1、随堂巩固训练(60)1. 数列 ， ， ，的第 10 项是 .23 4567 89 2021解析：由题意得，数列a n的通项公式 an( 1) n1 ，故 a10 . 2n2n 1 20212. 若 an ，则数列a n是 递增 数列.( 填“递减” “递增”或“常”)n 1n 1解析：设 f(n) ，则 f(n) 0，所以函数 f(n)在 nN *上单调递增，所以n 1n 1 2（n 1）2数列 an是递增数列. 3. 若 ann 2n3(其中 为实常数)，nN *，且数列a n为单调递增数列，则实数 的取值范围是 (3，) .解析：方法一(函数观点)：因为数列a n为单调递增数列，所以 a
2、n1 a n，即(n1)2 (n 1)3n 2n3，化简为 2n1 对一切 nN *恒成立，所以 3.方法二(数形结合法)：因为数列a n为单调递增数列，所以 a1a 2，要保证 a1a 2 成立，二次函数 f(x)x 2x3 的对称轴 x 应位于 1 和 2 中点的左侧，即 ，即 3. 2 2 324. 已知 a11，a nn(a n1 an)(nN *)，则数列a n的通项公式 an n .解析：因为 ann(a n1 a n)，所以 ，所以 an an 1an n 1n anan 1an 1an 2an 2an 3 a3a2a1 1n，故数列 an的通项公式为 ann.a2a1 nn 1
3、 n 1n 2 n 2n 3 32 215. 若数列a n满足 a12，a 23，a n (n3 且 nN *)，则 a2 018 3 .an 1an 2解析：由题意得a3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 ，a 7 2，a 8 3，所以数列a n具a2a1 32 a3a2 12 a4a3 13 a5a4 23 a6a5 a7a6有周期性，T 6，所以 a2 018a 33662 a 23.6. 已知数列a n满足 ana n1 (nN *)，a 22，S n 是数列a n的前 n 项和，则12S21 .72解析：因为 ana n1 ，a 22，所以 an 所以12 32，n为 奇 数 ，2， n
4、为 偶 数 ，)S2111 102 . ( 32) 727. 在数列a n中，已知 a11，a 22，a n1 a na n2 (nN *)，则 a7 1 .解析：由已知 an1 a na n2 ，a 11，a 22，能够计算出a31，a 41，a 52，a 61，a 71.8. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，S n2a nn，则 an 2 n1 .解析：当 n1 时，S 1a 12a 11，则 a11；当 n2 时，anS nS n1 2ann2a n1 (n1) ，即 an2a n1 1，所以 an12(a n1 1)，所以数列a n1是首项为 a112，公比为 2 的等比数列，所
5、以 an122 n1 2 n，所以an2 n1.9. 对于数列a n，定义数列b n满足 bna n1 a n(nN *)，且 bn1 b n1 (nN *)，a31，a 41，则 a1 8 .解析：因为 b3a 4a 3112，所以 b2a 3a 2b 313，所以b1a 2a 1b 214，三式相加可得 a4a 19，所以 a1a 498.10. 已知数列a n满足 a12，a n1 (nN *)，则该数列a n的前 2 019 项的乘积1 an1 ana1a2a3a2 019 3 .解析：由题意得a2 3，a 3 ，a 4 ，a 5 2a 1，所以数列a n是以1 a11 a1 1 a2
6、1 a2 12 1 a31 a3 13 1 a41 a44 为周期的数列，2 01945043，a 1a2a3a41，所以前 2 019 项的乘积为 1504a1a2a33.11. 已知 Sn 为正项数列a n的前 n 项和，且满足 Sn a an(nN *).122n 12(1) 求 a1，a 2，a 3，a 4 的值；(2) 求数列a n的通项公式.解析：(1) 由题意得，a 1 a a1，1221 12解得 a11，S2a 1a 2 a a2，解得 a22.122 12同理，a 33，a 44.(2) Sn a ，an2 122n当 n2 时，S n1 a ，an 12 12 2n 1得
7、(a na n1 1)( ana n1 )0.由于 ana n1 0，所以 ana n1 1，又由(1)知 a11，故数列a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 ann. 12. 已知数列a n的前 n 项和 Snn 21，数列b n满足 bn ，且前 n 项和为 Tn，2an 1设 cnT 2n1 Tn.(1) 求数列b n的通项公式；(2) 判断数列c n的单调性.解析：(1) 由题意得 a12，anS nS n1 2n1(n2)，所以 an 2， n 1，2n 1， n 2，)所以 bn23，n 1，1n， n 2.)(2) 因为 cnT 2n1 T nb n1 b n2 b 2n1 ，1n 1 1n 2 12n 1所以 cn1 c n a 1 且 a3，综上，a 的取值范围是9， 3)(3，).
