赪 - kkk k kkk k k k XB PAPPX C C e k 2500 2500 2500 16 15 2500 2500 0 15 5 0 (2500,0.002), ()()(15) (0.002)(0.998) 1(0.002)(0.998) 5 10.000069 ! - = - = - = = = =- -= 故 保险公司亏 本 SWJTU -刘赪
15、 - kkk k kk kk BXX PBP PXC ee kk 1 1 10 2500 2500 0 10 55 011 (2)30000200010000,10, ()(10) (10)(0.002)(0.998) 55 10.986305 ! 1000098% - = - = - = = =-= 发 生 即故 一 年 中 死亡人 数 不超过 人 即 保险公司获利 不 少 于 元 的概率在 以 上 。5 SWJTU -刘赪 - kkk k kk kk PBPX C ee kk 2 5 2500 2500 0 5 55 06 ()(5) (0.002)(0.998) 55 1 ! 10.38
16、40390.615961 200000.62 - = - = = = =- =-= 同理 即 保险公司获利 不 少 于 元 的概率 约 为 。1 SWJTU 连续型随机变量 第二章 第三节 SWJTU -刘赪 - 连续型随机变量 连续型随机变量的定义 概率密度的性质 几点说明 SWJTU -刘赪 - 如 果 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 存 在 非 负 函数 f (x),使 对于 任意 实数均有 ()() x Fxftdt - = 则称 X为连续型随机变量 ,其中函数 f (x) 称为 X的概率 密度 函数 , 简 称概率 密度 。 连续型随机变量 定义 SWJTU -刘赪 - 1
17、 ()0(,) fxx -+ ） 非 负 性 ： () fx x 连续型随机变量 性质 2()1 fxdx + - = ） 规范 性 ： ()()()1 fxdxFPS + - =+= 即 注：这 两 个 性 质 是 判 断 f（ x）是 密度 函数的 充 要 条件 ！ SWJTU -刘赪 - 12 3 , xx “ ） ( ) ( ) ( ) 1221 PxXxFxFx =- () fx 12 xx x 2 1 () x x fxdx = SWJTU -刘赪 - 4 () ()(). fxxFxfx = ）若 在 处 连续 ,则 ()() fxFx 表明密度 函数可与分布函数 相互 确定 。
18、 ( ) ( ) 0 5) ()lim x FxxFx fx x + D +D- = D ( ) PxXxxfxx +DD 0 lim x PxXxx x + D +D = D2 SWJTU -刘赪 - 1 ()0 PXa = ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2) PaXbPaXbPaXb PaXb = 设随机变量 具 有概率 密度 试确定 常 数 并 求 的分布函数 及 。 例题 1 SWJTU -刘赪 - 3 0 33 x kk e -+ =-=3 k = 故 3 30 () 0 0 x ex fx x - = 所 以 0,()()0 x xFxftdt - = 当时 3 0 : 1
19、x kedx + - = 解 由 于 SWJTU -刘赪 - 33 0 00,()3 x ttx xFxedte - =- 当时 3 1 x e - =- 3 10 () 0 0 x ex Fx x - - = 即 0.3 (0.1)1(0.1)1(0.1)1(1)0.7408 PXPX Fe - =- =-=-= 故 SWJTU -刘赪 -01 ()2120 13 () 22 X xx fxxx FxPX =- 设随机变量的 密度 为 其它 求 分布函数 及 。 例题 2 SWJTU -刘赪 - : 0,()00 x xFxdt - = 解当时 2 0 0 01,()0 2 x x xFxd
20、ttdt - =+= 当时 01 01 2 12, ()0(2)21 2 x x Fxdttdttdt x x - =+- =-+- 当时3 SWJTU -刘赪 - 012 012 2, ()0(2)01 x x Fxdttdttdtdt - =+-+= 当时 2 2 00 01 2 () 2112 2 12 x x x Fx x xx x = -+- 所 以 13313 ()()() 22224 PXFF =-= 故 SWJTU -刘赪 - 连续型随机变量的 常见分布 SWJTU -刘赪 - 11 () 0 axb fx ba = - ） 其它 0,1,(0,1) abU = 当时 称为 标
21、 准 均 匀 分布 。 (,) XUab 记 作 x 0 ab () fx 均匀分布 SWJTU -刘赪 -0 2()1 xa xa Fxaxb ba xb - = - ） x 0 ab ( ) Fx SWJTU -刘赪 - cl c cclab PcXclfxdx 3(,)(,) ()() + “+ += ） ， Xab (,) 即 取值于 中 任 一 小 区 间 内 的概率 只 与 小 区 间 长 度 有 关 ， 而 与 小 区 间 位置无关 。 “ “ 故 均 匀 分布 常 用 来描 述在 区 间上 等 可能 投点 ， 随机 投点 的试验。 cl c dx ba 1 + = - l ba
22、 = - SWJTU -刘赪 - 10 , 5 X 某 公 共汽车站 每 隔 分 钟 有一 辆 公 共汽车 通 过 ， 现 有一 乘客 随机 到 站候车 设表示 乘客 的 候车 时 间， 问 该 乘客候车 时 间 小 于 分 钟 的概率。 例题 34 SWJTU -刘赪 - : (0,10) (0,10) XU 解 乘客 到 站相 当 于在 内 随机 投点 ， 可 见 ，即 1 010 10 () 0 x fx = =+= 故 3 2 3, 3 Y YB = 记三 次独立 观测 中 观测 值 大 于的 次数 ， 则 3 3 3 2 2120(2)()() 3327 kkk k PYC - =
23、= 故 SWJTU -刘赪 - 0 1() 0 0 () x ex fx x XZ a a a - = ） 记 作 。 () fx a x 0 0 () Fx x 10 2() 00 x ex Fx x a - - = ） 指数分布 SWJTU -刘赪 - 一种 重 要 的 寿 命 分布，在可 靠 性理 论及排队论 中有 重 要 应 用 。 例 如： （ 1） 保险 丝 ， 宝石轴承 ， 陶瓷制 品 的 寿 命 分布； （ 2） 电子 元 件 及 设 备 的 寿 命 分布； （ 3）一 些动物 的 寿 命 分布； （ 4） 电话 中的 通话 时 间，随机 服 务 系 统 中的 服 务 时 间分
24、布。 应用模型 SWJTU -刘赪 - PXt = PXstXsPXt += 指 数分布的 无 记 忆 性 PXstXs + ( ) ( ) PXstXs PXs + = I PXst PXs + = ( ) () 1 1 Fst Fs -+ = - ( ) st s e e a a -+ - = t e a - =5 SWJTU -刘赪 - 600 (:), 1 0 600 () 0 0 200 x X ex fx x - = 某仪器装 有三 只独立 工 作的 同 型 号 的 电子 元 件 ， 其 寿 命 单 位 小 时 都 服从同 一 指 数分布概率 密度 为 试 求 在 仪器 使用 的
25、最初 小 时内至少 有一 只 电 子 元 件 损坏 的概率。 例题 5 SWJTU -刘赪 - 1 200 6003 0 1 1 600 x edxe - =- 200, Y = 记 三 只元 件中 使用寿 命 小 于 h的 只 数 (3,) YBp 显然 ， 1 31 3 1(11)1 ee - - =-+=- 1 600 XZ 解 ： 200 (200)() PXfxdx - = 1 3 (200)1 pPXe - =- 1 PY 故 10 PY =-= 3 1(1) p =- SWJTU -刘赪 - 2 2 () 2 2 1 1) () 2 (,) x fxex XN m s ps ms
26、 - - =- -=+ 的图形 特征 ： 关 于对称即 或 正态分布 SWJTU -刘赪 - . ,; ,; b m m m 图形右 移 形 状 不 变 图形 左移 形 状 不 变 称为 位置 参 数 x () fx mm max 1 . ()() 2 cffx m ps = SWJTU -刘赪 - ( ) () . ,; ,; . dfx fx s s s 平缓位置 不 变 陡峭位置 不 变 称为 尺 度 参 数 () fx x s s s 0.5 1 2 = = = 0 m SWJTU -刘赪 - t x Fxedt Fx m s ps m 2 2 () 2 1 3) () 2() - -
27、 - = 1 关于点,成中心 对称 。 26 SWJTU -刘赪 - 标准正态分布 (0,1) N 2 2 1 :() 2 t x xedt p - - F= 分布函数 2 2 1 :(),(,) 2 x xex j p - =-+ 密度 : ()()()1() xx xx jj =- F-=-F 对称 性 SWJTU -刘赪 - ( ) ( ) 2, 0 , 1 NN ms uuuuuuur( ) ( ) ( ) () 2, 0,1, XNFx x ZNFx X s ms m s m - - =F 定 理 若 ，分布函数为 ， 则 且 PZx = 证 明 ： PXx ms + () 2 2
28、2 12 t x edt m ms s ps - - + - = X Px m s - = t y m s - = 令 标准化 ( ) 2 2 1 2 y x edy s ps - - = SWJTU -刘赪 - ( ) 0,1 ZN Xx P mm ss - = ( ) FxPXx = x PZ m s - x m s - =F 2 (,) XNab ms “-=- 关于正态分布的计算 SWJTU -刘赪 - ( ) ( ) - 已知及 的值 已知 求 的值 0 02()(,0.5) 80 0.99? dC XCNd d 例 将一温度 调节器放置 在 贮 存 着 某种 液 体 的 容 器 内
29、 ， 调节器 设定在， 液体的温度。若 要 求 保 持液 体 的 温 度至少 为的概率 不 低 于，问至少 为 多少7 SWJTU -刘赪 - - =- 2(,0.5) 80(80)1 0.5 XNd d PX F 解：由于 ， 故 80 2.33 0.5 d - 查 表 得 81.165 d - = 80 0.99 0.5 d F SWJTU -刘赪 - 1. 已知 X N(3, 2 2 ), 且 PXk = PX k, 则 k = ( ). 3 2.设 X N(m, 4 2 ), Y N(m, 5 2 ), 记 p 1 = PX m -4， p 2 = PY m +5, 则 ( ) 对任意
30、的 m，都有 p 1 = p 2 对任意的 m，都有 p 1 p 2 课堂练习 SWJTU -刘赪 - 3. 设 X N(m , s 2 ), 则随 s的增大， 概率 P| X- m | s ( ) 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 课堂练习 SWJTU -刘赪 - 设 X N(m, s 2 ), 则 P( | X-m | s ) = 0.6828 P( | X-m | 2s ) = 0.9545 P( | X-m | 3s ) = 0.9973 正态分布的 3s 原则1 SWJTU 随机变量函数的分布 第二章 第四节 SWJTU -刘赪 - 例题 -1 0.2 1 0.1 0.4 0.
31、2 0.1 p k 2 0 -1 -2 X 设随机变量 X的分布律为 试 求 Z=2X+1, Y=3X 2 1的概率分布。 SWJTU -刘赪 - 解 ： Y=3X 2 1 的所有可能取值为 -1， 2， 11， 故 PY=-1=PX=0=0.4 PY=2=PX=-1+PX=1=0.2+0.2=0.4 PY=11=PX=-2+PX=2=0.1+0.1=0.2 即分布律为 0.2 0.4 0.4 p k 11 2 -1 Y SWJTU -刘赪 - (1)先 求出 Y=g (X)的所有可能取值 y 1 ,y 2 , (2)计算 Y取每个值 y k 的概率； 离散型随机变量函数的分布律的求法 SWJ
32、TU -刘赪 - () ()04 8 0 28 X Y x x rvXfx rvYXfy = =+ 设 其它 试 求 的 。 例题 -2 SWJTU -刘赪 - yy y 188816 21632 = 0 - = 其它 解 ： ( ) ( ) Y FyPYy = ( ) PXy 28 =+ y PX 8 2 - = X y F 8 2 - = () () y YX Fyfxdx 8 2 - - = () YX yy fyf 88 22 - = 2 SWJTU -刘赪 - XY XFxYFy (1) ()() 利用 的 求出 的分布函数 一般情况 () ()()() YX gxy FyPYyPg
33、Xyfxdx = () xgxyy 注 意 将区间分成 关 于的单值 区 间 Y FyyY (2) (), 对 求 导 即 得 的概率 密度 即 (3) ()() X ygxfxy = 确定的值域，即 使得 非 零 的值 。 YY fyFy ()() = SWJTU -刘赪 - g(x)恒大于 0(或恒小于 0) 0 () 0 ()(,)()0()0), () ()() () 0 ()()min(),(),max(),() X X Y axb rvXfx ygxabgxgx xhyy fhyhy gxYgX cgagbdg cyd fy agb gg (0)1,() =+= x ex fx x
34、 3 30 () 00 - = 且 xyhy 1 ln() 2 = hy y 1 () 2 = SWJTU -刘赪 - X Ye 2 = 故 的概率密度 为 y ey y y 3 ln 2 1 31 2 01 - = = YX fyfhyhy ()()() = SWJTU -刘赪 - 2 (,), (0) XNX YaXba ms =+ 设随机变量 试证 明 的 线 性 函 数 也 服从正 态 分布。 gg (), () -=-+=+ 且 例题 -4 XN ms 2 (,), 证 明 ： 即 x X fxex m s ps 2 2 () 2 1 () 2 - - =-+ ygxaxbgxa (
35、)()0 =+= SWJTU -刘赪 - ( ) ( ) YaXbNaba ms 2 , =+ 即 yb xhy a() - = 又 hy a 1 () = YaXb =+ 故 的概率 密度 为 YX yb fyf aa 1 () - = yb a a m s ps 2 2 () 11 exp 2 2 - - =- ( ) yba a a m s ps 2 2 1() exp 2() 2 -+ =- y -+3 SWJTU -刘赪 - ( ) ab X YN m ss m s 1 ,0,1 =- - = 特 别 地 取 即 得 此 即 正 态 分布的 标 准 化 过 程 。 SWJTU -刘赪 - ( ) = X rvXfxYX 已知 ，试求 的 概率密度函数。 课堂练习
