1、第八章相交线与平行线复习课（教师教案）第一段 典型例题【开课】教师在正式开课前，先把本次课程的内容简单概括一下：今天的内容主要包括以下几部分内容：一 相交线、垂线的概念二 同位角、内错角、同旁内角等的概念三 平行线的的性质和判定【课程目标】1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角” ；2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；3. 理解平行线的概念，正确地表示平行线，会利用三角尺、直尺画平行线，理解平行公理和平行公理的推论；4. 掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质；5. 能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。【课程安排】1 教师简要介
2、绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解2 教师总结，学生做综合练习（第二段）教师讲解【教师讲课要求】教师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时教师必须巡视，了解学生做题情况，学生完成练习后，教师进行讲解。第一部分 相交线、垂线课时目标：理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角” ；理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；教师讲课要求【知识要点】：请学生看一下做好上课的准备 （一）相交线1. 相交线的定义在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图 1 所示，直线 AB 与直线 CD 相交于点
3、 O。ODC BA4 3 21ABCDO21OC BA图 1 图 2 图 32. 对顶角的定义若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图 2 所示，1 与3、2 与4 都是对顶角。注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成 2 对对顶角。3. 对顶角的性质对顶角相等。（二）垂线1. 垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 A B C D 1 A B C D 1 图 4如图 4 所示，直线 AB 与 C
4、D 互相垂直，垂足为点 O，则记作 ABCD 于点 O。其中“”是“垂直”的记号； 是图形中“垂直”(直角)的标记。注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）ABCD（已知） （2）190（已知）190（垂线的定义） ABCD（垂线的定义）2. 垂线的性质（1）性质 1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（2）性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。3. 点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。mDCBAP图 5 图 6如图 5 所示，m 的垂线段 PB 的
5、长度叫做点 P 到 直线 m 的距离。4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）5. 画已知线段或射线的垂线（1）垂足在线段或射线上（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上三） “三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角” ，如图 6 所示。（1）同位角：可以发现1 与5 都处于直线 l的同一侧，直线 a、 b的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有2 与6，3 与7，4 与8。（2）内错角：可以发现3 与5 都处于直线 的两旁，直线 、 的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有4 与6。（3）同旁内角：可以发现4 与5 都处于直线 l的同一侧，直
6、线 a、 b的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有3 与6。范例 1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。（1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；（2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；（3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；（4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。分析：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰。 （1） 、 （2）都是对点到直线的距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断（1） 、（2）都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是 90
7、，故（3）正确；同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内” 。解答：（1）这种说法是错误的。因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长度叫做点到直线的距离” 。（2）这种说法是错误的。因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度。（3）这种说法是正确的。（4）这种说法是错误的。因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平行。如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线。说明：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念。范例 2. 如下图（ 1）所示，直线 DE、BC 被直线 AB 所截，问
8、142与 ， 与 ，34与各是什么角？ A D 1 2 3 E 4 B C 图（1）分析：已知图形不标准，开始学不容易看，可把此图画成如下图（2）的样子，这样就容易看了。 A D 1 2 3 E 4 B C 图（2）答案： 14与 是同位角， 24与 是内错角， 34与 是同旁内角。范例 3 如下图（1）， l2 3 6 4 5 1 2 l1 l3 图（1）（1） 2与 是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。（2） 3与 是两条直线_与_被第三条直线_所截构成的_角。（3） 4与 是 两 条 直 线 _与_被第三条直线_所截构成的_角。（4） 5与 6 是两条直线_与_，被第三条直线_
9、所截构成的_角。分析：从较复杂的图形中分解出有关角的直线，因此可以得到 13与 是由直线l13，被第三条直线 l2所截构成的同位角，如下图（2），类似可知其他情况。 l2 3 1 l1 l3 图（2）答案：（1） 1 与 2 是两条直线 l3与 被第三条直线 l1所截构成的同位角。（2） 1 与 3 是两条直线 1与 被第三条直线 2所截构成的同位角。（3） 4与 是两条直线 l13与 被第三条直线 l2所截构成的内错角。（4） 5 与 6 是两条直线 2与 被第三条直线 3所截构成的同旁内角。范例 4 证明垂直第二部分 平行线课时目标 理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定
10、方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。教师讲课要求知识要点：请学生看一下准备上课1. 平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）在平行线的定义中， “在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条直线；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。2. 平行线的表示方法 图 7 DCBA平行用“”表示，如图 7 所示，直线 AB 与直线 CD 平行，记作 ABCD，读作 AB 平行于 CD。3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）平行公理的推论
11、：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。5. 平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。6. 平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。（3）两条平行
12、线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。范例 1 如图，已知AMF= BNG=75，CMA=55，求MPN 的大小 P N M A B E F G H C D 答案：50解析：因为AMF=BNG=75，又因为BNG=MNP，所以AMF=MNP，所以 EF GH，所以MPN=CME，又因为AMF=75 ，CMA=55，所以AMF+CMA=130，即CMF=130，所以CME=180130=50，所以MPN=50范例 2 如图，1 与3 为余角，2 与3 的余角互补，4=115，CP 平分ACM，求PCM答案：57.5解析：因为1+3=90 ，2+ （903）=180，所
13、以2+1=180 ，所以ABDE，所以BCN=4=115，所以ACM=115 ，又因为 CP 平分ACM，所以PCM=12ACM= 115=57.5，所以PCM=57.5 范例 3 如图，已知：1+2=180，3=78 ，求4 的大小答案：102解析：因为2=CDB ，又因为1+ 2=180，所以 1+CDB=180，所以得到ABCD，所以 3+ 4=180，又因为3=78，所以 4=102范例 4 如图，已知：BAP 与APD 互补，1=2，说明：E=F解析：因为BAP 与APD 互补，所以 ABCD，所以 BAP= CPA，又因为1= 2，所以 BAP1= CPA2，即EAP= FPA，所
14、以 EAPF，所以E= F范例 5 如图，已知 ABCD，P 为 HD 上任意一点，过 P 点的直线交 HF 于 O 点，试问：HOP、 AGF、HPO 有怎样的关系？用式子表示并证明答案：HOP=AGFHPO解析：过 O 作 CD 的平行线 MN，因为 ABCD，且 CDMN，所以 ABMN ，所以AGF= MOF= HON，因为 CDMN，HPO=PON ，所以HOP= HON PON= HONHPO ，所以HOP= AGF HPO范例 6 如图，已知 ABCD，说明：BBEDD=360 A B A B E F E C D C D 分析：因为已知 ABCD，所以在BED 的内部过点 E 作
15、 AB 的平行线，将BBEDD 的和转化成对平行线的同旁内角来求。解：过点 E 作 EFAB，则BBEF=180（两直线平行，同旁内角互补）ABCD （已知）EFAB（作图）EFCD （平行于同一条直线的两直线平行）DDEF=180（两直线平行，同旁内角互补）BBEF DDEF=360BBEDD= B BEFDDEFBBEDD=360 范例 7. 小张从家（图中 A 处）出发，向南偏东 40方向走到学校（图中 B 处） ，再从学校出发，向北偏西 75的方向走到小明家（图中 C 处） ，试问ABC 为多少度？说明你的理由。解：AEBD（已知）BAE=DBA（两直线平行， 内错角相等）BAE=40
16、（已知）ABD=40（等量代换）CBD=ABCABD（已知）ABC=CBDABD（等式性质）ABD=40（已知）ABC=7540=35范例 8 如图， ADC=ABC， 12=180，AD 为FDB 的平分线，说明：BC为DBE 的平分线。分析：从图形上看，AE 应与 CF 平行，AD 应与 BC 平行，不妨假设它们都平行，这时欲证 BC 为 DBE 的平分线，只须证3=4，而3= C=6 ，4=5，由 AD 为FDB 的平分线知 5=6，这样问题就转化为证 AECF ，且 ADBC 了，由已知条件12=180 不难证明 AECF ，利用它的平行及ADC=ABC 的条件，不难推证ADBC。证明
17、：12=180（已知）27=180（补角定义）1=7（同角的补角相等）AECF （同位角相等，两直线平行）ABCC=180（两直线平行，同旁内角互补）又ADC=ABC（已知） ，CFAB（已证）ADCC=180 （等量代换）ADBC（同旁内角互补，两直线平行）6=C， 4=5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）又3=C（两直线平行，内错角相等）3=6（等量代换）又 AD 为BDF 的平分线5=63=4（等量代换）BC 为DBE 的平分线范例 9 如图，DE，BE 分别为BDC， DBA 的平分线，DEB=12（1）说明：ABCD（2）说明：DEB=90分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，
18、但就本题，直接证CDB 与ABD 互补比较困难，而12=DEB，若以 E 为顶点，DE 为一边，在DEB 内部作DEF=2，再由 DE，EB 分别为CDB， DBA 的平分线，就不难证明 ABCD 了，（2）由（1）证得 ABCD 后，由同旁内角互补，易证12=90，进而证得DEB=90证明：（1）以 E 为顶点，ED 为一边用量角器和直尺在DEB 的内部作DEF=2DE 为BDC 的平分线（已知）2=EDC（角平分线定义）FED=EDC （等量代换）EFDC （内错角相等，两直线平行）DEB=12（已知）FEB=1（等量代换） ， EBA= EBF=1（角平分线定义）FEB=EBA（等量代换）FEBA （内错角相等，两直线平行）又 EFDCBADC （平行的传递性）（2）ABDC（已证）BDCDBA=180（两直线平行，同旁内角互补）又1=1DBA，2=12BDC（角平分线定义）12=90又12=DEBDEB=90
