1、第 1 页 共 20 页2019 届江苏省无锡市天一中学高三 11 月月考数学试题一、填空题1设集合 ，则 _【答案】【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合 ,所以 ，故答案为 .【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合.2命题：“ 使得 ”的否定为_.【答案】【解析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“ ”的否定是 ，故答案为 .【点
2、睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.第 2 页 共 20 页3函数 的定义域为_.【答案】【解析】直接由根式内部的代数式大于等于 0 ，分式的分母不等于 0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数 有意义，则 ，解得 ，函数 的定义域为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(
3、 组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组) 求解；(3) 若已知函数 的定义域为，则函数 的定义域由不等式 求出.4曲线 在 处的切线的斜率为_.【答案】1【解析】求出原函数的导函数，可得到曲线 在 处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线 在 处的切线的斜率就是曲线 在 处的导数值，由 得 ,，第 3 页 共 20 页即曲线 在 处的切线的斜率为 1，故答案为 1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5若函数 是偶函数，则实数 _【答案】1【解析】由函数 是
4、偶函数，利用 求得 ，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，即 ，解得 ，当 时， 是偶函数，合题意，故答案为 1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解， （2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6已知 ，函数 和 存在相同的极值点，则_【答案】3【解析】(1)求出函数 的导数，可得极值点,通过与 有相同的极值点，列方程求 的值.【详解】，第 4 页 共 20 页则 ，令 ，得 或 ， 可得 在 上递增；可得 在 递减，极大
5、值点为 ，极小值点为 ，因为函数 和 存在相同的极值点，而 在 处有极大值，所以 ，所以 ，故答案为 3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7已知函数 .若 ，则实数 的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得 ,实数 的最小值为【考点】三角函数周期
6、8已知函数 和函数 的图像相交于 三点，sin0,fx1tan3gx,ABC则 的面积为_ABC【答案】 23【解析】联立方程 与 可得 ，解之得sinfx1tan3gxtsinx第 5 页 共 20 页，所以 ，因120,cosin3xx0,sinABCx到 轴的距离为 ，所以 的面积为,iABC2sin3x，应填答案 。123S9已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（ ，0）上单调递增.若实数 a 满足 f（2|a-1|）f （ ） ，则 a 的取值范围是_.2【答案】 13,【解析】试题分析：由题意 在 上单调递减，又 是偶函数，则不等fx0,fx式 可化为 ，则 ， ，解得
7、122aff12af12a123【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“ 以形助数” 的方法有：（1 ）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效（2 ）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数 ”向“形” 的转化10已知 ，且 ， ，则 _0yxtan2xy1sin3xyxy【答案】 3【解析】试题分析：由 可得 .又因为 所以tan2xysi2coxy1sin3xy.又因为 .又因为 所1cos6x
8、y1cosin0以 .所以 .本小题关键是角的和差的余弦公式的正逆方向的应用.03xy【考点】1.余弦和差公式的应用.2.解三角方程.11在平行四边形 中， ，则线段 的长为 ABCDACBD3AC【答案】 3第 6 页 共 20 页【解析】试题分析：由 得 ，即 ，所以ACDB()0ACDB0ACB，于是 ，又 ，即ACB22D，所以 ；233【考点】1.向量的数量积；12已知 ， ，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简 可得 ，由此得，利用基本不等式可得结果 .【详解】，可得 ， ， ，故答案为-4.【点睛】第 7 页 共 20 页本题主要考
9、查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解， ，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.13设 是自然对数的底数，函数 有零点，且所有零点的和不大于 6，则 的取值范围为_【答案】【解析】对 分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于 6，综合各种讨论结果，即可得结论.【详解】 ，时， 在 单调递减，且 在 有一个小于 0
10、的零点；时， 在 单调递增， 在 有一个小于 1 的零点， 因此满足条件.（1） 时， 在 单调递减 ，在 上没有零点.又 ,故 在 上也没有零点， 因此不满足题意.(2) 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上没有零点.又 ，故 在 上也没有零点，因此不满足题意.(3) 时， 在 上没有零点，第 8 页 共 20 页在 上只有零点 2，满足条件.(4) 时， 在 上没有零点，在 上有两个不相等的零点，且和为 ,故满足题意的范围是 .综上所述， 的取值范围为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一
11、种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14设函数 ,若存在 ，使 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】存在 , 使 ，等价于 ，化简 的解析式， 判断 的单调性，讨论 的单调区间与区间 的关系，求出 在 上的最小值，令最小值小于或等于零解出 即可.【详解】存在 , 使 ，当 时, ,在 上单调递减；当 时, ，在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， ，在 上单
12、调递增，第 9 页 共 20 页(1) 若 ，即 时， 在 上单调递增,解得 ；(2)若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，解得 ，综上， 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为 有解（ 即可）或转化为 有解（ 即可）.二、解答题15已知 ， （1 ）求 的值；（2 ）设函数 ， ，求函数 的单调增区间【答案】 （1） ；（2） .【解析】（1）由 ，两边平方可得 ，结合 ，可得 ，即 ；（2
13、）由（ 1）知， ，利用二倍角的余弦公式以及两角和与第 10 页 共 20 页差的正弦公式将函数 化为 ，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.【详解】（1）由 ，得 ，即 ，所以 因为 ，所以 ，所以 ，即 （2）由（1）知， ，所以 令 ， 得 ，所以函数 的单调增区间是 ， 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数 的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若 ,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图
14、象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16如图，在 中，已知 是边 上的一点， ,第 11 页 共 20 页,求：（1 ） 的长；（2 ） 的面积 .【答案】 （1）5；（2） .【解析】（1）在 中， , ,由余弦定理得，解得 ；（2）在 中，由正弦定理得，解得 ，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，解得 .（2）在 中，由正弦定理得 ， ，解得 ，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的
15、问题时，还需要记第 12 页 共 20 页住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17在平面直角坐标系 中，已知向量 ,设向量，其中 .（1 ）若 ， ，求 的值；（2 ）若 ，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值.【答案】 （1） ；（2） ；【解析】试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到 与 的关系式，用 表示出 ，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求 的最小值；试题解析：（1） （方法 1）当 ， 时， ， ( )，则 （方法 2）依题意， ，则 （2 ）依题意， ， ，因为 x y
16、，所以 ，整理得， ，令 ，则 .令 ，得 或 ，又 ，故 .列表：第 13 页 共 20 页0极小值故当 时， ，此时实数 取最大值 .【考点】1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3 利用导数求函数的最值；18对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则 称为“局部奇函数”（1 ）已知二次函数 ，试判断 是否为“ 局部奇函数”？并说明理由；（2 ）若 是定义在区间 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围；（3 ）若 为定义域 上的“ 局部奇函数” ，求实数 的取值范围.【答案】 （1）是；（2） ；（3） .【解析】(1)由 “局部奇函数”的定义， 为“局部奇函数”等价于关于
17、 x 的方程 有解，结合函数 ，解方程即可得结论；(2)若 是定义在 上的“局部奇函数”，则 在 有解，分离参数 ，利用导数求函数的最值，进而可得实数 的取值范围 ；(3)若 是定义域 上的“局部奇函数”，则 有解，根据分类讨论思想，结合一元二次方程根的分布，列不等式求出满足条件的 的取值范第 14 页 共 20 页围可得结果.【详解】为“局部奇函数 ”等价于关于 x 的方程 有解（1）当 时，方程 即 有解 ， 所以 为“局部奇函数 ” （2）当 时， 可化为 ，因为 的定义域为 ，所以方程 在 上有解令 ，则 设 ，则 ，当 时， ，故 在 上为减函数，当 时， ，故 在 上为增函数 所以
18、 时， 所以 ，即 （3）当 时， 可化为 ，则 ，从而 在 有解即可保证 为“局部奇函数” 令 ，1 当 ， 在 有解，由 ，即 ，解得 ；2 当 时， 在 有解等价于第 15 页 共 20 页解得 综上，所求实数 m 的取值范围为 【点睛】本题考查指数函数的性质、二次函数的性质、新定义问题及分类讨论思想函数与方程思想的应用，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
19、的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.19如图， 、 是海岸线 、 上的两个码头， 为海中一小岛，在水上旅游线上测得 ， ， 到海岸线 、 的距离分别为 ，（1 ）求水上旅游线 的长；（2 ）海中 ，且 处的某试验产生的强水波圆 ，生成 小时时的半径为 若与此同时，一艘游轮以 小时的速度自码头 开往码头 ，试研究强水波是否波及游轮的航行？【答案】 （1） ；（2）强水波不会波及游轮的航行【解析】(1)以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系，直线 的方程为 ， 由点到直线距离公式得 求得直线 的方程为 ， 可得交点 ，结合 由两点间距离公式可得
20、的长 ；(2) 设试验产生的强水波圆第 16 页 共 20 页，生成 小时，游轮在线段 上的点 处， 令 ，求得， ，利用导数证明 ，即 恒成立，从而可得结果.【详解】（1）以点 为坐标原点，直线 为 轴，建立直角坐标系如图所示则由题设得： ，直线 的方程为 ， ， 由 ，及 得 ， 直线 的方程为 ，即 ， 由 得 即 ，即水上旅游线 的长为 （2）设试验产生的强水波圆 ，生成 小时，游轮在线段 上的点 处，则 ， ， ， 令 ，则 ， ， ， ， 第 17 页 共 20 页由 得 或 （舍去）+ -， 时， ，即 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能
21、力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20已知函数 ， .（1 ）求曲线 在点 处的切线方程；（2 ）证明：当 时，曲线 恒在曲线 的下方；（3 ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3） .【解析】（1）求出 ,求出 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程；(2)要
22、使得当 时，曲线恒在曲线 的下方 ，即需证 ，不妨设 ， 则，利用导数证明 取得最大值 即可得结果；(3) 由题意第 18 页 共 20 页可知 ，可得不等式 可转化为 ，构造函数 ，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明的最大值小于零，从而可得结论.【详解】（1） ， ， 故切线方程是 . (2)要使得当 时，曲线 恒在曲线 的下方，即需证 ，不妨设 ， 则 ，令 ， 恒成立，在 单调递减， v又 时， ；当 时， ，在 上单调递增，在 上单调递减，即当 时， 取得最大值 ，当 时， ，即 ，当 时，曲线 恒在曲线 的下方，(3)由题意可知 ，不等式 可转化为 ，构造函数 ，在二次函数
23、中，开口向下，对称轴 ，且过定点 ，解得 ，得 (舍去）， .第 19 页 共 20 页当 时，即 (舍去）或 ，此时当 时， ； 时, ；当 时， 取得最大值，记为 ，由 得 ，而 ，当 时， ，即 在 上递减，当 时， ，即 在 上递增，在 处取得最小值 ，只有 符合条件，此时解得 ，不合条件，舍去;当 时，解得 ，当 时， 在 时取得最大值 ，即当 时， 恒成立，原不等式恒成立；当 时，解得 ，当 时， ，在 时取得最大值，记为 ，由（2)可知 的图象与 的图象相同，当 时， ，原不等式恒成立；综上所述，实数 的取值范围是 .【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次第 20 页 共 20 页是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
