1、随堂巩固训练(19)1. 若 f(x)ax 33x 22，f(1)4，则实数 a_ _103解析：因为 f(x)ax 33x 22，所以 f(x)3ax 26x，则 f(1)3a64，解得 a .1032. 已知直线 ykx1 与曲线 yx 3axb 切于点(1，3)，则实数 b 的值为_3_解析：由题意，得 y3x 2a，则 解得 故实数 b 的值为 3.1 a b 3，3 a k，k 1 3，) a 1，b 3，k 2，)3. 已知点 P 在曲线 y (其中 e 为自然对数的底数) 上运动，则曲线在点 P 处的1ex 1切线斜率最小时的切线方程为_x4y20_解析：设点 P(m，n)，因为
2、 y ，所以曲线在点 P 处的切线斜率 kex（ex 1）2 .由 eme m 2 2 ，当且仅当 m0 时取等号，即切em（em 1）2 1em e m 2 eme m线斜率的最小值为 ，此时切点为 ，故切线方程为 x4y20.14 (0，12)4. 若过曲线 yx 3x2 上的点 P0 的切线平行于直线 y4x1，则切点 P0 的坐标为_(1，0)或( 1 ，4)_解析：设点 P0 的坐标为(a ，b)由 yx 3x2，得 y 3x21，由曲线在点 P0 的切线平行于直线 y4x，得切线方程的斜率为 4.即 3a214，解得 a1 或 a1.当 a1时，b0；当 a1 时，b4，即点 P0
3、 的坐标为(1， 0)或(1，4)5. 已知定义在 R 上的可导函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x)f(x) ，且当 x0 时，有 xf(x)b_解析：因为当 x0 时，xf(x)0 时，f(x)在区间(0，) 上单调递减因为 yf(x)对任意 xR 都有 f(x)f(x)，所以 f(x)为偶函数，所以 af(sin32)f(sin32)因为 0f(cos32)，即 ab.6. 已知函数 f(x)bx 的图象与函数 g(x)lnx 的图象有公共点，则实数 b 的最大值是_ _1e解析：由题意可知，当 f(x) bx 与 g(x)ln x 相切时，实数 b 取得最大值由 g(x)ln x
4、，得 g(x) .设切点为(x 0，y 0)，则 解得 故实数 b 的最大值为 .1x bx0 ln x0，1x0 b， ) x0 e，b 1e，) 1e7. 设 f(x)x 2sinx，若 f(x0)0 且 x0(0，)，则 x0_ _3解析：因为 f(x)x2sinx，所以 f(x)12cosx.由 f(x0)12cosx 00，得 cosx0 .因12为 x0(0 ，) ，所以 x0 .38. 曲线 y 和 yx 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是1x_ _34解析：曲线 y 和 yx 2 的交点坐标是(1，1) ，两条切线方程分别是 yx2 和1xy2x1，所以
5、三角形三个顶点的坐标为(2，0) ， ， (1，1)，则它们与 x 轴围成的三角(12，0)形的面积为 1 .12 (2 12) 349. 设 P 为曲线 C：yx 22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线的倾斜角 的取值范围为 ，则点 P 横坐标的取值范围为_ _0，4 1， 12解析：由题意得切线的斜率 ktan0 ，1设切点为 P(x0，y 0)，则ky|x x02x 02，所以 2x020，1 ，所以 x0 . 1， 1210. 已知点 P 在曲线 yx 3 x 上移动，且曲线在点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 23的取值范围是_ _0，2) 34，)解析：因为 y3x 211，
6、)，即 tan 1，)，所以 .0，2) 34，)11. 已知函数 f(x)2x 3ax 与 g(x)bx 2c 的图象都过点 P(2，0) ，且在点 P 处有相同的切线，求实数 a，b，c 的值解析：因为函数 f(x)的图象过点 (2，0)，所以 f(2)162a0，解得 a8.因为 f(x)6x 2a，所以 f(2)16.又因为 g(x)2bx，所以 g(2) 4b16，解得 b4.又 g(2)4bc0，所以 c4b 16.综上，a 8，b4， c16.12. 已知函数 f(x)x 3bx 2cx 在 x1 处的切线方程为 6x2y10，f(x)为 f(x)的导函数，g(x) aex(a，
7、b，cR ，e 为自然对数的底数) (1) 求 b，c 的值；(2) 若x (0 ，2，使得 g(x)f(x)成立，求实数 a 的取值范围解析：(1) f(x)3x 22bxc，所以 f(1)2bc 33.又 f(1) bc1，点(1，f(1)在直线 6x2y10 上，所以 62(bc1)10.联立 解得2b c 3 3，6 2（b c 1） 1 0，) b 32，c 3. )(2) 由(1)知 f(x)3x 23x3 ，因为 g(x)f(x)，所以 aex3x 23x3，所以 a .3x2 3x 3ex令 h(x) ，x(0 ，2，3x2 3x 3ex则 h(x)（6x 3）ex （3x2
8、3x 3）exe2x ， 3（x2 3x 2）ex令 h(x)0，得 x1 或 x2.当 x 变化时，h(x)与 h(x)的变化如下表所示：所以 h(x)有极小值 h(1) ，极大值 h(2) .3e 9e2因为 h(0)3 ，所以 h(x)的值域为 ，9e2 3e，3)所以实数 a 的取值范围为 .3e，3)13. 已知函数 f(x)(xa)lnx(a0)(1) 当 a0 时，若直线 y2xm 与函数 yf(x) 的图象相切，求实数 m 的值；(2) 若函数 f(x)在区间1，2 上是单调减函数，求实数 a 的最小值解析：(1) 当 a0 时，f(x)xlnx，f(x)lnx1，令 f(x) 2，得 xe.因为 f(e)e，所以切点为(e ， e)，所以 2eme，解得 m e.故实数 m 的值为e.(2) f(x)lnx1 ，ax因为 f(x)在区间 1，2上是单调减函数，所以 lnx1 0 在 x1，2上恒成立，ax即 axlnxx 在 x1 ，2上恒成立令 g(x)xlnxx，则 g(x)lnx2，x1，2因为 g(x)0，所以 g(x)xlnxx 在区间1，2 上是单调增函数，所以 ag(2)2ln22，所以实数 a 的最小值为 2ln 22.
