1、高 2018级高一（上）半期测试题数学一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ,设全集 则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出 B中不等式的解集，确定出 ，根据全集 U R，求出 的补集即可【详解】 = = ， =全集 U R， ，故选： B【点睛】本题考查了并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2.下列对应关系是 到 的函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，即可得出结论【详解】对于 A选项: A R， B x |x0，按对应
2、关系 f： x y| x|， A中的元素 0在 B中无像， f： x y| x|不是从 A到 B的函数；对于 B选项: A Z， B ， f： x y x2， A中的元素 0在 B中无像， f： x y| x|不是从 A到 B的函数；对于 C选项: A Z， B Z， f： x y ，负数不可以开方， f： x y 不是从 A到 B的函数；对于 D选项: A1，1， B0， f： x y0， A中的任意元素在 B中有唯一元素对应， f： x y0 是从 A到 B的函数故选 D.【点睛】本题考查函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解函数的定义是关键3.若 是定义在 上的单调函数，其零点
3、同时在区间 ， ， ， ，那么下列说法一定正确的是( )A. 函数 在区间 内有零点B. 函数 在区间 或 内有零点C. 函数 在区间 内无零点D. 函数 在区间 内无零点【答案】C【解析】【分析】由题意可确定 f（ x）唯一的一个零点在区间（-1，2）内，故在区间2，16）内无零点其它不能确定【详解】由题意 是定义在 上的单调函数且其零点存在，可确定 f（ x）有唯一的一个零点在区间（-1，2）内，故在区间2，16）内无零点, C正确; A不能确定， B：当零点恰为 0时不正确 D不能确定故选： C【点睛】本题考查对函数零点的判定定理的理解，属基础知识的考查属基础题4.函数 的定义域是( )
4、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令根号下非负，解不等式 0即可.【详解】由题意 0，解得 4，即 lgx2 或 lgx ，x100 或 x ，故定义域为故选： A【点睛】本题考查求函数的定义域，解题的关键是由函数解析式的形式得出使自变量有意义的限制条件，不等式，方程等，然后解出其范围5.已知 ， ， ，则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据 =ln 、 =ln ，只需比较 与 的大小，利用函数 y= 与 的大小，再根据 的正负直接写出 a、b、c 的大小.【详解】因为 =ln 0， =ln 0，只需比较 与 的大小，构造幂函数 y= ，在
5、 x0时单调递增，当 x= 时，y=9，当 x= 时，y=8，因为 98，所以 ，所以 ln ln ，即 ，又 y= ，当 x0, f（ x）在0，+）上的解析式为： f（ x） ,做出 f（ x）的函数图象如图所示：任意 xR，有 f（ x） f（ x1）成立，所以将 f（x)的图像向右移动 1个单位后的图像都在 y=f(x)的非上方，4m1，解得 m 故选： B【点睛】本题考查了奇函数的判断与性质，函数图象的应用，属于中档题12.已知函数 , 若 有四个互不相等的实数根 ,且. 则 的取值范围是( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出函数 f（ x）的图象，根据方程
6、有四个互不相等的实数根，得到 与 、 与 的关系，代入所求，将所求用 a表示，然后计算即可得到结论【详解】作出 的图像如图：若 有四个互不相等的实数根 ,且 ，则 0 a1，且 是 的两个根， =4， =4-a，且 = ，即- )= )， ) )=1， =0，所求 = =4-a ，故选 B.【点睛】本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题.二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把答案填在答题卡对应的题中横线上13.幂函数 的图象过点 ，则 =_.【答案】【解析】【分析】设出幂函数的解析式
7、，由图象过 确定出解析式，然后令 x-3 即可得到 f（-3）的值【详解】设 f（ x） xa，因为幂函数图象过 ，则有 2 a， a-2，即 f（ x） x-2， f（-3）(-3) -2 ，故答案为： 【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式的问题，考查了求幂函数的函数值，属于基础题.14.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是_【答案】 （-，-2）【解析】【分析】首先判断出函数的单调性，再根据单调性和 f（2 a2） f（ a） ，得到关于 a的不等式，解得即可【详解】 y ，在 x0 上是减函数， y ，在 x0 上是减函数，且 f（x）在x=0处连续， 在 R上是减函数又 f（2
8、 a2） f（ a） ， a2 a2解得 a1故答案为：（-，-2） 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的判断及应用，考查了不等式的解法，属于基础题15.用“二分法”求方程 在区间 内的实根，取区间中点为 ，那么下一个有根的区间是 .【答案】2，25【解析】试题分析：解：设 f（x）=x 3-2x-5， f（2）=-10，f（3）=160， f（2.5）= -10= 0， f（x）零点所在的区间为2，2.5，方程 x3-2x-5=0有根的区间是 ，故填写考点：二分法求方程的根点评：本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数 f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件
9、是函数在区间的端点处的函数值异号16.已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是_。【答案】 （0， ）【解析】【分析】由题意可得，存在 x0 使 f（ x） g（ x）0，即 ln（ x+a）0 在（，0）上有解，从而化为函数 m（ x） ln（ x+a）在（，0）上有零点，从而求解【详解】若函数 f（ x） （ x0）与 g（ x） x2+ln（ x+a）图象上存在关于 y轴对称的点，则等价为 f（ x） g（ x） ，在 x0 时，方程有解，即 x2+ln（ x+a） ，即 ln（ x+a）0 在（，0）上有解，令 m（ x） ln（ x+a） ，则 m（ x） ln（
10、 x+a）在其定义域上是增函数，且 x时， m（ x）0，又 a0，则 2x+2 ln（ x+a）0 在（，0）上有解可化为ln a0，即 lna ，故 0 a 综上所述， a（0， ） 故答案为：（0， ） 【点睛】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键 ，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚17.计算下列各式（1）（2）【答案】 （1） （2）10【解析】【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质及对数运算性质化简得答案；（2）直接由对数的运算法则及性质计算得答案
11、【详解】 （1） = =2+1+ = .（2） =lg5(lg2+lg5) = lg5+ =lg100+8=10.【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.已知集合 Axx 2axa 2130 ，Bxx 24x30 ，Cxx 23x0 （1）若 ABA B，求 a的值；（2）若 , 求 a的值.【答案】 （1）a=4（2） a3【解析】【分析】（1）由题意可知 A=B，得到两个方程的关系，直接解得 a.（2）化简 B1，3， C3，0，从而可得 0，3 A，1 A；从而可得 1-a+a2130，从而解得 a，再进行
12、检验即可【详解】 （1）由 ABAB，可知 A=B，所以两个方程对应系数成比例， ，a=4.（2） Bxx 24x301，3，C x|x23 x03，0， , 同时成立，0，3 A，1 A；1- a+a2130，故 a3 或 a4；当 a3 时， A1，4，成立；当 a4 时， A1,3，不成立；故 a3【点睛】本题考查了集合的化简，考查了元素与集合的关系应用，属于基础题.19.已知函数 .（1）在给出的坐标系中作出 的图象；（2）根据图象,写出 的增区间；（3）试讨论方程 的根的情况.【答案】 （1）见解析（2）递增区间为（1， ，递减区间为（- （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意画
13、出图象即可；（2）由图直接写出单调区间即可；（3）由图象可得到 a的取值范围【详解】 （1） f（ x）的图象为：（如图所示）（2）由图可以看出单调递增区间为（1， ，单调递减区间为（-（3） f（ x）-a=0 的根的个数，只需要看 y f（ x）的图象与直线 y a的交点的个数，当a0 时方程 f（ x）-a=0 无根，当 a=0或 a2时，方程有 1个根，当 0a2时，方程有 2个根.【点睛】本题考查了函数图象的画法和识别，以及利用图像找单调区间，找符合条件的交点的个数问题，属于基础题20.设 是 上的偶函数（1）求 的值（2）证明： 在 上是增函数（3）解关于 的不等式【答案】 （1）
14、 a1（2）见解析（3） x|0x1【解析】【分析】（1）根据函数是偶函数建立条件关系即可求 a的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明 f（ x）在（0，+）上是增函数；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质即可解关于 x的不等式 【详解】 （1） f（ x） 是 R上的偶函数 f（ x） f（ x） ，即 ，整理得（ a ） （ ）0， a 0， a0， a1（2）证明 f（ x）在（0，+）上是增函数；设 0 x1 x2，则 f（ x1） f（ x2） ，0 x1 x2， ， ， f（ x1） f（ x2）0，即 f（ x1） f（ x2） ， f（ x）在（0，+）上是增函数；（3） f（
15、 x）在（0，+）上是增函数且是偶函数；则不等式 等价为 f（|2 x1|） f（1） ，则|2 x1|1，即-12 x11，解得 0x1，即不等式的解集为 x|0x1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用函数奇偶性和单调性解不等式是考查的热点，本题属于综合题21.已知 且（1）求 的取值范围（2）在(1)的条件下,求函数 的最大值和最小值.【答案】 （1） （2） f（ x） min f（ x） max12【解析】【分析】（1）利用指数与对数不等式求出 x的范围，求出交集即可（2）通过 x的范围求出 log2x的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即
16、可【详解】 （1）由 2x256 得 x8，log 2x 得 x ， （2）由（1） 得 ，log2x） 2（1+ ）= （1+ ） ， f（ x） （1+ ）（log 2x+ ） 2 ，当 log2x ， f（ x） min 当 log2x3， f（ x） max12【点睛】本题考查指数与对数不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想，计算能力22.已知函数 , .（1）若集合 ,求实数 的取值范围;（2）当 时,若对任意的 ,总存在 ,使 成立,求实数 的取值范围;（3）若 的 值域为区间 ,是否存在常数 ,使区间 的长度为 ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由(注:区间 的长度为
17、).【答案】 （1）8，0 ；（2） ；（3）t1 或 【解析】试题分析：（1）函数在区间1，1上存在零点，则必有： ；（2）确定值域关系即集合关系，若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使 f(x1)g(x 2)成立，只需函数yf(x)的值域为函数 yg(x)的值域的子集 （3）分类讨论，确定二次函数的值域.试题解析：()：因为函数 x 24xa3 的对称轴是 x2，所以 在区间1，1上是减函数， 1 分因为函数在区间1，1上存在零点，则必有：即 ， 4 分解得 ，故所求实数 a的取值范围为8，0 5 分()若对任意的 x11，4，总存在 x21，4，使 f(x1)g(x 2)成立，只
18、需函数 yf(x)的值域为函数 yg(x)的值域的子集x 24x3，x1，4的值域为1，3， 7 分下求 g(x)mx52m 的值域当 m0 时，g(x)52m 为常数，不符合题意舍去；当 m0 时，g(x)的值域为5m，52m，要使1，3 5m，52m，需 ，解得 m6； 9 分当 m0 时，g(x)的值域为52m，5m，要使1，3 52m，5m，需 ，解得 m3；综上，m 的取值范围为 10 分()由题意知 ，可得 当 t0 时，在区间t，4上，f(t)最大，f(2)最小，所以 f(t)f(2)72t 即 t22t30，解得 t1 或 t3（舍去） ；当 0t2 时，在区间t，4上，f(4)最大，f(2)最小，所以 f(4)f(2)72 t 即 472t，解得 t ； 12 分当 2t 时，在区间t，4上，f(4)最大，f(t)最小，所以 f(4)f(t)72t 即 t26t70，解得 t （舍去） ，综上所述，存在常数 t满足题意，t1 或 14 分考点：1、二次函数零点；2、分类讨论思想.
