1、2018-2019 学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题： 的否定是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定直接改写即可.【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题： 的否定是： .【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，一般只需要改量词和结论即可，属于基础题型.2.已知 ，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为 ，所以 ，所以 ，故选 B【点睛】
2、本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.3.在单调递增的等差数列 中，若 ，则 ( )A. 1 B. C. 0 D. 【答案】C【解析】【分析】先设等差数列 的公差为 ，由题中条件列出方程组，求解即可.【详解】设等差数列 的公差为 ,因为 ，所以有： ，解方程组得： ；故选 C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，由题意列方程组求公差和首项即可，属于基础题型.4. ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ， ， ，则 ( )A. B. 3 C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理，列出方程，直接求解即可.【详解】因为 ， ， ，由余弦定理 可得： ，解
3、得 或 ，故 ，选 B【点睛】本题主要考查余弦定理，熟记公式即可，属于基础题型.5.设 ，则“ ”是“ ”的 ( )A. 充分而不必要条件 B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件 D. 必要而不充分条件【答案】D【解析】【分析】先解不等式 和不等式 ，然后结合充要条件的定义判断即可.【详解】由 得 ；由 得 ，所以由 能推出 ；由 不能推出 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选 D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，结合概念直接判断即可，属于基础题型.6.曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由 ，得 ，故 ，故切线的斜
4、率为 ，故选 C.考点：导数的集合意义.7.已知向量 且 互相垂直，则 的值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为 0，从而可求出结果.【详解】因为 ，所以 ， ，又 互相垂直，所以 ，即 ，即 ，所以 ;故选 A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.8.若实数 x， y 满足约束条件 则 的最大值是( )A. 2 B. 0 C. 1 D. 4【答案】C【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由截距的取值范围确定目标函数的最值即可.【详解】由约束条件作出可行域如图所示，目标函数 可化为
5、 ，所以直线 在 y轴截距越小，则目标函数的值越大，由图像易知，当直线 过点 A 时，截距最小，所以目标函数最大为 .故选 C【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线的斜截式，求在 y 轴截距，即可求解，属于基础题型.9.已知 AB 是抛物线 的一条焦点弦， ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( )A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设 两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设 ， C 的横坐标为 ，则 ，因为 是抛物线 的一条焦点弦，所以 ，所以 ，故 .故选 B【点睛】本题主要考查抛物线的定
6、义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.10.若不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到 ，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式 ，求解即可.【详解】因为不等式 的解集为 ，所以 和 是方程的两根，且 ，所以 ,即 ，代入不等式整理得 ，因为 ，所以 ,所以 ，故选 D【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.11.已知双曲线 的左.右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线
7、上，且满足，则 的面积为 ( )A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得 ，联立 可求出 的长，进而可求三角形的面积.【详解】由双曲线的定义可得 ，又 ，两式联立得：， ，又 ，所以 ，即 为直角三角形，所以 .故选 A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.12.若函数 有两个零点，则实数 a 的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的导函数，利用导函数求出函数的最小值，再根据函数的零点和最值之间的关系即可求出参数的范围.【详解】因为函数 的导
8、函数为 ，令 ，得 ，所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；故当 时，函数取最小值 ，若函数 有两个零点，则 ，即 ，又因为 时， 时， 恒成立，不存在零点，故 ，综上： 的取值范围是 ，故选 C【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，研究函数零点的问题，通常需要对函数求导，研究函数的单调性和最值，进而可求出参数范围，属于常考题型.二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.计算 _.【答案】【解析】【分析】由微积分基本定理直接计算即可.【详解】 ,故答案为 .【点睛】本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.1
9、4.已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， . 则数列的前 n 项和为_.【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出数列 和数列 的通项公式，再由分组求和法，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求出结果.【详解】设 的公差为 ， 的公比为因为 是等比数列， ,所以 ，所以 ,又因为 是等差数列， ， ，所以 ，故 ，令 ，记 的前 n 项和为 ,则 .故答案为【点睛】本题主要考查数列的求和，需要先求数列的通项公式，再用分组求和法求解即可，常用的数列求和的方法有：分组求和，倒序相加，裂项相消，错位相减等，难度较小.15.若椭圆的方程为 ，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a_.【答案】4 或 8【解
10、析】【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.【详解】因为 是椭圆的方程，所以 且 ，所以 ,由椭圆的方程可得 ，又 ，所以 ，解得 或 .故答案为 4 或 8【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.16.函数 在 上递减，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数在给定区间内单调递减，可得其导函数在给定区间内小于等于 0 恒成立，进而可求出结果.【详解】因为 在 上递减，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立,所以 .即答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据函数在某区间上的单调性求参数范围时，
11、通常需要对函数求导，由导函数的正负分离出参数求解即可，属于常考题型.三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知正实数 a， b 满足 ，求 的最小值.【答案】【解析】【分析】只需将 化为 ，与 相乘，展开后，利用基本不等式即可求解.【详解】 ， 当且仅当 ，即 时取等号，的最小值为 .【点睛】本题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，通常需要将条件变形整理，与所求式子相乘，利用基本不等式来求最值即可，做题时要注意不等式取等号的条件，属于基础题型.18.已知单调的等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 是 ， 的等差中项. （1）求数列 的通
12、项公式；（2）若数列 满足 ，且 前 项的和为 ，求【答案】() ；() .【解析】试题分析：()由已知得 ，从而求得 ，由 ，得 ，进而得通项公式；() ， ， 利用裂项相消求和即可.试题解析：()因为 是 的等差中项，所以 或 （舍） ； () ；点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .19.在 中，内角 . . 的对边分别为 ，且 （1）求角 的大小； （2）若点 满足
13、 ，且 ，求 的取值范围【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析： 利用正弦定理及余弦定理整理求出 ，即可求得角 的大小；利用余弦定理及常用不等式求解即可解析：（）根据正弦定理得 又 （）在 中，根据余弦定理得即 又 又 , 20.已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， 底面 且是 的中点（1）证明：平面 平面 ；（2）求 与 夹角的余弦值；（3）求二面角 的平面角的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出 的坐标，(1)通过证明 ，利用 ，即可证明结论成立；(2)求出 与 的方向向量，由 ，即可求出结果；(3)在 上取一点 ，则存在 ，使 ,求出
14、，再说明 为所求二面角的平面角，利用向量夹角公式即可求出结果.【详解】以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(1)证明：因为所以 ，所以 .由题设知 ，且 ，所以 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 . (2)因为 ， ，所以故 与 夹角的余弦值为 . (3)在 上取一点 ，则存在 ，使 ，又所以 ，要使 ，只需 ，即 ，解得 ，可知 当时， N 点的坐标为 ，能使 ，此时 ，有 ，由 得 ，所以 为所求二面角的平面角所以 ，所以二面角 的平面角的余弦值为 .【点睛】本题主要考查空间向量的方法在几何中的应用，需要考生掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理以及性质定理，并且熟记空间角的向量
15、计算公式，属于常考题型.21.椭圆 ，其中 ，焦距为 2，过点 的直线 l 与椭圆 C 交于点A，B，点 B 在 A，M 之间又线段 AB 的中点的横坐标为 ，且 .(1)求椭圆 C 的标准方程(2)求实数 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和椭圆的 ， ， 的关系，解得 ， ，即可得到椭圆方程；（2）运用向量共线的知识，设出直线 的方程，联立椭圆方程，消去 ，运用判别式大于 ，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到 ， 的横坐标，即可得到所求值试题解析：（1）由条件可知， ， ，故 ，椭圆的标准方程是 ；（2）由 ，可知 三点共线，设点 ，点 ，若直线 轴，
16、则 ，不合题意， 5 分当 A 所在直线 的斜率 存在时，设直线 的方程为 由 消去 得 ，由的判别式 ，解得 ， 7 分由 ，可得 ，如图 ， 9 分将 代入方程，得 ， ，又 ， ， ， ， ， 12 分考点：1椭圆的方程和性质；2直线与椭圆的位置关系；3中点坐标公式22.函数（1）若函数 ，求函数 的极值；（2）若 在 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1）极大值为 ，无极小值；（2） 【解析】试题分析：（）当 时分析函数 的单调性，确定函数的最大值；（）在 恒成立，通过变量分离转化为 在恒成立，进而构造新函数求最值即可试题解析：解：（1）当 时，由 得 ；由 得 ，在 递增，在 递减所以，当 时， 的最大值为当 时， 的最大值为（2） 在 恒成立在 恒成立设则当 时， ，且当 时，设 ，则 在 递增又使得时， 时，时， 时，函数 在 递增，在 递减，在 递增由 知 ，所以又又 当 时，即 的取值范围是 .
