1、20182019 学年度上期期末高一年级调研考试一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由补集的定义可得答案.【详解】集合 ， ，则故选：B【点睛】本题考查集合的补集的运算，属于简单题.2.已知向量 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量坐标的减法运算即可得结果.【详解】向量 ， ，则 2故选：D【点睛】本题考查向量坐标的加减法运算，属于简单题.3.半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长为（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】C【解析】【分析】由扇形的弧长公式直接计算即可得结果.【详解】扇形的弧长 ,又半径为 ，圆心角为 ，则故选：C【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用.4.下列四组函数中， 与 相等的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数【详解】选项 A,f(x)定义域为 R,g(x)定义域为 ,故两个函数不相等；选项 B,f(x)定义域为 g(x)定义域为 ,故两个函数不相等；选项 C,f(x)定义域为 R g(x)定义域为 ,故两个函数不相等；选项 D,化简函数 g(x)=x 与函数 f(x)相同，故两个函
3、数相等；故选：D【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数5.若函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由对数的性质知，当真数为 1 时，对数值一定为 0，由此性质求函数图象所过的定点即可.【详解】当 x+3=1 时，即 x=-2 时此时 y=0,则函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 （-2,0）故选：A【点睛】本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是 1 的对数等于零，从而求得结果，属于简单题.6.已知 ，则 的值是（ ）A. B. C
4、. D. 【答案】C【解析】【分析】将所求式子的分子分母同时除以 ，得到关于 的式子，将 代入即可得到结果.【详解】将分子分母同时除以 ，故选：C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式 tan =; 形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切；（2） “1”的灵活代(sin cos )2=12sin cos ,(sin+ cos )2+(sin- cos )2=2 的关系进行变形、转化 .7.已知关于 的方程 有一根大于 ，另一根小于 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二次
5、函数图像的性质，只需满足 x=1 处的函数值小于 0 即可.【详解】关于 x 的方程 的一根大于 1，另一根小于 1，令 f（ x） ，开口向上，只需 f（1）1- a+3=4-a0，得 a4，故选： A【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题8.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由对数函数的图像可知 c0 恒成立即可得到 的取值范围.【详解】由题意，函数 ， 的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 令 F（ x） 0，可得 sin（ ）0，即 k， kZ当 k0 时，可得一个零点 x1当
6、 k1 时，可得二个零点 x2 , 0，那么| x1 x2| ，可得 ,则 ，又当 时，函数 的图象恒在 轴的上方，当 f(x)0 时 解得 ,只需 即又 ，则当 k=0 时， 的取值范围是故选：D【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.12.已知函数 和 （ 且为常数）.有以下结论：当 时，存在实数 ，使得关于 的方程 有四个不同的实数根；存在 ，使得关于 的方程 有三个不同的实数根；当 时，若函数 恰有 个不同的零点 ， ， ，则 ；当 时，关于 的方程 有四个不同的实数根 ， ， ，且 ，若 在 上的最大值为 ，则.其中正确结论的个数是（ ）A. 1 个 B. 2
7、 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C【解析】【分析】根据不同的条件画出不同的函数图像，由图像结合函数的性质逐个检验即可得到答案.【详解】对，当 y= 的对称轴小于 0 即 m0，将函数 f(x)图像向右平移时的临界情况是当 D 点与 B 点重合，且临界情况不满足题意，由图可知向右平移的 个单位应大于 6 即可，即 解得 a ,故答案为：【点睛】本题考查函数恒成立问题的解决方法，考查函数图像即数形结合的应用，属于中档题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.计算：（1） ；（2） .【答案】 （1） ；（2）4【解析】【分析】由指
8、数幂的运算和对数运算即可得到答案.【详解】 （1）原式 （2）原式 .【点睛】本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题.18.已知函数 .（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数 在 上是减函数.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先判断函数定义域关于原点对称，然后利用奇偶性定义即可判断；（2）任取 ，且 ，利用函数单调性的定义作差分析即可得到证明.【详解】 （1）函数 的定义域为 .对于定义域内的每一个 ，都有 ，.函数 为偶函数（2）设任意 ，且 ，则.由 ，得 ， ，于是 ，即 .函数 在 上是减函数.【点睛】本题考查函数奇偶性
9、和函数单调性定义的应用，属于基础题.19.某公司在 2018 年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润与月份 近似的满足某一函数关系.其中 2 月到 5 月所获利润统计如下表：月份（月）所获利润（亿元）（1）已知该公司的月利润 与月份 近似满足下列中的某一个函数模型： ； ； .请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由） ，并据此估计该公司 2018 年8 月份在这项工程项目中获得的利润；（2）对（1）中选择的函数模型 ，若该公司在 2018 年承包项目的月成本符合函数模型（单位：亿元） ，求该公司 2018 年承包的这项工程项
10、目月成本的最大值及相应的月份.【答案】 （1）8 月份所获利润约为 亿元；（2）月成本的最大值约为 亿元，相应的月份为2 月【解析】【分析】（1）由表中的数据知利润有增有减不单调可知模型适合，然后将表中数据代入可得函数解析式，再将 x=8 代入可得结果；（2）由二次函数图像的性质可得最值.【详解】 （1）易知 .因为 ， 为单调函数，由所给数据知，满足条件的函数不单调，所以选取 进行描述.将表中三组数据代入 ，得到 .解方程组，得 .所以该公司月利润 与月份 近似满足的函数为 ， .当 时，得 （亿元）.所以估计 8 月份所获利润约为 亿元.（2） .所以月成本的最大值约为 亿元，相应的月份为
11、 2 月.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，考查求函数最值问题.20.已知函数 的部分图象如图所示.（1）求函数 的解析式；（2）若将函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍，得到函数的图象.求当 时，函数 的单调递增区间.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)由函数最值求得 A,由周期得到 ，再将特殊点代入解析式可求 ，即可得到函数解析式；（2）由图像变换得到函数 g(x)解析式，然后利用正弦函数图像的性质可得函数 g(x)在 R 上的单调增区间，对 k 取值即可得当 时的单调递增区间.【详解】 （1）由图可知 ， .由图知，当 时
12、，有 f( )=0,则即 ， . .（2）由题意，知 .由 ， .解得， ， .，当 时， ；当 时， .当 时，函数 的单调递增区间为 ， .【点睛】本题考查 的部分图像求函数的解析式，考查正弦函数图像的单调性和函数的图像变换，属于基础题.21.已知点 ， ， ，其中 ， .（1）若 ，求 的值；（2）若函数 的最小值为 ，求 的表达式.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)由向量的模的公式和同角三角函数关系式化简即可得到 x 值；（2）由向量的数量积坐标公式得到函数 f(x)，通过换元，将三角函数式转为求二次函数在区间上的最小值问题.【详解】 （1） ，.，（2） .令 ，
13、则 .（1）当 时， .（2）当 时，（i） ，即 或 时，对称轴 .（ii） .当 ，即 时，.当 ，即 或 时，.综上所述， .【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的计算，考查化归转化思想，属于中档题.22.已知定义在 上的偶函数 和奇函数 ，且 .（1）求函数 ， 的解析式；（2）设函数 ，记 .探究是否存在正整数 ，使得对任意的 ，不等式 恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)已知 ，结合函数的奇偶性可得 ，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知 为奇函数，图象关于 对称，则 的图象关于点 中心对称，利用对称性可得 ，然后利用恒成立问题解 即可.【详解】 （1） ，函数 为偶函数， 为奇函数， .（2）易知 为奇函数，其函数图象关于 中心对称，函数 的图象关于点 中心对称，即对任意的 ， 成立.，.两式相加，得.即 .，即 .，恒成立.令 ， .则 在 上单调递增.在 上单调递增.又已知 ， .【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.
