1、第一章一元二次方程小结与复习学案（湘教版九上）学习目标：1、通过对本章的复习与小结，使学生熟练掌握解一元二次方程的 四种方法，并会根据具体方程的特点选择适当的方法。2、进一步运用建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。学习重点：能灵活运用四种方法解一元二次方程。学习难点：建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。学习过程：复习引入：1、回顾本章的主要数学思想和方法.本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决.如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过
2、程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法.2、理清本章的知识结构图（课本 P.29 的知识结构图）.请同学们带着以下问题用 5 分钟的时间自学教材 P28 -P29 复习题一前的内容，并自学思考题：自学思考题：1方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：_ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。例如： 一元二次方程 7x3=2 x2化成一般形式是_其中二次项系数是 、一次项系数是 常
3、数项是 。 2解一元二次方程的一般解法有：（1）_法，适用于能化为（x+m) 2=n(n0）的一元二次方程。（2） 法，适用于能化为（x+ a)（x+ b） =0 的一元二次方程。（3） 法，关键是 _（4）求根公式法，求根公式是 _3一元二次方程 ax2 bx c0 （ a0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。4、一元二次方程的应用：解决实际问题的基本步骤（1）审 （2）设 （3）列 （4）解 。（5）检 （6）答 自学检测：1、正确理解一元二次方程的定义。1、下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 （ ）A、 B、 02c
4、bax 212xC、 D、12y )()(32关于 的方程 是一元二次方程，则（ ） x03xa（A） 0 （B） 0 （C） 1 （D） 0aaa3、方程 中， 的值分别是 （ ）42cb,A、1，-3，-4 B、0，-3，-4 C、1，-4，3 D、1，3，44已知方程 的一个根是 1，则 m 的值是 29xm5、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是 0)(6、已知方程 的一个根是 2，求它的另一个根及 的值 62kx k教师点拨： 一元二次方程的定义满足的三个条件：（1）整式方程（2）只含一个未知数（3）未知数的最高次数是 2 二、一元二次方程的四种解法1. 将方程 x2+4
5、x+1=0 配方后，原方程变形为（ ）A. (x+2)2=3 B. (x+4)2=3 C. (x+2)2=-3 D. (x+2)2=-52填上适当的数，使等式成立： x5x()3. 方程(x-2)(x+3)=0 的根是 4选择适当的方法解下列方程：（1） （3） x 2+3=2 3x （3） 5)2(x 0912x教师点拨：一元二次方程的解法的选择顺序一般是：直接开平方法因式分解法公式法。若无特别说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于任何的一元二次方程，直接开平方法、因式分解法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。三、运用 b2-4ac 判断一元二次方程根的情况
6、，及求一些字母的取值范围。1、一元二次方程 的根的情况是 （ 02x）A、有两个相等的实数 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定2若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取x0962xk k值范围（ ）A、 1 B、 0 C、 1 且 0 D、 1k k3、若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则该方程的022x根为 。214.若方程 2x（ kx4） x2+6=0 没有实数根，则 k 的最小整数值是（ ）A、1 B、2 C、3 D、45.关于 x 的一元二次方程 0)1(2xm（1）当 m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。（2）当 m 取何值时，此
7、方程有两个相等的实数根。（3）当 m 取何值时，此方程没有实数根。教师点拨：当 b2-4ac0 时方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac=0 时方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时方程没有实数根。四、掌握一元二次方程与系数的关系,并会运用这一关系解决有关问题教师点拨：对于关于 x 的方程 （a0，a、b、c 是常数，02xab2-4ac0）的两根 、 与系数 a、b、c 之间的关系是 =- =12 21xa21x。ac1、设一元二次方程 的两个实数根为 ，则 = 。042x21,x21x2、写一个关于 的一元二次方程，使它有两个根为 1 和 6，你写出的方程是 ；3若一个三角形的
8、三边长均满足方程 ，则此三角形的周长为 0862x4.已知方程 的两个根是互为相反数，则 m 的值是 0312mxx五、列一元二次方程解实际问题1、某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185 元降到了 580 元设平均每次降价的百分率为 ，则列出方程正确的是 （ x）A、 B、185)(5802 580)1(82xC、 D、x 2. 某商场四月份的营业额为 a 万元，五月份的营业额为 1.2a 万元，如果按相同的月增长率计算，该商场六月份的营业额为 万元。4.从正方形的铁皮上，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A.9cm2 B.6
9、8cm2 C.8cm2 D.64cm25、已知 的值是 10，则代数式 的值是 。13x 1642x6、我市某企业为节约用水，自建污水净化站。7 月份净化污水 3000 吨，9 月份增加到 3630 吨，则这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为 7.一张桌子的桌面长为 6 米，宽为 4 米，台布面积是桌面面积的 2 倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽教师点拨：平均增长率或降低率 bxa2)1(与面积有关的应用题例题讲解：例 1、试说明关于 x 的方程 mx2-(m+2)x=-1 必有实数根。例 2、已知：关于 x 的方程 x2（m2）x+m 2=0，41若方程
10、有两个相等的实数根，求 m 的值，并求出这时方程的根。 是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 224？若存在，请求出满足条件的 m 的值；若不存在，请说明理由。学习步骤：学生解答 交流汇报教师点拨规范解答思路点拨：（1）例 1 中，未指明方程为一元二次方程“有实根”不能与“两实根”等同，要对方程中的参数进行讨论：m=0 和 m0 两种情况。（2）例 2 中药注意一元二次方程有解的前提是 b2-4ac0，求出的参数 m 的值必须检验，是否符合题意。课堂小结：1、本节课你学到了什么？2、还存在什么疑惑？达标检测：必做题：1方程 的根是（ ） 02x（A） （B） （C） ， （D） ，
11、2x01x201x2一元二次方程 的根的情况是（ ） 2x （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）无实数根 （D）无法确定3、已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取2xm值范围是( ) A m1 B m2 Cm 0 Dm04方程 的左边配成完全平方后所得方程为（ ） 2650x（A） （B） 2(3)42(3)14x（C） （D）以上答案都不对1x5、如果一元二方程 有一个根为 0，则 m= 03)22mx（；6. 把方程 2(x-3)2=5 化成一元二次方程的一般形式是 。7. 若方程 x2-m=0 有整数根，则 m 可取的值是 。 （只填一个即
12、可）8若 ， 是方程 的两个根，则 12210x21x9、已知一个三角形的三边长都满足方程 ，则它的周长是0652_。10 用适当方法解下列方程：（1） ； （2） （3）0342x 2512x 0242x11、已知关于 x 的方程 0)(m（1）当 m 取何值时，方程有两个实数根。（2）为 m 选一个合适的整数，使方程有两个不相等实数根，并求出这两个根。12、为了改善小区面貌，绿化环境，计划在一块长 80 米，宽 60 米的矩形场地中开辟出一块矩形花园，使四周留下的道路宽度一样，并且矩形花园的面积是原矩形场地的一半。求道路宽为多少？选做题：1、小明的爸爸下岗后做起水果生意一天他用100元购买
13、甲种水果，150元购买乙种水果，一种水果比家中水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克贵0.5元。然后到零售商场，都按每千克2.8元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售出4/5时，出现滞销，他便按原零售价的5折售完剩余的水果，请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱还是赚钱（不考虑其他因素） 。如赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？2、若 是关于 x 的一元二次方程 kx2+4x-3=0的两根不相等的实数根.12,x（1） 、求 k 的取值范围.（2）是否存在这样的实数 k，是2 +2 3 . =2成立？若存在，请求出1x21x2满足条件的 k 的值；若不存在，请说明理由。3、已
14、知一直角三角形的三边为 a,b,c,B=90,请你判断关于 x 的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0 的根的情况.4、已知关于 的一元二次方程 无实根，x 041)(22mx（1）求 的取值范围；m（2）判断关于 的方程 是否有实数根32x链接中考：1、 （2009 呼和浩特）用配方法解方程 3x26 x10，则方程可变形为（ ）A( x3) 2 B3( x1) 2 C(3 x1) 21 D( x1) 213 13 232、 （2010 呼和浩特）方程( x1)( x2)2( x2)的根是 3、 （2012 呼和浩特）已知： 是一元二次方程 的两根，且12,x20ab，则 的值分别
15、是 （ ）1212,xx,abA. B. C. D. a33,12ab3,124、 （2012 山东省聊城）一元二次方程 的解是 0x5. （2012 贵州铜仁）一元二次方程 32的解为_；6、(2012 四川省南充市) 方程 x(x-2)+x-2=0 的解是（ ）A B, C D，7、 （2012 浙江省温州市）解方程 25.x8、（2012 安徽）解方程： 19. （2011 江苏省无锡市）解方程：x4x+2=010、 （2012 四川攀枝花）已知一元二次方程： 的两个根分别是 、0132x1x则 的值为（ ）2x21xA. B. C. D. 33611、 （2012 四川省资阳市）关于
16、x的一元二次方程 210kx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 12、 （2012 广州市）已知关于 x 的一元二次方程 x22 xk=0 有两个相等的3实数根，则 k 的值为 。13、 （2012 山东莱芜）已知 m 、n 是方程 的两根，则代数式012的值为nm32A 9 B C 3 D514、 （2012 黑龙江省绥化市）设 ， 是方程 的两个不相等的实ab2013x数根， 的值 2ab15、 （2012 山东东营） 方程 有两个实数根，则 k 的取041)1(2xkxk值范围是（ ） A k1 B k1 C k1 D k116、 （2012 江苏泰州市）某种药品原价为 36 元
17、/盒，经过连续两次降价后售价为 25 元/盒。设平均每次降价的百分率为 x，根据题意所列方程正确的是36（1x） 23625 36（12x）25 36（1x） 225 36（1x 2）2517、 （2012 山东省青岛市）如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行） ，剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米.若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为 . m1718、 （2012 山东省滨州中考，7 分）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，计划安排 28 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空
