1、专题 22 内切球与外接球的解题策略一 【学习目标】1掌握球的表面积体积公式2掌握恢复长方体法求球的表面积及体积3掌握多面体与球问题4掌 握外接球与内切球的解法二 【典例分析及训练】（一）球相关问题例 1 已知 A，B，C 是球面上三点，且 ， ， ，球心 O 到平面 ABC 的距离等于该球半径的 ，则此球的表面积为 A B C D【答案】D【解析】求出三角形 ABC 的外心，利用球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】由题意 AB6，BC8，AC 10，6 2+8210 2，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是 AC 的中点，球心到截面的距离就是球
2、心与三角形外心的距离，设球的半径为 R，球心到ABC 所在平面的距离为球半径的 ，所以 R2（ R） 2+52，解得 R2 ，球的表面积为 4R2 故选：D【点睛】本题考查球的表面积的计算，考查球的截面的性质，属于基础题.练习 1.已知球 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） 的外接球， ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】先利用等边三角形中心的性质，结合勾股定理计算得球的半径，过 的最大截面是经过球心的截面，可由球的半径计算得出.过 最小的截面是和 垂直的截面，先计算得 的长度，利用勾股定理计算得这
3、个截面圆的半径，由此计算得最小截面的面积. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题，考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题，属于中档题.练习 2.一平面截一球得 到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是( )A cm3 B cm3 C cm3 D cm3【答案】C【解析】设球心为 ，截面圆心为 ，连结 ，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径，再利用球的表面积和体积公式即可算出答案.【详解】设球心为 ，截面圆心为 ，连结 ，则 截面圆中， ， ，球半径 ，因此球体积 ，故选 C.【点睛】本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积公式等知识，通过
4、轴截面图得到球的半径是解题的关键，属于基础题（二）多球外切问题例 2.把三个半径都是 1 的球放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与下边的三个都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为（ ）A B C D4【答案】C【解析】先求四个球心 连线是正三棱锥的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求【详解】四个球心连线是正三棱锥棱长均为 2.ED= ，OD= ED= ，AO= = 第四个球的最高点与桌面的距离为 OA 加上两个半径即 +2.故选：C【点睛】本题主要考查了由 4 个相同球外切时的球心连线构成一个正四面体，顶点到底面的距离，同时考查了转化与划
5、归的思想，以及计算能力，属于中档题练习 2. 10现有两个半径为 2 的小球和两个半径为 3 的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）A 61 B 3 C 41 D 5【答案】A【解析】如图所示，A,B 是半径为 2 的球的球心，C,D 是半径为 3 的球的球心，O 是第五个球的球心. 由题得 , ,，因为 平面 BEC， 所以 ABEO.在直角AEO 中， ，故选 A.点睛：本题的难点在于画图和从线面关系里找到方程. 所以首先要把图画得直观，再从几何图里找到线面关系利用解三角形的知识列出方程.练习 3 已知有半径分别为 2、3 的球各两个，且这四个球彼此相外切，现
6、有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为_.【答案】【解析】思路分析：结合图形，分析四个球的球心 A、B、C、D 的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6， CD=4.设 AB 中点为 E、CD 中点为 F，连接 EF.在ABF 中可得 ，在EBF 中可得 .由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上，连接 OA、 OD 设第五个球的半径为 r，根据 OE+OF=EF 建立 的方程.如图，设四个球的球心分别为 A、B、C 、D，则 AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设 AB 中点为 E、CD 中点为 F，连接 EF.在ABF 中求得 BF= ，在EBF 中求得 EF=
7、 .由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上，连接 OA、 OD 设第五个球的半径为 r，则OA=r+3，OD=r+2 ，于是 OE= ，OF= ，OE+OF=EF， 平方整理再平方得 ，解得 或（舍掉） ，故答案为 .点评：本题通过分析球心的位置，根据它们构成的几何体特征，转化成平面几何中三角形边角关系，利用方程思想得解（三）多面体的最值与球问题例 3.点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， ， ，若四面体 ABCD 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为（ ）A B C D【答案】D【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点 D 的位置；然后利用勾股定理
8、及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。【详解】根据题意，画出示意图如下图所示因为 ，所以三角形 ABC 为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边 AC 的中点处，设该小圆的圆心为 Q因为三角形 ABC 的面积是定值，所以当四面体 ABCD 体积取得最大值时，高取得最大值即当 DQ平面 ABC 时体积最大所以 所以 设球心为 O，球的半径为 R，则即解方程得 所以球的表面积为 所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。练习 1.三棱锥 PABC中， ,PC互相垂直， ， M是线段 BC上一动点，若直线AM
9、与平面 所成角的正切的最大值是 62，则三棱锥 PAB的外接球的表面积是（ ）A 2 B 4 C 8 D 1【答案】B三棱锥 PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 ，三棱锥 的外接球的半径为 1R，三棱锥 的外接球的表面积为 24选 B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 ,PABC构成的三条线段 ,PABC两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体，利用 求解（四）多面体放入球中求球的表面
10、积和体积例 4.侧棱和底面垂直的三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上，若ABC 是边长为 的等边三角形，C 1C= ，则球 O 的表面积为A B C D【答案】D【解析】根据组合体的结构特征，现求得三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径 ，在利用勾股定理求得外接球的半径 ，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设三棱柱的底面是边长为 的等边三角形，设其外接圆的半径为 ，由正弦定理可得 ，即又由三棱柱的侧棱长为 ， 所以三棱柱的外接球的半径 ，所以外接球的表面积为 ，故选 D.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质
11、的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定 理列出方程求解球的半径. 练习 1.某棱锥的三 视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三 棱锥 ，外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直线 上，可知 是直线 与面 的交点，也是直线 与直线 的交点没有此可求三棱锥 外接球的半径，得到棱锥的外接球的表面积详解： 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 ，外接球球心 在过 中点 且垂直于平面 的直
12、线 上，又点 到 距离相等，点 又在线段 的垂直平分面 上，故 是直线 与面 的交点，可知 是直线 与直线 的交点（ 分别是左侧正方体对棱的中点） ， ， 故三棱锥 外接球的半径 ，表面积为 .故选 A.点睛：本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题练习 2.如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 平面 ， ， 分别为棱 ， 上一点，已知， ， ，且 平面 ，四面体 的每个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）A B C D【答案】C【解析】在棱 CD 上取一点 H,使得 HD=1, 平面 BCE,又 平面 BC E， 平面 平面 B
13、CE ，又平面 平面 ABCD=GH, 平面 平面 ABCD=BC,= HD=1,故四面体 可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为 4，1，1，所以球 的表面积为 点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径， 顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.练习 3 知圆 O和圆 M是球 的大圆和小圆，其公共弦长为球 O半径的 3倍，且圆 O和圆 M所在平面所成的二面角是 0， 1，则圆 O的半径为（ ）A 43 B 2 C 43 D 4【答案】D【解析】设公共弦中点为 N，则选 D.点睛:求解球问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解练习 4.三棱锥 SABC中，侧棱 S底面 ABC， 5， 8BC， 60， 25SA，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
